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第22章
一元二次方程
22.3
实践与探索
第1课时
利用一元二次方程解决几何问题
学习目标：
1.学会用一元二次方程解决几何图形的实际问题（重点）;
2.从实际结合问题中抽象出数学模型（难点）.
自主学习
一、新知预习
【问题】如图，要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框四边的宽度x相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框的宽度应该多少厘米？
解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得
（___________）（____________）-30×20=30×20×.
整理，得
_________________.
解这个方程，得x1=
，x2=
．（不合题意，舍去）
答：镜框的宽度为_______cm.
合作探究
一、探究过程
探究点：列一元二次方程解几何图形问题
【问题1】
如图，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长x
cm.
则长和宽分别为（____________）cm、（____________）cm.
根据题意，得_______________________.
整理，得：__________________.
解这个方程，得x1=
____
，x2=
___
．
当x1＝______时,60-2x=-30＜0，_____题意，舍去.
当x2＝______时,
60-2x=30，长为______cm，宽为______cm._____题意.
答：截取的小正方形的边长是15
cm.
【归纳总结】利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤：①审清题意，依据几何图形的性质或数量关系找到等量关系；②设合适的未知数，并依据等量关系列出一元二次方程；③解方程；④检验解的合理性.
【问题2】
如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽.
思路提示：通过平移将小路平移到如图2所示的位置，再设未知数，列一元二次方程求解.
【归纳总结】把分散的图形拼接成一个完整的、规则的图形是解决图形问题中的常用方法，也是较为简便有效的方法.
【针对训练】
1.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400
cm2，设金色纸边的宽为x
cm，那么x满足的方程是（
）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
2.
如图，有一矩形空地ABCD，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段总长度为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长BC和宽AB．
二、课堂小结
一元二次方程的应用
内容
运用策略
面积问题
等积变形；
②把不规图形转换为规则图形，通常用到______进行转化.
熟记常见几何图形的面积公式
当堂检测
一个矩形的周长为28cm，若它的面积为40cm2，则这个矩形的长为_______cm，宽为
_______cm.
2.如图，一块镶有宽度相等的花边的长方形十字绣，它的长为120cm，宽为80cm.若十字绣中央长方形的面积是6000cm2，则花边的宽为_____.
如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度比
为2:1.若使得彩条所占面积是图案面积的，则竖彩条的宽度为(
)
A
.1cm
B
.2cm
C.19cm
D.1cm或19cm
4.如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张矩形铁皮共花了多少元钱？
参考答案
自主学习
一、新知预习
30+2x
20+2x
x2+25x-54=0
2
-27
2
合作探究
探究过程
探究点：
【问题1】
80-2x
60-2x
（80-2x）（60-2x）=1500
x2-70x+825=0
55
不符合
15
50
30
符合
【问题2】
解：设道路的宽是x米，由题意，得（32-x）（20-x）=540，解得x1=48（舍）x2=2．
答：道路的宽是2米.
【针对训练】
1.B
2.
解：设矩形边长BC为x
m，则AB的长为m，可得方程x·=125，解得x1=10，x2=25．当x1=10时，=12.5；当x2=25时，=5．
故矩形空地的长BC是12.5m、宽AB是10m，或长BC是25m、宽AB是5m．
二、课堂小结
分割拼接
当堂检测
1.10
4
2.10
cm
3.A
4.解：设长方体箱子的宽为xm，则长为(x＋2)m，根据题意得
x(x＋2)×1＝15，解之得x1＝－5，x2＝3.
因为宽为正数，
所以x＝3，即宽为3m，长为5m.
则原来长方形铁皮的宽为5m，长为7m.
费用为5×7×20＝700(元)．
答：张大叔购买这张矩形铁皮共花了700元钱．

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