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知识点一
空间中有关垂直的向量关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
知识点二
空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，
则l1⊥l2?u·v＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，
则l⊥α?u∥n?u＝λn?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面垂直
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，
则α⊥β
?
n1⊥n2
?n1·n2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
知识点三
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
考点一
利用空间向量证明线线垂直
例1：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
考点二
用空间向量证明线面垂直
例2：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
考点三
利用空间向量证明面面垂直
例3：如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
一、选择题
1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)
A．α，β平行
B．α，β垂直
C．α，β重合
D．α，β不垂直
2．设直线、的方向向量分别为，，若，则实数等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是（
）
A．=0
B．=0
C．=0
D．=0
4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：
；；；正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．已知点，1，，，0，，，1，，，0，，若平面，则点
的坐标为　　
A．，0，
B．，0，
C．，0，
D．，0，
7．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．
8．如图,平面,四边形为正方形，是的中点,是上一点，当时,　
A．
B．
C．
D．
二、多选题
1．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD?A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
3．给出下列命题，其中是真命题的是　　
A．若直线的方向向量，，，直线的方向向量，1，，则与垂直
B．若直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则
C．若平面，的法向量分别为，1，，，0，，则
D．若平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则
三、填空题
1．若两条直线的方向向量分别是，，且两条直线平行，则x=___，y=___.
2．已知空间三点，0，、，1，、，2，，若直线上一点，满足，
则点的坐标为　
　．
3．已知，5，，，1，，若，，，，且平面，则　　．
4．如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.
5．若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_____.
四、解答题
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
求证：CD⊥平面PAE.
2．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：与直线与都垂直．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
（1）证明：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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知识点一
空间中有关垂直的向量关系
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
知识点二
空间中垂直关系的向量表示
线线垂直
设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，
则l1⊥l2?u·v＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
线面垂直
设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，
则l⊥α?u∥n?u＝λn?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面垂直
设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，
则α⊥β
?
n1⊥n2
?n1·n2＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
知识点三
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
考点一
利用空间向量证明线线垂直
例1：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1.
【答案】见解析
【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)．
(1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)，∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，
∴⊥，即BD1⊥AC.
(2)∵＝(－1，－1,1)，＝，∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，
∴⊥，即BD1⊥EB1.
归纳总结：利用向量法证明线线垂直的方法
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法如下：
(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．
(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.
考点二
用空间向量证明线面垂直
例2：如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
【答案】见解析
【解析】[证明]　如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，E，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，F，
∴＝，＝(－1,0,0)，＝.
设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即解得
令z＝1，得y＝2，则n＝(0,2,1)．又＝，∴n＝2.∴n∥，即AE⊥平面A1D1F.
归纳总结：
1．坐标法证明线面垂直的两种方法
法一：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．
考点三
利用空间向量证明面面垂直
例3：如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【答案】见解析
【解析】由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，
则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.
设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)．则?
令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则?令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
归纳总结：1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．
一、选择题
1．u＝(2，－2,2)是平面α的一个法向量，v＝(1,2,1)是平面β的一个法向量，则下列命题正确的是(　　)
A．α，β平行
B．α，β垂直
C．α，β重合
D．α，β不垂直
【答案】B　
【解析】u·v＝(2，－2,2)·(1,2,1)＝2×1－2×2＋2×1＝0，∴u⊥v，∴平面α⊥平面β.
2．设直线、的方向向量分别为，，若，则实数等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则，解得，故选：B.
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是（
）
A．=0
B．=0
C．=0
D．=0
【答案】C
【解析】∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.
又∵AC⊥BD，∴PC⊥BD，故选项B正确，选项A和D显然成立.
故选C.
4．已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于选项A，=(1，0，1)，
=5，所以与n不垂直，排除A；同理可排除C，D.对于选项B，有，所以，因此B项正确.故选B
5．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：
；；；正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行(垂直)；
正确；
直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；
都错误．
故选B．
6．已知点，1，，，0，，，1，，，0，，若平面，则点
的坐标为　　
A．，0，
B．，0，
C．，0，
D．，0，
【答案】C　
【解析】点，1，，，0，，，1，，，0，，
，1，，，，，，0，，
平面，
，解得，，
点的坐标为，0，．
故选：．
7．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)
A．
B．－
C．
D．
【答案】B　
【解析】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，
＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴
∴D，＝，
∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.
