资源简介

23.3
相似三角形
4
相似三角形的应用
学习目标：
1.理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.（重点）
2.相似三角形的性质和判定的综合应用.（难点）
自主学习
一、探究过程
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.
你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？
合作探究
一、新知预习
探究点1：利用相似三角形测量高度
【典例精析】
例1如图，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？
【归纳总结】同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.
【针对训练】
1.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米．
探究点2：利用相似三角形测量宽度
【典例精析】
例2
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=80米，EC=50米，求河的宽度AB.
【归纳总结】测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
【针对训练】
2.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(　　)
A．24m
B．25m
C．28m
D．30m
二、课堂小结
相似三角形的应用
基本图形
测量高度
测量宽度
当堂检测
1.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在AB外选一适当的点C，分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m.
第1题图
第2题图
2.如图，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________.
3.如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树CD的高度.
4.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)．
　
(1)　　　
　　　　(2)
参考答案
自主学习
一、新知预习
∵太阳光线是平行线，∴∠OAB=∠FDE，∠BOA=∠EFD=90°.∴△OAB∽△FDE.
（两角分别相等的两个三角形相似）.
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例1
解：由题意得△DEC∽△ACB，∴．∴AB=6.4m，即旗杆的高度为6.4
m.
【针对训练】
1.
10
【典例精析】
例2
解：∵∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠ECD=90°，
∴△BAD∽△CED，∴，∴AB=75（米）．
答：两岸间的宽度AB为75米.
【针对训练】
2.D
当堂检测
1.40
2.6
3.解：如图，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面，
所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA.
因为∠EAM＝∠CAN，所以△AEM∽△ACN，所以＝.
因为AB＝1.6
m，EF＝2
m，BD＝27
m，FD＝24
m，
所以＝，所以CN＝3.6（m），所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）.
故树的高度为5.2
m.
4.解：由AB＝1.5
m，S△ABC＝1.5
m2，可得BC＝2
m.
　
　
　　(1)　　　　　　　(2)
由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
所以＝，即＝，所以x＝
m.
由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H.
由AB＝1.5，BC＝2，得AC＝＝＝2.5
(m)．
由AC·BH＝AB·BC，可得BH＝＝＝1.2
(m)．
设乙设计的桌面的边长为y
m.
因为DE∥AC，所以Rt△BDE∽Rt△BAC，
所以＝.即＝，解得y＝
m.
因为＝＞，所以x2＞y2.
故甲同学设计的方案较好．

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