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第24章
解直角三角形
24.4解直角三角形
第3课时
坡度问题
学习目标：
理解坡度、坡角的概念（重点）.
能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.
自主学习
一、新知预习
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.
如图，坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的______（或坡比），记作i，即i=.坡度通常写成1：m的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i==tanα.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____.
合作探究
一、探究过程
探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题
【典例精析】
例
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6
m，坝高23
m，斜坡AB的坡度i=1∶3
，斜坡CD的坡度i’=1∶2.5
，
则斜坡CD的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈)？
【归纳总结】根据坡度的定义i＝，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
【针对训练】
1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为　　　;?
（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为　　　（用计算器计算，结果精确到0.1°）;?
（3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为　　　,坡度为　　　;?
（4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.
若AB=10
m,CD=4
m,高h=4
m,则坡度i=　　　　,AD=　　　m.
?
第1题图
第2题图
2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为(　　)
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
二、课堂小结
坡度、坡比问题
图解
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan
α=_______.
当堂检测
1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度AC为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB的长为（　　）
A．2米
B．3米
C．6米
D．12米
第1题图
第2题图
2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（　　）
A．3m
B．3m
C．12m
D．6m
3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了　
　米．
4.
如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.
第4题图
第5题图
5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20
m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是　
　米．
6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？
能力提升
7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；
（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？
参考答案
自主学习
一、新知预习
坡度
坡角
大
陡
合作探究
一、探究过程
【典例精析】
例
解：如图，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F.∵斜坡AB的坡度i＝1：3，∴tanA＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE＝69m.∴AB＝≈72.7（m）.∵斜坡CD的坡度
i′＝1∶2.5，∴tan∠D＝＝.∴＝.∴DF＝57.5m.∴AD＝AE+EF+DF＝69+6+57.5＝132.5（m）．故斜坡AB的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD的长是132.5m，斜坡AB的长是72.7m．
【针对训练】
1.（1）1∶
（2）21.8
（3）9
4∶3
（4）4∶3
5
2.A
二、课堂小结
h∶l
当堂检测
A
2.B
3.5
4.90
5.
解：作CD⊥AB于点D，在Rt△BCD中，∵∠CBA＝45°，BC＝4千米，∴CD＝
BD＝4千米．∵坡面AC的坡度i＝1：，∴＝.∴AD＝CD＝4.∴AC＝＝8千米.∵AB＝AD+BD，∴AB＝（4+4）千米.又∵AC+CB＝（8+4）千米，∴AC+CB﹣AB＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．
答：隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短2.73千米．
解：（1）设AE＝5x，∵斜坡AB的坡比为i＝12∶5，∴BE＝12x，由勾股定理，得AE2+
BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得x＝2，∴BE＝12x＝24米.
（2）如图，作FH⊥AD于H，连接FA.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠FAH＝＝≈1.14，则∠FAH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．
解

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