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第22章
一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
5
一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（重点）；
3.学会用根与系数的关系求字母的值（难点）.
自主学习
一、新知预习
问题
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们
一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+6x-16=0
x2-6x+8=0
猜想1
若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______.
x1
x2
x1+x2
x1x2
2x2-3x+1=0
2x2+3x-5=0
猜想2
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=_____.
合作探究
一、探究过程
探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，
求x1+x2,x1x2的值.根据公式法，我们可以知道x1=_________，x2=_________.则x1+x2=______,x1x2=______.
【归纳总结】一元二次方程根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______.
【典例精析】
例1设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）
（2）
解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=______,x1x2=_______.
=________=_______.
=____________=______;
【归纳总结】解决此类问题先要确定a，b，c的值及Δ=b?-4ac的符号.若Δ≥0，再求出的x1+x2,x1x2值，再将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.
【针对训练】
1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　)
A．－1
B．9
C．23
D．27
2.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程_______________．
探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用
例2已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值.
解：方法一：
∵方程的一个根为-3，
∴把x=-3代入得
，解得k=
，
把k=
代入原方程得
，
解得x1=
,x2=____.
∴k=
，方程的另一个根为
.
方法二：
∵方程的一个根为-3，
∴x1+x2=_
，x1x2=_
，
∴把x1=-3代入得
，解得x2=
，
把x1=-3，x2=
代入x1+x2=_
，解得k=
，
∴k=
，方程的另一个根为
.
【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验.
【针对训练】
3.已知的两个实数根，求的值.
4.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值.
二、课堂小结
根与系数的关系
公式
x1＋x2＝
，x1·x2＝
.
x1＋x2＝
，x1·x2＝
.
应用
应用前提
方程必须有解.
应用形式
①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）.
当堂检测
1.若方程的两个根为，，则的值是
.
2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是(　　)
A．7
B．－7
C．11
D．－11
3.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值．
（1）x·x2＋x1·x；
（2）|x1－x2|.
4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.
已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c，
求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根；
(2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值．
参考答案
自主学习
一、新知预习
2
-8
-6
-16
2
4
6
8
猜想1
-p
q
1
-
1
-
-
猜想2
-
合作探究
探究过程
探究点1：
【验证猜想】（1）
（2）-
【归纳总结】-
【典例精析】
例1
-2
-
（1）x1x2+2（x1+x2）+4
-
（2）
【针对训练】
1.D
2.
x?+3x-10=0（答案不唯一，合理即可）
探究点2：
例2
方法一：18-3k-9=0
3
3
2x?+3x-9=0
-3
3
方法二：-
-
x1x2=
-
-
3
3
【针对训练】
3.解：∵Δ=2?-4×（-2005）=8024＞0，a=1，b=2，c=2005，∴α?+3α+β=α?+2α+α+β=2005+（-2）=2003.
4.
解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1.
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，∴m2-2（2m-1）=7，解得m1=5，m2=-1.当m=5时，原方程无解，所以m=-1.即原方程为x?+x-3.∴=（x1+x2）2-4x1x2=13.
二、课堂小结
-p
q
-
当堂检测
-1
2.A
3.
解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－.
(1)x·x2＋x1·x＝x1x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)
2－4×＝4＋6＝10.∴|x1－x2|＝.
4.解：存在.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2－x1＞x2，∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.∵x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.∴＜k≤3.∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立．
5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2.∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，且a＜b＜c，∴c?=a?+b?.Δ＝8b2－4a2＋4c2=4b?＞0.∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根．
(2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，∴x＋x＝（x1+x2）?-2x1x2=－4.∵c?=a?+b?，c=3a，∴b?=8a?.∴x＋x＝－4=16-4=12.

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