资源简介

第24章
解直角三角形
24.3
锐角三角函数
1.锐角三角函数
第1课时
锐角三角函数
学习目标：
理解并掌握锐角三角函数的定义.（重点）
学会应用锐角三角函数解决问题.（难点）
自主学习
一、知识链接
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管AB，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度BC为35m，那么需要准备多长的水管？
合作探究
一、探究过程
探究点1：锐角三角函数的定义
【问题】如图，∠BAC为任意给定的一个锐角，B1，B2为射线AB上任意两点，过B1，B2两点分别作AC的垂线B1C1，B2C2，垂足分别为C1，C2，试说明分别相等.
可见，Rt△ABC中，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值都是唯一确定的.
我们同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边的比值和对边与邻边的比值一样也是唯一确定的.
【定义】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a，AC=b,则∠A的正弦、余弦、正切分别是:
它们统称为∠A的_________.
【典例精析】
例1在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．
【归纳总结】正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值．
【针对训练】
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝7，BC＝5，那么下列式子错误的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cosA＝
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，求∠B的正弦值、余弦值和正切值．
探究点2：三角函数之间的关系
根据三角函数的定义，我们还可以得出同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1.
【典例精析】
例2在Rt△ABC中，∠C＝90°，给出下列结论：①sinA＝cosB；②sin2A+cos2A＝1；
③tanB＝；其中正确的是（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
例3在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin2A+sin2B的值．
【针对训练】
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知sinA＝，则cosB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA=，则tanA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
5.若tanα?tan32°＝1，则锐角α＝　
　．
二、课堂小结
内容
基本图形
正弦
余弦
正切
三角形三角函数之间的关系
sinA=cosB，sinB=cosA，sin2A+cos2A=1，tanA=
当堂检测
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinB等于（　　）
A.
B．
C．
D．
第1题图
第2题图
2.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大为原来的100倍,tanA的值（
）
A.扩大为原来的100倍
B.缩小为原来的
C.不变
D.不能确定
3．在△ABC中，∠A＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列选项中不正确的是（　　）
A．sinB＝
B．sinC＝
C．cosB＝
D．tanB＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanA的值为　　．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．
7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝2，求AB的长．
8．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
参考答案
自主学习
一、知识链接
解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴AB=2BC=70m．
合作探究
一、探究过程
【问题】解：∵∠AC1B1=∠AC2B2，∠B1AC1=∠B2AC2，
∴△AB1C1∽△AB2C2.∴,即
【定义】三角函数
【典例精析】
例1
解：∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴．
∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
【针对训练】
1.B
2.解：∵∠C＝90°，AC＝2BC，∴设BC＝x，则AC＝2x，∴AB＝x，∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝2．
【典例精析】
例2
D
例3
解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin2A+sin2B＝+＝＝1．
【针对训练】
3.B
4.B
5.58°
当堂检测
A
2.C
3.C
4.B
5.
6.解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，则sinB＝＝，cosB＝＝，tanB＝＝．
7.解：在Rt△ABC中，∵tanA=，AC＝2，∴BC＝1，∴AB=．
8.解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．

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