资源简介

13.3
等腰三角形
1
等腰三角形的性质
学习目标：
1.理解等腰三角形和等边三角形的有关概念.
2.借助轴对称图形的性质来理解等腰（边）三角形的性质.（重点）
3.能运用等腰（边）三角形的性质解决有关问题.（难点）
自主学习
一、知识链接
三角形按边来分类可分为
三角形、
三角形和
三角形.
证明两个三角形全等的方法有
、
、
、
、
.
二、新知预习
根据已有的知识完成下题：
1.有两条边相等的三角形叫做
，相等的两边叫做
，另一边叫
做
，两腰的夹角叫做
，腰和底边的夹角叫做
(请在下图中标出来）.
2.（1）已知等腰三角形的周长是14
cm，若一边长是6
cm，则另外两边为
.
（2）等腰三角形的顶角为150°，则它的底角为
.
合作探究
一、探究过程
探究点1：等腰三角形的性质
活动：如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？
问题1
得到的△ABC是等腰三角形吗？如果是，请指出它的腰和底角.
问题2
每个人剪的三角形大小不同，将AB与AC重合时，你发现∠A与∠C有什么特点？
【要点归纳】等腰三角形的两底角相等.（简写成“
”）
例1
如图，△ABC中，已知AB=AC，BC平分∠ABD，∠A=100°，求∠1的度数．
问题3
前面的活动中，AD与BC的位置关系是什么？量一量∠BAD与∠CAD的度数，你发现了什么？
【要点归纳】等腰三角形底边上的中线、高及顶角的平分线互相重合.（简称“
”）
例2
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，求证：BE=CE．
【归纳总结】
1．“三线合一”是用来证明两角相等、两线段相等及两条直线互相垂直的重要依据.
2．“三线合一”不能逆过来用，即：一个三角形中，已知三线中的“二线”重合（如高和角平分线重合），那么不能直接说明这个三角形是等腰三角形.但可以通过三角形全等来证明这个三角形是等腰三角形.
例3
如图，点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE．
探究点2：等边三角形的概念及性质
问题
根据学过的知识，我们知道等边三角形的三条边都相等．试根据“等边对等角”说一说等边三角形的三个内角的关系.
【要点归纳】等边三角形的性质定理：等边三角形的
角相等，并且每个角都等于
．
例4
如图，已知等边△ABC中，D为AC的中点，CE为BC的延长线，且CE=CD．求∠BDE的度数．
二、课堂小结
内容
等腰三角形
概念
有
相等的三角形叫做等腰三角形.
性质定理
（1）等腰三角形的
相等.（简称“
”）
（2）等腰三角形的
、
、
重合.（简称“
”）
等边三角形
概念
三边
的三角形叫做等边三角形.
性质定理
等边三角形的
都相等，并且每个角都等于
.
当堂检测
1.一个等腰三角形的底角是40°，则它的顶角是（　　）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
【变式题】等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（　　）
A．40°
，40°
B．80°
，20°
C．50°，
50°
D．50°
，50°或80°
，20°
2.如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO．若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54°
B．60°
C．72°
D．76°
第2题图
第3题图
第4题图
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB的度数是　
　．
4．如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10，则DC=　
　．
5．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且BD=DC．求证：∠ABD=∠ACD．
6.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.三条边都不相等的
等腰
等边
2.SAS
ASA
AAS
SSS
HL
二、新知预习
1.等腰三角形
腰
底边
顶角
底角
2.（1）6cm，2cm或4cm，4cm
（2）15°
合作探究
一、探究过程
探究点1
【要点归纳】等边对等角
例1
解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，∵BC平分∠ABD，∴∠1=∠ABC=
∠?ABD.∴∠1=∠C=40°.
【要点归纳】
三线合一
例2
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，即∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）.∴BE=CE.
例3
证明：作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF，∴BD＝EC.
探究点2
【要点归纳】三个
60°
例4
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC.∵D为AC的中点，
∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°．∵DC=CE，∴∠E=∠CDE．∵∠ACB=∠E+∠EDC=60°，
∴∠E=∠CDE=30°．∴∠BDE=180°-30°-30°=120°．
二、课堂小结
内容
等腰三角形
概念
有
两条边
相等的三角形叫做等腰三角形.
性质定理
（1）等腰三角形的
底角
相等.（简称“
等边对等角
”）
（2）等腰三角形的
顶角的平分线
、
底边的中线
、
底边的高
重合.（简称“
三线合一
”）
等边三角形
概念
三条边
都相等
的三角形叫做等边三角形.
性质定理
等边三角形的
三个角
都相等，并且每个角都等于
60°
.
当堂检测
1.D
【变式题】D
2.C
3.108°
4．7.5
5.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BD＝CD．∴∠1＝∠2．∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2．即∠ABD＝∠ACD．
6.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°.∵AD⊥BC于点D，∴∠DAC＝30°.∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°.∴∠ADE＝60°．

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