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知识点一
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos|＝
知识点二
空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|
点线距
设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P?l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距
已知平面α的法向量为n，A∈α，P?α，则点P到平面α的距离为d＝
考点一
距离问题
例1：如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．
考点二
求两条异面直线所成的角
例2：如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
考点三
直线与平面所成的角
例3：如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
考点四
平面与平面的夹角
例4：如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．
一、选择题
1．已知平面的法向量为，，，点，3，在平面内，则点，1，到平面的距离为，则　　
A．
B．
C．或
D．
2．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
3．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为　　
A．
B．
C．
D．
4．在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．在直角坐标系中，已知，，沿轴把直角坐标系折成平面角为的二面角，使，则为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，.以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（
）
A．点P的坐标为
B．
C．可能为
D．
7．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（
）.
A．
B．
C．
D．
8.如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是(
).
A．
B．
C．
D．
二、多选题
1．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（
）
平面平面
B．三棱锥四个面都是直角三角形
C．与所成角的余弦值为
D．过的平面与交于，则面积的最小值为
三、填空题
1．设，2，，，4，，，0，，则坐标原点到平面的距离为　　．
2.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
3．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
4．在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为棱上的一
点，且，则点到平面的距离为　
　．
5．如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝________，这时，点D到面PEC的距离为________．
四、解答题
1．如图，在三棱锥V?ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝
，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
2．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
3.如图，在三棱锥P?ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A?MC?B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在．请说明理由．
4．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
5．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.
6．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
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精品试卷·第
2
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（共
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知识点一
空间角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ
设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos|＝
直线l与平面α所成的角为θ
设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ
设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos
θ＝|cos|＝
知识点二
空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|
点线距
设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P?l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝
点面距
已知平面α的法向量为n，A∈α，P?α，则点P到平面α的距离为d＝
考点一
距离问题
例1：如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离．
【答案】
【解析】取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.
以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz，
如图所示．
因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，
则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)．
设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得即
取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．
又＝(0,0,2)，所以所求距离d＝＝.
考点二
求两条异面直线所成的角
例2：如图，在三棱柱OAB?O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．
∴|cos〈，〉|＝＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
归纳总结：用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
考点三
直线与平面所成的角
例3：如图，已知三棱柱ABC?A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】　(1)连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E?xyz.
不妨设AC＝4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3，2)，F，C(0,2,0)．
因此，＝，＝(－，1,0)．由·＝0得EF⊥BC.
(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ，
由(1)可得＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，
由，得，取n＝(1，，1)，故sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.
归纳总结：求直线与平面的夹角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤．
(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝.
考点四
平面与平面的夹角
例4：如图，四棱柱ABCD?A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，
所以OB，OC，OO1两两垂直．
如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，所以O(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值为.
一、选择题
1．已知平面的法向量为，，，点，3，在平面内，则点，1，到平面的距离为，则　　
A．
B．
C．或
D．
【答案】C
【解析】，，，，，
，
，
设与平面所成角为，则，
到平面的距离为，
解得或．
故选：．
2．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（
）
A．2
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.由?∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，
即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.∵,∴AD⊥面PDC.,
∴AD⊥面PH.又PH⊥DC,
,∴PH⊥面ABCD,在平面AC内过H作HE⊥AB于E，
连接PE，则PE⊥AB，所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴故选:D.
3．已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】取的中点，连接，过作交于，
，是的中点，，
，，，
，，
又，
平面，又平面，
平面平面，
又平面平面，，
平面，故为与平面所成的角，
，，
，，故，
又，，
．
故选：．
4．在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，不妨令，则，，，，
因此，，所以，
故直线与直线夹角的余弦值为.故选：A.
5．在直角坐标系中，已知，，沿轴把直角坐标系折成平面角为的二面角，使，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，则，，，，
，；，
，
即，解得：
故选：C.
6．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，.以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（
）
A．点P的坐标为
B．
C．可能为
D．
【答案】C
【解析】建立空间直角坐标系如图：由题意可得，，，，
所以，.设，则，
取，可得.
因为，，所以平面PAB，
所以平面平面PAB，所以，所以.
