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第22章
一元二次方程
22.3
实践与探索
第2课时
利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题
学习目标：
1.学会用一元二次方程解决平均变化率和利润问题（重点）；
2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）.
自主学习
一、新知预习
1.列方程
随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高，汽车已将越来越多的进入普通家庭，某市交通部门统计，2017年底，该市汽车保有量为15万辆，截止到2019年底，汽车保有量已经达到21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增加率相同，设这个增长率为x.根据题意，可列出方程_____________.
2.填空：
（1）某商品每件进价10元，售价15元，每件可得利润__________元.
①若涨价2元，则售价___________元,
每件可得利润为___________元；
②若涨价x元，则售价___________元,
每件可得利润为___________元.
（2）
某商品原来每天可销售100件，后来进行价格调整,市场调查发现：
若该商品每降价1元，则该商品平均每天可多销售2件.
①如果降价2元，那么多卖______件，每天销售量为_______件；
②如果降价x元，那么多卖______件，每天销售量为_______件.
（3）若该商品每涨价3元，则该商品平均每天少销售5件.
①如果涨价6元，那么少卖______件，每天销售量为________件；
②如果涨价x元，那么少卖_______件，每天销售量为________件.
合作探究
一、探究过程
探究点1：列一元二次方程解决增长率问题
【问题】西藏地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12
100元．
(1)如果第二天、第三天收到捐款数额的增长率相同，求捐款增长率；
解：设捐款增长率为x，
根据题意，可列出方程________________.
解方程得x1=
，x2=
.
检验：当x1＝_____时,_____题意.当x2＝______时,____
___题意.
答：捐款的增长率为______.
按照(1)中收到捐款数额的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【归纳总结】1.常见增长率问题一般公式为“原来的量×（1±变化率）n=后来的量”，其中增长用“﹢”，减少用“-”，“n”表示增长或减少的次数.
2.得出一元二次方程的解后，一定要注意检验，使一元二次方程的解符合实际意义.
【针对训练】
1.某商品原售价为100元，连续两次涨价x%后售价为120元，下面所列方程正确的是(　
　)
A．100(1－x%)2＝120
B．100(1＋x%)2＝120
C．100(1＋2x%)2＝120
D．100(1＋x2%)2＝120
某渔船出海捕鱼，2017年平均每次捕鱼量为10吨，2019年平均每次捕鱼量为8.1吨，求
该渔船2017年～2019年平均每次捕鱼量的年平均下降率．
探究点2：列一元二次方程解决利润率问题
【问题】山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20
kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
解：设每千克核桃降价x元，根据题意，可列出方程______________________.
解方程得x1=
，x2=
.
检验：当x1＝______时,_______题意.当x2＝______时,________题意.
答：每千克核桃应降价___________.
在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【归纳总结】利润问题中常用的关系式：①利润=售价-进价;②利润率=.
【针对训练】
3.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利_________元(用含x的代数式表示)；
(2)若上述条件不变，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2
100元？
二、课堂小结
一元一次方程的应用
内容
运用策略
增长率问题
原来的量×（1±变化率）n=后来的量,其中“n”表示增长或减少的________.
解题时要理清原来的数，后来的数以及变化情况.
利润问题
利润问题中常用的关系式：①利润=___________;②利润率=________=______________.
关键要弄清标价、售价、成本价的实际意义以及利润的相关等量关系.
当堂检测
1.某地区1月初疫情感染人数为6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　
　）
A．6（1-2x）=1
B．6（1-x）2=1
C．6（1+2x）=1
D．6（1+x）2=1
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元.若设该校今明两年在实验器材投资的平均增长率是x,则可列方程为__________.
3.某种文化衫每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多销售10件，如果每天要盈利950元，设每件应该降价x元，那么可列方程为__________________
.
4.某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是前年人数的64%,那么这两年平均每年近视学生人数降低的百分率是多少?
5.菜农李伟种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率.
参考答案
自主学习
一、新知预习
1.15（1+x）?=21.6
2.（1）5
①17
7
②（15+x）
（5+x）
（2）①4
104
②2x
（100+2x）
（3）①10
90
②
（100-）
合作探究
一、探究过程
探究点1：
【问题】
（1）10000（1+x）?=12100
0.1
-2.1
0.1
符合
-2.1
不符
10％
（2）12100×1.1=13310（元）.答：第四天能收到13310元捐款.
【针对训练】
1.
B
2.解：设该渔船2017年-2019年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为x，根据题意，列方程得10×（1-x）2=8.1，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：2017年-2019年该渔船每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．
探究点2：
【问题】
（1）（60-x-40）（100+×20）=2240
4
6
4
符合
6
符合
4元或6元
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．此时，售价为60-6=54（元），×100%=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
【针对训练】
3.
解：（1）2x
（50-x）
（2）根据题意得：（50-x）（30+2x）=2100，整理得x2-35x+300=0，解得x1=15，x2=20.因为为了尽快减少库存，所以x应该取20，若上述条件不变，则每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．
答：每件商品降20元时，商场日盈利可达到2100元．
二、课堂小结
次数
售价-进价
利润÷进价
（售价-进价）÷进价
当堂检测
1.B
2.2（1+x)+2(1+x)2=8
3.（20-x）（40+10x）=950
4.
解：设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x,
前年近视人数为“1”，则今年近视人数为（1
-
x）2.
由题意，得(1
–
x
)2
=
0.64
.
解得
x1
=
0.2=
20%,
x2
=
1.8（不合题意，舍去）.
答：这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为20%.
5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2=3.2.解得
x1=0.2=20%，x2=1.8
（舍去）.∴平均每次下调的百分率为20%.

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