8．如图,平面,四边形为正方形，是的中点,是上一点，当时,　
A．
B．
C．
D．
【答案】B　
【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，0，，，1，，，0，，
设，，，则，，，，1，，
因为，所以，解得，即，，，
所以为的中点，
所以．
故选：．
二、多选题
1．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C．是平面ABCD的法向量
D．∥
【答案】ABC　
【解析】由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，
∴D不正确，故选ABC.
2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD?A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)
A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)
B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)
C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)
【答案】AC　
【解析】∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；
∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；
C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，
D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．
3．给出下列命题，其中是真命题的是　　
A．若直线的方向向量，，，直线的方向向量，1，，则与垂直
B．若直线的方向向量，1，，平面的法向量，，，则
C．若平面，的法向量分别为，1，，，0，，则
D．若平面经过三点，0，，，1，，，2，，向量，，是平面的法向量，则
【答案】AD　
【解析】对于，，则，与垂直，故是真命题；
对于，，则，或，故是假命题；
对于，，不成立，故是假命题；
对于，，，，，是平面的法向量，
，得，故是真命题．
故选：．
三、填空题
1．若两条直线的方向向量分别是，，且两条直线平行，则x=___，y=___.
【答案】；15
【解析】因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是，，所以∥.
所以令，则，所以，解得，
故答案为：；15
2．已知空间三点，0，、，1，、，2，，若直线上一点，满足，
则点的坐标为　
　．
【答案】，，
【解析】设，，，则，，，，1，，
在直线上，，
，，，，，，
，，，
，，
解得，，，．
故答案为：，，．
3．已知，5，，，1，，若，，，，且平面，则　　．
【答案】，，
【解析】，5，，，1，，，，，
，且平面，
，解得，，
，，．
故答案为：，，．
4．如图，矩形中，，⊥平面，若在上只有一个点满足，则的值等于________.
【答案】
【解析】连接AQ，取AD的中点O，连接OQ．
∵PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ．
∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，
又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ=AB=1，∴BC=AD=2，即a=2．
故填2．
5．若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直，则棱锥的高与底面边长之比为_____.
【答案】
【解析】设高为h，底边长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点P(0，0，h)，A，B，C，得平面PAB，PAC的法向量分别为，则3-9+=0，解得h=.
故高与底面边长之比为.
四、解答题
1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
求证：CD⊥平面PAE.
【答案】见解析
【解析】证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=h，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h).
易知=(-4，2，0)，=(2，4，0)，=(0，0，h).
∵=-8+8+0=0，=0，∴CD⊥AE，CD⊥AP.
∵AP∩AE=A，∴CD⊥平面PAE.
2．如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，是的重心，，分别为，上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：与直线与都垂直．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图，以三棱雉的顶点为坐标原点，以，，
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，3，，，0，，
，2，，，1，，，1，，
于是，
设平面
的一个法向量是，
则，，
可取，
显然
是平面
的一个法向量，
，
，即平面
的法向量与平面
的法向量垂直，
平面平面．
（2）证明：由（1）知，
，
，．
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
（1）证明：平面AED⊥平面A1FD1；
（2）在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE．
【答案】见解析
【解析】（1）证明：建立空间直角坐标系D-xyz，不妨设正方体的棱长为2，
则A(2，0，0)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2).
设平面AED的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则
∴2x1=0，2x1+2y1+z1=0.
令y1=1，得n1=(0，1，-2).
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0，2，1).
因为n1·n2=0，所以平面AED⊥平面A1FD1.
（2）因为点M在直线AE上，所以可设=λ·=λ·(0，2，1)=(0，2λ，λ)，可得M(2，2λ，λ)，
于是=(0，2λ，λ-2)，要使A1M⊥平面DAE，需有A1M⊥AE，
所以=(0，2λ，λ-2)·(0，2，1)=5λ-2=0，得λ=.故当AM=AE时，A1M⊥平面DAE.
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