资源简介

23.3
相似三角形
3
相似三角形的性质
学习目标：
1.理解相似三角形的性质定理．（重点）
2.会灵活运用相似三角形的性质定理解决问题．（难点）
.
自主学习
一、新知预习
问题：相似三角形中对应高、中线、角平分线、周长和面积的比和相似比间有什么关系？
【归纳】相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于____________.
相似三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于____________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：相似三角形的性质定理1
【证明猜想】如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k.
AD、A′D′分别为BC,B′C′边上的高，求证：=k.(提示：运用两角对应相等先证△ABD∽△A′B′D′)
AE、A′E′分别为BC,B′C′边上的中线，求证：=k.
(提示：运用两边对应成比例且夹角相等先证△ABE∽△A′B′E′)
AF、A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线.求证：=k.
【归纳总结】相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于______.
【针对训练】
1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高的比是
，对应中线的比
是
，对应角平分线的比是
.
探究点2：相似三角形的周长之比
【问题】图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？
与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(2)与(3)的相似比=______,(2)与(3)的周长比=______.
【归纳总结】
相似三角形的周长比等于______.
【针对训练】
2.两个相似三角形的一对对应边长分别是24cm和12cm.若它们的周长之和是120cm，则这两个三角形的周长分别为______和______.
探究点3：相似三角形的面积之比
【典例精析】
例如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若AD∶DB=1∶2，则△ADE与△ABC的面积之比是（　　）
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶9
D．1∶16
例1题图
针对训练第4题图
【归纳总结】在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比.
【针对训练】
3.已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝__________.
4.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1∶9，若AD＝1，则BC的长是__________．
二、课堂小结
相似三角形的性质定理1
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于_________
相似三角形的性质定理2
相似三角形周长的比等于_______，面积的比等于____________.
当堂检测
1.如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为1∶3，则AF∶AG=（　　）
A．1∶3
B．3∶1
C．1∶9
D．9∶1
第1题图
第2题图
2.如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，那么AE∶AC等于(　　)
A．1∶9
B．1∶3
C．1∶8
D．1∶2
3.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为______cm，面积为______cm2.
4.如图，D是△ABC的AB边上的一点，＝＝.
试说明△BCD∽△BAC；
(2)若△BCD的周长是32cm，求△ABC的周长．
参考答案
自主学习
一、新知预习
相似比
相似比的平方
合作探究
一、探究过程
探究点1
证明：（1）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′.
∵∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′.
∴==k.
（2）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′.
=k.∵
AE、A′E′分别为BC,B′C′边上的中线，∴BE=BC，B′E′=B′C′，∴==k.∵=k，∴△ABE∽△A′B′E′.∴
==k.
（3）∵△ABC∽△A′B′C′,∴∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′.∵
AF、A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线，∴∠BAF=∠BAC,
∠B′A′F′=∠B′A′C′.
∴∠BAF=∠B′A′F′.∴△ABE∽△A′B′E′.∴==k.
【归纳总结】
相似比
【针对训练】
1.
2∶3
2∶3
2∶3
探究点2
【问题】
【归纳总结】
相似比
【针对训练】
2.40
cm
80
cm
探究点3
【典例精析】
例
C
【针对训练】
3.1∶
4.3
二、课堂小结
相似比
相似比
相似比的平方
当堂检测
1.A
2.B
3.14
4.解：(1)证明：∵＝，∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC.
(2)∵△BCD∽△BAC，∴＝.又∵△BCD的周长是32cm.
△ABC的周长是56cm.

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