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12.5
因式分解
第1课时
因式分解及提公因式法分解因式
学习目标：
1.理解因式分解的意义和概念（重点），因式分解与整式乘法的区别和联系.
2.理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）
自主学习
一、知识链接
填一填：x（x+1）=
；
3a(a+2)=
；
m(a+b+c)=
__________.
二、新知预习
想一想：根据上面三个等式，将下列式子写成两个式子相乘的形式：
x2+x=（___）（______）；
3a2+6a=（_____）（_______）；
ma+mb+mc=（____）（_________）.
合作探究
一、探究过程
探究点1：因式分解
思考1：“想一想”中的三个式子从左到右的变化有什么共同的特点？
【要点归纳】把一个多项式化成
的形式，叫做多项式的
.
思考2：通过观察“填一填”“想一想”中的式子，你发现因式分解与整式乘法有什么联系？
例1下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【方法总结】判断变形过程是否为因式分解：一看等式右边是否为几个整式的积的形式，二看等式左边是否为多项式．
【针对训练】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________.
（填序号）
①24x2y=3x
·8xy；
②am+bm+c=m(a+b)+c；
③x2-1=(x+1)(x-1)
；
④(2x+1)2=4x2+4x+1；
⑤2x+4y+6z=2(x+2y+3z)；
⑥x2+x=x2(1+)
.
探究点2：公因式
思考：式子ma+mb+mc中，ma=
·
，mb=
·
，mc=
·
，它们共同的因式为
.
【要点归纳】多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为
.
问题：如何确定一个多项式的公因式？
找一找：3x
2
-
6
xy的公因式.
多项式3x
2
-
6
xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，系数的最大公约数是__________，它们含有的共同字母是_________，该字母的指数分别为______、_____.
该多项式的公因式为______________.
【方法总结】正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.
【针对训练】将下列各多项式的公因式填在横线上.
(1)
3x+6y
___________;
(2)ab-2ac
___________;
(3)
a2
-
a3
___________
;
(4
)9m2n-6mn
___________;
(5)-6x2y-8xy
2
___________;
(6)4(m+n)
2
+2(m+n)
___________;
探究点3：用提公因式法分解因式
【概念提出】将多项式的
提出来，写成两个因式的
的形式，这种因式分解的方法，叫做
.
例2把下列各式分解因式：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)-
x2+xy-xz；
(3)2a(b＋c)－3(b＋c)；
【方法总结】提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式
，即将多项式化为两个因式的乘积.
【针对训练】
1.下列是某同学分解因式的结果，对的画“√”，错的画“×”，并改正.
分解因式
12xy3+18xy2=3xy(4y2
+
6y).
____________，
正解：________________________________；
分解因式3x2
-
6xy+x
=x(3x-6y).____________，
正解：________________________________；
(a＋b)(a－b)－a+b=(a＋b)(a－b－1)____________，
正解：________________________________.
【易错归纳】
(1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式是1的项；(3)找公因式时符号出错.
例3运用提公因式法进行简便运算：
（1）2×97+8×97；
（2）1.25×77+0.25×77-2.5×77.
例4先因式分解，再求值：m（a-3）-2n（3-a），其中a=1，m=0.6，n=0.2.
【针对训练】
当a，b互为相反数时，代数式a2+ab-2的值为（　　）
A．2
B．0
C．-2
D．-1
二、课堂小结
因式分解
公因式
提公因式法分解因式
因式分解与______是互逆运算;
因式分解的右边是两个或多个整式乘积的形式
步骤：
1.定__________;
2.定__________;
3.定__________.
步骤：1:找公因式；2:提公因式
注意事项：1.公因式要提尽；2.不要漏项；3.提负号，要注意变号.
当堂检测
1.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．x2﹣2y2＝（x+2y）（x﹣2y）
D．（x﹣1）（x﹣2）﹣2＝x（x﹣3）
2．把多项式（x+2）（x﹣2）+（x﹣2）提取公因式（x﹣2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1
B．2x
C．x+2
D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
4．因式分解：
（1）3xy﹣6y＝　
　；
（2）a2b+b﹣2ab2＝　
　；
（3）3x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝　
　.
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则整式M等于____________.
6.简便计算：
(1)
1.99×1.98+1.99×0.02；
(2)(-2)101+(-2)100.
7.若ab＝2，2a+b＝6，求多项式-4a3b2-2a2b3的值；
8．若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab＝c+2bc，判断△ABC的形状．
参考答案
自主学习
一、知识链接
填一填：x?+x
3a?+6a
ma+mb+mc
二、新知预习
想一想：x
x+1
3a
a+2
m
a+b+c
合作探究
一、探究过程
探究点1：
思考1：解：三个式子都是从几个式子相加变成几个式子相乘.
【要点归纳】几个整式的积
因式分解
思考2：解：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
例1
B
【针对训练】③⑤
探究点2：
思考：m
a
m
b
m
c
m
【要点归纳】公因式
找一找：（1）2
3x
2
-
6
xy
3
-6
3
x
2
1
（2）3x
【方法总结】最大公约数
次数最小
低
【针对训练】（1）3
（2）a
（3）a?
（4）3mn
（5）-2xy
（6）2(m+n)
探究点3：
【概念提出】公因式
积
提公因式法
例2
解：（1）原式=4ab?（2a?+3bc）.
（2）原式=-x（x-y+z）.
（3）原式=（b+c）（2a-3）.
【针对训练】1.（1）×
6xy2(2y+3)
（2）
×
x(3x-6y+1)
（3）×
（a-b）（a+b-1）
例3
解：（1）原式=（2+8）×97=970.（2）原式=（1.25+0.25-2.5）×77=-77.
例4
解：原式=（m+2n）（a-3）=（0.6+0.2×2）×（1-3）=
-2.
【针对训练】C
二、课堂小结
整式乘法
系数
字母
指数
当堂检测
D
2.D
3.B
4.（1）3y（x﹣2）
（2）b（a2+1﹣2ab）
（3）（x﹣2）（3x+1）
5.3a(x－y)2
6.解：（1）原式=3.98.
（2）原式=-2100.
7.解：∵ab＝2，2a+b＝6，∴-4a3b2-2a2b3＝-2a2b2（2a+b）＝-2×22×6＝-48．
8.解：∵a+2ab＝c+2bc，∴a﹣c+2ab﹣2bc＝0，即（a﹣c）（2b+1）＝0．∵a，b，c是△ABC的边长，∴b＞0，∴2b+1≠0，∴a﹣c＝0，∴a＝c，即△ABC是等腰三角形.

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