资源简介

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斜边直角边
学习目标：
1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题（重点）；
3.熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题（难点）.
自主学习
一、知识链接
1.我们已经学过的判定三角形全等的方法有___________________.
（用简写法）
2.如图，点C,F在BE上，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
），根据是
（用简写法）；
若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
），根据是
（用简写法）；
若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
），根据是
（用简写法）.
二、新知预习
1.如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC与Rt△DEF是否全等.动手画一画.
合作探究
一、探究过程
探究点1：利用“斜边直角边（HL）”证明三角形全等
问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
做一做：在一张空白纸上任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
【要点归纳】
分别相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL”).
【几何语言】
如图，在
Rt△ABC
和Rt△A
′B
′C
′中，
∵
∴Rt△ABC____Rt△A
′B
′C
′（HL）.
例1
如图，
∠ACB
=∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）
【变式题】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC．
例2
如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，AD＝BC，DE＝BF，求证：AB∥DC．
探究点2：证明直角三角形全等的综合判定
例3如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE．
【要点归纳】证明直角三角形全等不仅有HL，前面学过的SAS、AAS、ASA、SSS都可以用.
二、课堂小结
直角三角形全等的判定
简称
图示
符号语言
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
“斜边、直角边”或“HL”
∴Rt△ABC≌Rt△A
′B
′C
′(HL)．
注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中.
当堂检测
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”），
依据是“
”（用简写法）.
第2题图
第3题图
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H．已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH
的长为
.
4.如图，E、F为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF．求证：BF＝DE．
【变式题1】如图，已知AE＝CF，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BD与EF交于点G.求证：BD平分EF．
【变式题2】如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF,BD与EF交于点G.求证：BD平分EF.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.SAS,ASA,AAS,SSS
2.（1）全等
ASA
（2）全等
AAS
（3）全等
SAS
二、新知预习
1.（1）不一定全等．
（2）全等，画图略.
合作探究
一、探究过程
探究点1
【要点归纳】斜边和一条直角边
【几何语言】AB
A＇B＇
AC
A＇C＇
≌
例1
（1）AC=BD
HL
（2）BC=AD
HL
（3）∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA
AAS
【变式题】
证明：连接DC.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）.∴AD=BC．
例2
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°．在Rt△ADE和Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）．∴AE＝CF.∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在△AFB和△CED中，∴△AFB≌△CED
（SAS）.∴∠ACD＝∠BAC.∴AB∥CD．
探究点2
例3
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD=CE．
当堂检测
1.D
2.全等
HL
3.1
4.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴BF＝DE．
【变式题1】证明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴DE＝BF.在△DEG和△BFG中，
，∴△DEG≌△BFG（AAS）.∴EG＝FG.∴BD平分EF．
【变式题2】证明：∵AE=CF，∴AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴BF＝DE．在△BFG和△EDG中，，
∴△BFG≌△EDG（ASA）．∴FG＝EG，即BD平分EF．

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