综上所述，A，B，D错，C正确.故选C
7．把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，是正方形中心，则折起后，的大小为（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为是正方形中心，所以，为二面角的平面角，
又正方形沿对角线折起成直二面角，
即二面角是直二面角，所以，
因为点，分别是，的中点，
所以，，
所以.
又，所以.
因为,所以，
故选：C.
8.如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是(
).
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设菱形的边长为1，则，，
，，，，所以，
由图可知：，所以，所以，
所以，所以异面直线与所成的角的取值范围是.故选：C
二、多选题
1．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
二面角的大小可能为或.
故选：BC.
2．如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（
）
A．平面平面
B．三棱锥四个面都是直角三角形
C．与所成角的余弦值为
D．过的平面与交于，则面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】中，，，，由余弦定理可得，故，
所以，因为平面平面且平面平面，所以平面，；
同理平面，因为平面，所以平面平面，A，B正确；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
因为，，所以，
即与所成角的余弦值为，C错误；因为在线段上，设，
则，
所以点到的距离，
当时，取得最小值，此时面积取得最小值，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
1．设，2，，，4，，，0，，则坐标原点到平面的距离为　　．
【答案】
【解析】根据题意，，2，，，4，，
设平面的法向量，，，则，即，
，解得．
，，．
又，2，，
原点到平面的距离．
故答案为：．
2.已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，
则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，
所以.
所以直线A′C与DE所成角的余弦值为.
故答案为：
3．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________．
【答案】
【解析】解析：过P作PM⊥平面ABCD于M，过M作MN⊥AB于N，连接PN，则PN即为所求，如图所示．因为，所以，
所以.即P点到直线AB的距离为.
4．在棱长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，为棱上的一
点，且，则点到平面的距离为　
　．
【答案】
【解析】长为1的正方体中，、分别为棱、的中点，
为棱上的一点，且，
，
，点到平面的距离即为点到平面的距离，
设这个距离为，
，，
，
，
．
点到平面的距离为．
故答案为：．
5．如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝________，这时，点D到面PEC的距离为________．
【答案】2－；　
【解析】设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系D?xyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，
令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，
则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.
这时，平面PEC的法向量可以取(，1,2)，又因＝(0,0,1)．
∴点D到平面PEC的距离为d＝＝＝.]
四、解答题
1．如图，在三棱锥V?ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝
，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．
【答案】.
【解析】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
在Rt△VCD中，，故．∴，．
∴.∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
2．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）作交于，连接.
又且
且，四边形为平行四边形
平面，平面
平面
（2）平面，平面
又，
，则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
设平面的法向量则，令，则，
设直线与平面所成角为
3.如图，在三棱锥P?ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A?MC?B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在．请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)AM＝3.
【解析】(1)证明：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．∵＝(0,3,4)，＝(－8,0,0)，由此可得·＝0，所以⊥，所以AP⊥BC.
(2)假设存在满足题意的点M，设＝γ，0≤γ＜1，则＝γ(0，－3，－4)．
＝＋＝＋γ＝(－4，－2,4)＋γ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3r,4－4γ)，＝(－4,5,0)，
＝(－8,0,0)．
设平面BMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝1可得n1＝.由可得
令y2＝4可得n2＝(5,4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，解得γ＝，故AM＝3.
故存在点M符合题意，且AM＝3.
4．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），
∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），
设平面B1C1E的法向量(u，v，w），则，取u＝1，得(1，0，﹣1），
∴点B到平面B1C1E的距离为：d．
（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），
设平面CC1E的法向量(x，y，z），则，取x＝1，得(1，﹣1，0），
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ，∴sinθ，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．
5．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，.
【解答】（1）证明：由题意知，DA，DC，DP两两垂直.如图
以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，
则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，
E，P(0，0，a)，F，，，
因为，所以，从而得EF⊥CD.
（2）存在.理由如下：假设存在满足条件的点G，设G(x，0，z)，则，
若使GF⊥平面PCB，则由，得x＝；
由，得z＝0，
所以G点坐标为，
故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点.
6．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，∴，即，则，
且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：∴，若，
则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，
则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
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精品试卷·第
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