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第12章
整式的乘除
12.1
幂的运算
1.同底数幂的乘法
学习目标：
1.理解并掌握同底数幂的乘法法则（重点）；
2.能够运用同底数幂的乘法法则进行相关计算（难点）；
3.通过对同底数幂的乘法运算法则的推导与总结，提升自身的推理能力.
自主学习
一、知识链接
1.填空：2×2×2=2（
）；（-3）×（-3）×（-3）×（-3）=（-3）（
）.
2.根据我们学过的知识，我们把n个a相乘表示为
.
二、新知预习
试一试：根据幂的意义填空：
23×24=（2×2×2）（2×2×2×2）=2（
）；
（-3）3×（-3）4=（-3）（
）；
合作探究
一、探究过程
探究点1：同底数幂的乘法法则
思考1：根据“试一试”中的规律填空：a3×a4=
=a（
）；
【要点归纳】同底数幂的乘法法则：am
·
an
=_________
(m、n都是正整数)，
即同底数幂相乘，
底数______,指数______.
思考2：如果将am
中a的换成（x+y）,等式是否仍然成立？请说明理由.
（x+y）m
·（x+y）n
_________
（x+y）m+n(填“=”或“≠”）.
理由是：
.
【归纳总结】公式am
·
an
=
am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式.
例1
计算：
（1）103×104＝　
　；
（2）x?x5＝　
　；
（3）﹣x3?x4＝　
　；
（4）（a+2b）（a+2b）2.
【针对训练】计算：（1）x2000?x3＝　
　；
（2）﹣a2?（﹣a3）＝　
　；
（3）（m﹣n）3（n﹣m）2＝　
　．
例2
根据乘法的运算律，计算下列各题：
（1）a2
·a6
·a3=（a2
·
______）·______=a
___
;
（2）x
·x2
·x3=（x
·
______）·______=x
___
.
【归纳总结】am
·
an
·
ap
=_________（m，n，p均为正整数）.
【针对训练】计算：
（1）a?a2?a4＝　
　；
（2）（﹣b）2?（﹣b）3?（﹣b）5＝　
　；
（3）（x﹣y）3（y﹣x）2（y﹣x）＝　
　．
【方法总结】当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算.
偶次幂与奇次幂的符号变化如下：(1)(－a)n＝
(2)(a－b)n＝
探究点2：同底数幂乘法法则的逆用
思考：am+n可以写成哪两个因式的积？
试一试：若xm
=3
，xn
=2，则：
（1）xm+n
=_____·_____=_____×_____
=_____；
（2）x2m
=_____·_____=_____×_____
=_____；
（3）x2m+n
=_____·_____·_____=_____×_____×_____
=_____.
【方法总结】关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.
例3
(1)若xa＝3，xa+b＝12，求xb的值；
(2)已知2x+2＝32，求x的值.
【方法总结】第（2）问的关键是将等式两边化为底数相同的幂的形式，然后根据指数相等列方程解答.
二、课堂小结
同底数幂的乘法法则：am
·
an
=_________
(m、n都是正整数).
即同底数幂相乘，
底数______,指数______.
当堂检测
1.下列各式的结果等于26的是(
)
A.2+25
B.2·25
C.23·25
D.0.22·
0.24
2.下列计算结果正确的是(
)
A.a3
·a3=a9
B.m2·n2=mn4
C.xm·x3=x3m
D.y·yn=yn+1
3.计算：
(1)
105×106=
；
(2)
a7·a3=
；(3)
(-b)3·(-b)2=
；(4)
-a4·（-a)2=
；
(5)
xn+1·x2n=_______；
(6)
（a-b)2·（a-b)3=_______；(7)
y4·y3·y2·y
=_______.
4.填空：
(1)x·x2·x(
)=x7;
(2)xm·（
）=x3m;
(3)若8×4=2x，则x=(
).
5.计算：
(1)b2n＋1·b3；
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3)
(-3)×(-3)2
×(-3)3;
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
6.
（1）已知xa=8,xb=9,求xa+b的值；
（2）已知an-3·a2n+1=a10,求n的值；
（3）
3×27×9
=
32x-4,求x的值;
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.3
4
2.an
二、新知预习
试一试：7
7
合作探究
一、探究过程
探究点1：
思考1：解：（a·a·a）（a·a·a·a）
7
【要点归纳】am+n
不变
相加
思考2：解：=
“（x+y）”可以当成一个整体
例1
（1）107
；（2）x6
；（3）﹣x7
；（4）（a+2b）3
【针对训练】（1）x2003
（2）a5
（3）（m﹣n）5
例2
（1）a6
a3
11
（2）x2
x3
6
【要点归纳】am+n+p
【针对训练】（1）a7
（2）b10
（3）-（y﹣x）6
探究点2：
思考：解：am
，an
试一试：（1）xm
xn
3
2
6
（2）xm
xm
3
3
9
（3）xm
xm
xn
3
3
2
18
例3
解：(1)因为xa+b＝xa·xb＝12，xa＝3，所以xb＝4.
(2)因为2x+2＝2x·22＝32，所以2x·4=32，所以2x=8=23，所以x=3.
二、课堂小结
am+n
不变
相加
当堂检测
1.B
2.D
3.（1）1011
（2）a10
（3）-b5
（4）-a6
（5）x3n+1
（6）（a-b)5
（7）y10
4.（1）4
（2）x2m
（3）5
5.解：（1）原式=b2n＋4.
（2）原式=
(a-b)7.
（3）原式=
36.
（4）原式=a8.
6.解：（1）xa+b=
xa·xb=8×9=72.
（2）因为an-3·a2n+1=a3n-2=a10，所以3n-2=10，所以n=4.
（3）因为3×27×9
=
32x-4，所以3×33×32
=
32x-4.所以2x-4=6,解得x=5.

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