资源简介

2.垂
线
学习目标：
1.理解垂线的概念及画法；
2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题(重点、难点).
自主学习
一、知识链接
1.两点间的距离如何测量呢？
2.两条直线相交会形成几个角？这些角之间有何数量关系？
二、新知预习
（预习课本P162-164）完成下列各题：
1.垂直的有关概念：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为
时，其他三个角也为直角，此时，这两条直线互相垂直，把它们的交点叫做
，其中一条直线叫做另一条直线的
.
2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
.
3.从直线外一点到这条直线的
的长度，叫做点到直线的距离.
练习：如图，
（1）图中互相垂直的两条直线为
，垂足为
；（写一组即可）
（2）点B到直线AD的距离为
；
（3）点A到直线BC的距离为
.
合作探究
要点探究
探究点1：垂线的概念
问题1:两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？
问题2:试着借助下图写出问题1的推理过程.
已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°，说明∠AOD、∠BOD、∠BOC均为直角.
【要点归纳】
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.垂直用符号
“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.
3.交点O叫做垂足.
4.垂直是相交的特殊情况.
例1
(1)如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是________
；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD
=______°.
例2
如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝116°，求∠AOD的度数．
探究点2：垂线的画法及基本事实
问题3
（1）画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
【要点归纳】垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
探究点3：点到直线的距离
问题4
如图，从A点向已知直线
l
画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
（1）线段AB,
AC,
AD
,
AE谁最短？
（2）你能用一句话表示这个结论吗？
【要点归纳】（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短.
（2）线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
例3
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
二、课堂小结
垂线
垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
垂线的画法
借助三角尺画垂线的步骤：（1）放；（2）靠；（3）移；（4）画
垂线的性质
(1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)垂线段最短.
点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
当堂检测
1.过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，且直线AB与EF相交于点O,则图中∠1与∠2的关系是（　　）
A．∠1+∠2＝180°
B．∠1+∠2＝90°
C．∠1＝∠2
D．无法确定
3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离（　　）
A．等于4cm
B．等于3cm
C．小于3cm
D．不大于3cm
4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（　　）
A．两对对顶角分别相等
B．有一对对顶角互补
C．有两个角是直角
D．有三个角相等
5.如图，要从小河a引水到村庄A，设计人员设计了一条最佳路线如图所示，其设计的依据是　
　
．
第5题图
第6题图
第7题图
6．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于点E．若∠AED＝145°，则∠CEF＝　
　°．
7．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝　
　．
8．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数．
参考答案
自主学习
二、新知预习
1.直角
垂足
垂线
2.垂直
3.垂线段
练习：1.（1）BC、AD
D
（2）线段BD
（3）线段AD
合作探究
一、要点探究
探究点1：垂线的概念
问题2
解：因为∠AOC=90°，所以∠BOD=90°，∠AOD=∠BOC=180°-∠AOC=90°.
例1
（1）m⊥n
（2）90
例2
解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°．∵∠EOC＝116°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE=116°﹣90°＝26°，则∠AOD＝180°﹣∠AOC＝154°．
例3
解：过农田P处作河流的垂线，垂足为点O，则沿着线段OP挖掘能使渠道最短，画图略.
当堂检测
1．C
2．B
3．D
4．A
5．垂线段最短
6．55
7．72°
8．解：∵AO⊥OD且∠AOB＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°.∴∠EOF＝50°．又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOD＝50°．∴∠COE＝180°﹣∠EOF
-∠DOC=180°﹣50°﹣50°＝80°．

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