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第22章
一元二次方程
22.1
一元二次方程
学习目标：
1.了解一元二次方程的相关概念（重点）；
2.会根据实际问题列出一元二次方程（难点）.
自主学习
一、新知预习
绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：
设绿地的宽为x
米，则它的长为_________米，
根据题意，可得方程：______________.
整理，得__________________________.
观察上述得出的方程，这个方程的特点是：
只含有一个未知数，都是关于x的____
____方程；
x的最高次数都为_________.
像这样的方程我们称之为一元二次方程.
一元二次方程的一般形式可以归纳为________________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：一元二次方程的定义及一般形式
问题1
关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
解：关于x的方程的二次项系数为_________,
因为方程为一元二次方程，所以其二次项系数不为零.
所以___________________,即_________________.
综上所述，关于x的方程（2a-4)x2-2bx+a=0为一元二次方程的条件是________.
问题2
将下列一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)2x2＋3x＝x2－3x－2；
(2)(2x－1)(3x＋2)＝(x－2)2－1；
(3)4x2＝3x－＋1.
【归纳总结】利用等式的性质可将任何一个一元二次方程化为一般形式，
其步骤是去括号、去分母、移项、合并同类项.
【针对训练】
1.若关于x的方程(k－3)x|k|-1－x－2＝0是一元二次方程，则k=_____.
2.已知关于x的方程(m2－16)x2＋(m＋4)x－9＝0.
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
探究点2：一元二次方程的解
问题
若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，求6m+2n的值.
【归纳总结】已知解求关于待定系数的代数式的值，将解代入方程，求得关于待定系数的等
量关系，通常运用整体代入的思想求解.
【针对训练】
已知一元二次方程ax2－8x＋b＝0的两根为x1＝3，x2＝－，求a，b的值．
探究点3：列一元二次方程
问题
列方程：某公司一月份营业额为10万元，三月份营业额为12.1万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
【归纳总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤如下：
【针对训练】
列方程：在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图，要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
二、课堂小结
定义及一般形式
一般式___________________
二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为____.
一元二次方程的根（解）
使方程左右两边_______相等的未知数的值.
根据实际问题列一元二次方程
分析
找
设
列方程
当堂检测
1.将一元二次方程2(x＋1)(x－2)＝x(x＋3)－5化为一般形式为(　
　)
A．x2－5x＋1＝0
B．x2＋x－9＝0
C．x2－4x＋3＝0
D．x2－x＋1＝0
2.下列各数是一元二次方程2x2＋5x＋2＝0的根的是(　
　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
3.若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么c的值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．用一根长为30cm的铁丝围成一个长方形，若设该长方形的一边长为x
cm，面积为50
cm2，则可列方程为____________.
5.方程化为一般式为________，它的二次项系数为______，一次项系数为_______，常数项为______.
6.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若LM=RS=x米，请根据题意列出方程.
7.有一个两位数，它的个位数字与十位数字的和等于6，且这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的十位数字为x，求这个两位数．请根据题意列出方程并化为一般形式.
参考答案
自主学习
一、新知预习
（x+10）
x（x+10）=900
x?+10
x-900=0
（1）一元二次
（2）2
ax?+bx+c=0（a、b、c是已知数，a≠0）
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1
2a
-4
2a
-4≠0
a≠2
a≠2
问题2
解：（1）x?+
6x+2=0；0，6，-2.
（2）5x?+
5x-5=0；5,5,-5.
（3）4x?-3x+-1=0；4，-3，-1.
【针对训练】
1.-3
2.
解：（1）由题意，得m2－16＝0且m＋4≠0，则m=4.此时方程的解为x=.
（2）由题意，得m2－16≠0，m≠±4.
这个方程的二次项系数为m2－16，一次项系数为m＋4，常数项为-9．
探究点2：
问题
解：由题意，得1+3m+n＝0，则3m+n＝-1，6m+2n=-2.
【针对训练】
3.
解：将x1＝3，x2＝－代入，得解得
探究点3：
问题
解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得10（1+x）2=12.1.
【针对训练】
4.解：设小路的宽为xm，根据题意，得（20-x）（32-2x）=570．
二、课堂小结
ax?+bx+c=0
a
b
c
式子
题意
等量关系
未知数
当堂检测
A
2.D
3.
A
4.
x（15-x）=50
5.
x?+3x-1=0
1
3
-1
6.解：由题意得（22-x）（17-x）=300.
7.解：根据题意，得x(6－x)＝[10x＋(6－x)]，即x2－3x＋2＝0.

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