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专题01
实数
【思维导图】
【考点总结】一、实数的分类
1．按实数的定义分类
2．按正负分类
实数
【考点总结】二、实数的有关概念
1．数轴
实数与数轴上的点是一一对应的．
2．相反数
(1)实数a的相反数是－a，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数a＋b＝0.
3．倒数
(1)实数a的倒数是(a≠0)；(2)a与b互为倒数ab＝1.
4．绝对值
(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
(2)|a|＝
【考点总结】三、平方根、算术平方根、立方根
1．平方根
(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±(a≥0)．
(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．算术平方根
(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作.零的算术平方根是零，即＝0.
(2)算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．
(3)()2＝a(a≥0)，＝|a|.
(4)＝·(a≥0，b≥0)；＝(a≥0，b＞0)．
3．立方根
(1)定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作.
(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．
【考点总结】四、科学记数法、近似数、有效数字
1．科学记数法
把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．
2．近似数与有效数字
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．
【考点总结】五、非负数的性质
1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，≥0(a≥0)．
2．非负数的性质：
(1)非负数有最小值是零；
(2)任意几个非负数的和仍为非负数；
(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
【考点总结】六、实数的运算
1．基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方．
2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．
3．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．
4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
5．零指数幂和负整数指数幂
(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；
(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝(a≠0，p为整数)．
【考点总结】七、实数的大小比较
1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
3．取差比较法
(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．
4．倒数比较法
若＞，a＞0，b＞0，则a＜B．
5．平方法：因为由a＞b＞0，可得＞，所以我们可以把与的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
【考点】一、实数的分类
例1、下列各数：，0，，0.2，cos
60°，，0.300
03…，1－中无理数个数为(　　)．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：中π是无理数，所以是无理数；0是有理数；＝3是有理数；0.2是无限循环小数，属于有理数；cos
60°＝，是有理数；是有理数；0.300
03…是无理数；1－中是无理数，所以1－是无理数．
答案：B
有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：
(1)含有π的式子；
(2)根号内含开方开不尽的式子；
(3)无限且不循环的小数；
(4)某些三角函数式．
【考点】二、相反数、倒数、绝对值与数轴
例2、(1)－的倒数是__________；
(2)(－3)2的相反数是(　　)．
A．6
B．－6
C．9
D．－9
(3)实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|＋＝__________.
解析：(1)－的倒数为＝－5；
(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D；
(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识，由图可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a＋b＜0，b－a＞0，原式＝－a－b＋b－a＝－2A．
答案：(1)－5　(2)D　(3)－2a
相反数是它本身的数只有0；
绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；
倒数是它本身的数是±1.
【考点】三、平方根、算术平方根与立方根
例3、(1)(－1.44)2的算术平方根为_____；的平方根为_____；＝_____；
(2)(－2)－3的立方根是____；立方等于－216的数是______；()3＝_______.
解析：(1)(－1.44)2的算术平方根，即＝|－1.44|＝1.44；＝9,9的平方根是±3；＝0.2；
(2)∵(－2)－3＝，∴(－2)－3的立方根是＝－；
∵(－6)3＝－216，∴＝－6；()3＝()3＝53＝125.
答案：(1)1.44　±3　0.2　(2)－　－6　125
1．对于算术平方根，要注意：
(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；
(2)0的算术平方根是0；
(3)负数没有算术平方根；
(4)算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即中的a≥0；②算术平方根本身是非负数，即≥0.
2．立方根中，()3＝a，＝A．
【考点】四、科学记数法、近似数、有效数字
例4、第十一届全运会将在美丽的泉城济南召开．奥体中心由体育场，体育馆、游泳馆、网球馆，综合服务楼三组建筑组成，呈“三足鼎立”“东荷西柳”布局．建筑面积约为359
800平方米，请用科学记数法表示建筑面积是(保留三个有效数字)(　　)．
A．35.9×105平方米
B．3.60×105平方米
C．3.59×105平方米
D．35.9×104平方米
解析：359
800＝3.598
00×105，要保留3个有效数字，需对从左边起第四个数字8进行四舍五入，所以3.598
00×105≈3.60×105.
答案：B
1．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑；
2．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上
【考点】五、非负数性质的应用
例5、若实数x，y满足＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
解析：因为≥0，(3－y)2≥0，
而＋(3－y)2＝0，
所以x－2＝0,3－y＝0，解得x＝2，y＝3，
则xy－x2＝2×3－22＝2.
答案：2
常见的非负数的形式有三种：|a|，(a≥0)，a2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.
【考点】六、实数的运算
例6、计算：(1)；
(2).
解：(1)原式＝4××－－1＝3－－1＝.
(2)原式＝3－|－2＋|＋1＝3－(2－)＋1＝2＋.
提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．
【考点】七、实数的大小比较
例7、比较2.5，－3，的大小，正确的是(　　)．
A．－3＜2.5＜
B．2.5＜－3＜
C．－3＜＜2.5
D．＜2.5＜－3
解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和的大小即可，由2.52＜()2，得2.5＜，
所以－3＜2.5＜.
答案：A
实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任何两数的大小，而“商值比较法”只适用于比较两个正数大小，还有“平方法”“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．
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