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第21章
二次根式
21.1
二次根式
学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）；
掌握二次根式有意义的条件（重点）；
3.掌握二次根式的两个性质：（重点）；
4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫做平方根？
2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？
二、新知预习
1.
用带根号的式子填空:
(1)如图①是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为2dm2,则它的边长为
dm；若其面积为S
dm2，则它的边长为__
__
dm．
如图②的海报为长方形，若宽是长的2倍，面积为6m2，则它的长为__
__m．
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系
h
=5t2，如果用含有h
的式子表示
t
，那么t=__
__．
合作探究
一、探究过程
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1：
分别表示什么？
问题2：
这些式子有什么共同特征？
【要点归纳】把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式.
“”称为_______.
【典例精析】
例1
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征：
①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.
例2
(教材P2例题变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零.
【针对训练】
1.下列各式:一定是二次根式的个数为(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___
____;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____
_____.
探究点2：的性质
【典例精析】
例3
计算：
【要点归纳】.
【针对训练】
计算：
探究点3：的性质
议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？
1.计算：
;
;
;
.
观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当
.
2.计算：
;
;
;
.
观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当
.
3.计算：
;当
.
【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
探究点4：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
对于任意一个二次根式，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a______0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知__
__0.
【典例精析】
例4
若，求a-b+c的值.
【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、
偶次幂及二次根式.
例5
已知y=,求3x+2y的算术平方根.
【方法总结】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
【针对训练】
已知|3x-y-1|和
互为相反数，求x+4y的平方根．
二、课堂小结
二次根式的概念
一般地，我们把形如的式子叫作___________.
“”称为二次根号，根指数为_____,可省略.
二次根式有意义的条件
被开方数（式）为_________,即有意义
a≥0.
二次根式的性质1
一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即
二次根式的性质2
一个数的平方的算术平方根等于它的_____,即
二次根式的非负性
双重非负性：
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（
）
2.式子有意义的条件是
（
）
x＞2
B.x≥2
C.x＜2
D.x≤2
3.
化简：
（1）＝_______
;
（2）＝_______;
（3）_____;
（4）_______.
4.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为____．
5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________.
6.利用a
＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1)
9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0
.
拓展提升
若二次根式有意义，求m的取值范围．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.
解：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2.
解：若一个非负数的平方等于a，即x?=a(a≥0)，则这个数x叫做a的算术平方根.非负数才有算术平方根.
二、新知预习
1.
(1)
（2）
（3）
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1：
解：分别表示2，S,3,的算数平方根.
问题2：
解：①根指数都为2,；②被开方数为非负数.
【要点归纳】
二次根式
【典例精析】
例1
解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式.
例2
解：（1）x＞1.
（2）x≥-3且x≠1.
【针对训练】
1.
B
2.(1)
x≥1
(2)
_x≥0且x≠2
探究点2：的性质
【典例精析】
例3
解：（1）原式=.
（2）原式=.
【针对训练】解：（1）原式=5
.
（2）原式=8.
探究点3：的性质
议一议:
1.
4
0.2
20
a
2.
4
0.2
20
-a
3.
0
a
【要点归纳】a
-a
探究点4：二次根式的双重非负性
问题1：解：x均可取任意实数
.
问题2：解：a≥0，被开方的数大于等于0
【要点归纳】≥
≥
【典例精析】
例4
解：由题意得a-2=0,b-3=0,c-4=0，∴a=2，b=3，c=4.则a-b+c=3.
例5
解：
∵x-3≥0，3-x≥0，∴x=3，y=8.∴3x+2y=25,∴3x+2y的算术平方根为5.
【针对训练】
解：∵|3x-y-1|+=0，∴解得∴x+4y=9，∴x+4y的平方根为±3．
二、课堂小结
二次根式
2
非负数
本身
绝对值
当堂检测
1.
C
2.
A
3.
（1）3
（2）4
（3）7
（4）81
4.
0
5.
1
6.解：(1)
9=（）2；(2)5=（）2；(3)2.5=（）2；
(4)0.25=（）2；(5)=（）2；(6)0=（）2
.
7.解
:由题意，得即解得∴m＞2.

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