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第22章
一元二次方程
22.2
一元二次方程的解法
4
一元二次方程根的判别式
学习目标：
1.理解一元二次方程根的判别式取值范围对根的情况的影响（难点）；
2.会运用根的判别式判断根的情况及进行相关计算（重点）.
自主学习
一、新知预习
我们在推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的配方过程中，得到
(x＋)2＝.
（
）
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得x＋＝±.
当_________>0时，方程（
）的右边是一个正数,得=____________.
原方程有两个不相等的实数根：
x1=
__________
，x2=
____________
.
当__________=0时，方程（
）的右边是0,得=____.
原方程有两个相等的实数根：x1=x2=
____
.
当_________<0时，方程（
）的右边是一个负数,而对于任何实数x，方程左边______.因此原方程没有实数根.
【自主归纳】
我们可以得到：
对于一元二次方程ax?+bx+c=0：
当________＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当_________=
0时，方程有两个相等的实数根；
当_________＜0时，方程没有实数根.
合作探究
一、探究过程
探究点：一元二次方程根的判别式
【概念补充】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，可用符号“Δ”表示.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根.
【问题1】不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）
解：Δ=_____,方程___________实数根.
解：Δ=_____,方程___________实数根.
解：Δ=_____,方程___________实数根.
【问题2】已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围.
解：因为方程有实数根，所以Δ=____________,解得___________.
故m的取值范围是__________________.
【归纳总结】判断一元二次方程是否有实根，只需计算方程判别式，判断其正负即可.反过
来，若已知根的情况，求字母的取值，根据判别式的正负列方程或不等式求解
即可.
【针对训练】
下列方程中，没有实数根的是
（
）
B.
C.
D.
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求整数m的最大值.
二、课堂小结
根的判别式及根的判对根的影响
对于，Δ=_________,当Δ＞0时，方程_________的实数根；当Δ=0，方程_________的实数根；当Δ＞0时，方程_________实数根.
当堂检测
1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
2关于x的一元二次方程（m≠1）.求证：方程总有两个不相等的实数根.
3.在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5.若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
参考答案
自主学习
一、新知预习
b?-4ac
±
b?-4ac
0
b?-4ac
≥0
【自主归纳】b?-4ac
b?-4ac
b?-4ac
b?-4ac
合作探究
一、探究过程
探究点
【问题1】
（1）
有两个不相等的
（2）0
有两个相等的
（3）-3
没有
【问题2】
4-4m
≥0
m
≤1
m
≤1
【针对训练】
1.D
2.
解：∵一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，∴Δ=4-4m＞0，解得m＜1，故整数m的最大值为0.
二、课堂小结
b?-4ac
有两个不相等
有两个相等
没有
当堂检测
1.
2.证明：Δ=（2m）?-4（m-1）（m+1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根.
3.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0.所以b=-10（舍去负值）或b=2.当c=b=2，a=3时，不满足三边关系；
当a=c=5，b=2时，满足三边关系.
所以△ABC
的三边长为5，2，5，其周长为2+5+5=12.

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