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第25章
随机事件的概率
25.2随机事件的概率
2
频率与概率
学习目标：
1.进一步理解等可能事件概率的意义；
2.会用树状图或列表法求概率（重点）；
3.能结合具体情境掌握如何用频率估计概率（难点）．
自主学习
一、知识链接
1.理论分析与重复试验得到的结果是否一致？
2.一个鱼缸里有2条鱼，只要数一数就知道，但是要估计一个池塘里有多少鱼，该怎么办？
合作探究
一、要点探究
探究点1：用树状图或列表法分析随机事件的所有等可能结果
【类型一】用树状图求概率
【典例精析】
例1
一个盒子内装有除颜色外均相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：用树状图或列表法列举出所有可能情况，然后由概率公式计算求得．画树状图(如图所示)：
∴共有12种等可能的情况，两次都摸到白球的情况有2种.
【针对训练】
1.一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【类型二】用列表法求概率
【典例精析】
例2
从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为
．
解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：
0
1
2
0
——
(0，1)
(0，2)
1
(1，0)
——
(1，2)
2
(2，0)
(2，1)
——
共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1，2)三种.
【要点归纳】用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.
【针对训练】
2.一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．1
探究点2：用频率估计概率
【类型一】用频率估计概率
【典例精析】
例3
“六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是
．
解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以红球的总数为1000×0.2=200.
【要点归纳】解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．
【针对训练】
3.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现其中摸到白色、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中红色球很可能有　　个．
4.
为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有
条鱼．
二、课堂小结
内容
列表法
把所有结果用列表的形式表示出来的方法叫做列表法
画树状图法
从上至下每条路径就是一个可能的结果，我们把它称为树状图
频率与概率的联系与区别
联系：在同样条件下，大量重复试验时，随机事件的
会逐渐稳定到一个数附近，所以可以用这个
来估计这一随机事件的概率.
区别：频率是通过试验得到的一个试验数值，这个数值和概率相接近.概率是一个事件发生的理论值，是一个固定数值.
当堂检测
1．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是(
)
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
2．一个不透明的袋子里装有质地、大小都相同的3个红球和1个绿球.随机从中摸出一个球，不再放回，充分搅匀后再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．袋子里有10个红球和若干个蓝球，小明从袋子里有放回地任意摸球，共摸100次，其中摸到红球次数是25次，则袋子里蓝球的个数大约是(
)
A．20
B．30
C．40
D．50
4．绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1912
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是
（精确到0.01）.
5.在“阳光体育”活动时间，张海亮、张红武、李优、王安进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一次比赛，则恰好选中李优、王安两位同学的概率是　
　．
6.某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　
　；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
能力提升
7.从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，请用树状图或列表法求关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.基本一致，但实验发生时，会有干扰因素，所以不一定相同.
2.若先捕a条鱼做记号，放回池塘中.一段时间后捕了b条鱼，其中有c条鱼作了记号，
此时池塘鱼的数量为.
合作探究
一、要点探究
【典例精析】
例1
C
【针对训练】
1.A
【典例精析】
例2
【针对训练】
2.B
【典例精析】
例3
200
【针对训练】
3.6
4.1200
二、课堂小结
频率
频率稳定值
当堂检测
1.D
2.C
3.B
4.0.95
5.
6.解：（1）
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝.
7.解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足?＝16﹣4ac≥0的结果有6种，
则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数根的概率=＝．

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