资源简介

1.1
集合及其运算
1．集合与元素
（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
表示
关系
　
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B
(或B?A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A?B
(或B?A)
集合相等
集合A，B中元素相同
A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形语言
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
常用结论
1．三种集合运用的性质
（1）并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
（2）交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
（3）补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
2．集合基本关系的四个结论
（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．
（2）任何一个集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一个子集，即它本身．
（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.
（4）含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
一、思考辨析，判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
（2）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
（3）{x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　)
（4）对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　)
（5）若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
（1）忽视集合中元素的互异性致误；
（2）忽视空集的情况致误；
（3）忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________．
【解析】因为B?A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
【答案】0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
【解析】易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝.
【答案】0或
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．
【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
【答案】(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)
考点1：集合的概念
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个　　　　　　　
B．4个
C．3个
D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3个元素．
2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________．
解析：当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.
答案：0或
3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为________．
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
【反思提升】
求解与集合中的元素有关问题的注意事项
如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．　
考点2：集合的基本关系
【例1】
(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．B?A　　　　　　　
B．A＝B
C．A?B
D．B?A
(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1
B．2
C．3
D．4
(3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
【解析】　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，比较A，B中的元素可知A?B，故选C.
(2)因为A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，A?C?B，则集合C可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．
(3)因为B?A，
所以①若B＝?，则2m－1②若B≠?，则解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.
【答案】　(1)C　(2)D　(3)(－∞，3]
【迁移探究1】　(变条件)本例(3)中，若B?A，求m的取值范围？
【解析】因为B?A，
①若B＝?，成立，此时m＜2.
②若B≠?，则且边界点不能同时取得，
解得2≤m≤3.
综合①②，m的取值范围为(－∞，3]．
【迁移探究2】　(变条件)本例(3)中，若A?B，求m的取值范围．
【解析】若A?B，则即所以m的取值范围为?.
【迁移探究3】　(变条件)若将本例(3)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，试求m的取值范围．
【解析】因为B?A，
所以①当B＝?时，2m－1②当B≠?时，或
解得或即m>4.
综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
【规律方法】
判断两集合关系的方法
①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系；
②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系．
根据两集合间的关系求参数的方法
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【提醒】　空集是任何集合的子集，当题目条件中有B?A时，应分B＝?和B≠?两种情况讨论．
【举一反三】
1．设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则(　　)
A．M?N
B．N?M
C．M＝N
D．M∪N＝R
解析：选C.集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案为C.
2．设M为非空的数集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：选A.由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，则实数m的取值范围为________．
解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，此时B＝，不合题意．
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．
答案：[－2，2)
考点3：集合的基本运算(多维探究)
角度一　集合的运算
【例2】（1）(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2（2）若集合A＝{x|2x2－9x>0}，B＝{y|y≥2}，则(?RA)∪B＝(　　)
A.
B．?
C．[0，＋∞)
D．(0，＋∞)
【解析】　(1)通解：因为N＝{x|－2优解：由题可得N＝{x|－2因为－3?N，所以－3?M∩N，排除A，B；
因为2.5?M，所以2.5?M∩N，排除D.故选C.
(2)因为A＝{x|2x2－9x>0}＝，所以?RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以(?RA)∪B＝[0，＋∞)．故选C.
【答案】　(1)C　(2)C
角度二　利用集合的运算求参数
【例3】（1）已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞)
B．
C.
D．(1，＋∞)
（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．
（3）已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，则实数m的取值范围是________．
【解析】　(1)由题意可得3a－1≥1，解得a≥，即实数a的数值范围是.故选C.
(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.
(3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因为A∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4.
【答案】　(1)C　(2)4　(3)[－3，4]
【规律方法】
集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
【提醒】　在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．　
【举一反三】
1．已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝(　　)
A．[0，1]
B．[－1，1]
C．[0，1)
D．(0，1]
解析：选A.由于M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，所以N＝[0，1]，所以M∩N＝[0，1]．故选A.
2.如图，设全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2，4}
B．{7，8}
C．{1，3，5}
D．{1，2，3，4，5}
解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(?UA)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(?UA)∩B＝{2，4}．故选A.
3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1＜x＜0}
B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|0＜x＜2}
D．{x|0≤x＜2}
解析：选B.因为函数y＝有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.

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