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课时3
运动图像中的追及与相遇问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.理解匀速直线运动的速度图像和位移图象；
2.理解匀变速直线运动的速度图像和位移图象；
3.会利用速度图像求速度和加速度；
4.会求解追及与相遇问题。
1.掌握x-t、v
-t图象的特点并理解其意义
2.会应用x-t图象和v
-t图象解决质点运动的有关问题
3.掌握追及及相遇问题的特点；
4.能熟练解决追及及相遇问题。
考点一：x-t图象
1、图象的物理意义
　　在x-t图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示从计时开始的任一时刻的位置，即从运动开始的这一段时时间内，物体相对于参考点的位移，整个图象反映了物体的位置随时间的变化规律。
2、匀速直线运动
　　物体做直线运动，如果在任意时刻的速度都相等，即在任意相等的时间内通过的位移都相等，则物体做的是匀速直线运动
　　做匀速直线运动的物体的位移-时间图象是一条倾斜的直线。如图1：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　图象上的一个点对应着物体在某时刻的位置。如图中P点表示在第2s末，物体的位置为距参考点正方向2m，Q点表示在第3s末，物体的位置为距参考点正方向3m。
　　从图中也可确定物体在任意时间内的位移。如图中第3s内物体发生的位移为正方向的1m。
　　图上各点切线斜率k=表示速度v，即图线的倾斜程度反映物体运动的快慢，其倾斜程度越大，速度越快。斜率的大小表示做匀速直线运动物体的速度的大小，斜率的正负即为速度的正负。从图1可知，物体的速度为v=1m/s。
3、几点说明
　　(1)物体的x－t图象和物体的运动轨迹不同。
　　(2)若图象不过原点，有两种情况：
　　①图象在纵轴上截距表示开始计时物体相对于参考点的位移；
　　②图象在横轴上的截距表示物体过一段时间再从参考点出发。
　　如图2，图线①开始时相对参考点的位移为x0，图线②经过t0才从参考点出发。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。如图2中，图线①和图线②相交于A点，表示两物体在t1时刻相遇，其中x1表示相遇处对参考点的位移。
　　(4)图象是倾斜直线表示物体做匀速直线运动，图象是曲线则表示物体做变速运动，如图3中的②、③图线表示物体做匀速直线运动，①表示物体做变速运动。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(5)图象平行于t轴，即斜率为零，说明物体的速度为零，表示物体静止如图3中④图线；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动，如图3中图线②；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动，如图3中图线③。
　　(6)图象与横轴交叉，表示物体从参考点的一边运动到另一边，如图3中的图线③表示相距参考点x0一边运动到参考点。
考点二：速度－时间图象（v-t图象）
1、图象的物理意义
　　在v-t图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示物体某时刻的速度，整个图象反映了物体的速度随时间的变化规律。
　　由于，而v-t图象中的斜率k=，所以，斜率的大小即为加速度的大小，斜率的正负即为加速度的正负。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
(
t/s
v
（
m/s
）
Δ
v
a
b
Δ
t
0
α
)
2、匀速直线运动的v－t图象
　　匀速直线运动的速度v是恒定的，不随时间发生变化，所以v－t图象是一条与横轴平行的直线，如图所示。图中，A的速度为正值表示其速度方向与规定的正方向相同，B的速度为负值，表示它的速度方向与规定的正方向相反。在比较A、B速度的大小时，应该有：。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3、变速直线运动的v－t图象
　　在变速直线运动中，如果在任意相等的时间内速度的改变都相等，这种运动叫匀变速直线运动，它的v－t图象是一条倾斜直线，如图所示，A表示匀加速直线运动的v－t图象，B表示匀减速直线运动的图象。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4、非匀变速直线运动的v－t图象
　　物体做直线运动时，如果在相等的时间内速度改变不相等的叫非匀变速直线运动，它的
v－t图象是一条曲线，如图所示：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5、v－t图象的应用
　　(1)可求出任一时刻的速度。
　　(2)可求出达到某一速度所需的时间。
　　(3)可求出某段时间内发生的位移。
　　运动质点在某段时间t内发生位移的大小是v－t图象与坐标轴及t的始、末时刻线段所围面积的数值，如图：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三：x-t图象与v-t图象的比较
　　　
　　图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在x-t图象与v-t图象中的比较．
x-t图
v-t图
①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度v）
①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）
②表示物体静止
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体静止在原点O
③表示物体静止
④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为x0
④表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
⑥t1时间内物体位移为x1
⑥t1时刻物体速度为v1（图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移）
考点四：运用图象时的注意问题
1．对运动图象的理解
(1)无论是
x－t
图象还是
v－t
图象都只能描述直线运动．
(2)x－t
图象和
v－t
图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t
图象和
v－t
图象的形状由
x
与
t、v
与
t
的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
考点五：追及与相遇问题
1．两类追及问题
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．
2．两类相遇问题
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
考点六：分析追及、相遇问题时要注意的事项
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临
界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关
系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
(1)做匀速直线运动的物体
B
追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体
A：开始时，两
个物体相距
x0.若
vA＝vB时，xA＋x0vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；
若
vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
(2)数学判别式法：设相遇时间为
t，根据条件列方程，得到关于
t
的一元二次方程，
用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或
相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
3．注意三类追及相遇情况
(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．
(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过
程中追上．
(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而
不是比较减速到
0
时的位置关系．
4.解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、
“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
方法技巧——用图象法解决追及相遇问题
(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题，过程较为复杂．如果两物体的加速度
没有给出具体的数值，并且两个加速度的大小也不相同，如果用公式法，运算量比较大，且
过程不够直观，若应用
v－t
图象进行讨论，则会使问题简化．
(2)根据物体在不同阶段的运动过程，利用图象的斜率、面积、交点等含义分别画出相
应图象，以便直观地得到结论．
考点一：x-t图象
某一质点运动的位移x随时间t变化的图象如图所示，则（　　）
A．在10s末时，质点的速度最大
B．在0～10s内，质点所受合外力的方向与速度方向相反
C．在8s和12s时，质点的加速度方向相反
D．在20s内，质点的位移为9m
【解答】：A、位移-时间图象切线的斜率表示该时刻的速度，则知在10s末时，质点的速度为零，故A错误；
B、在0～10s内，斜率逐渐减小，说明物体做减速运动，质点所受合外力的方向与速度方向相反，故B正确；
C、在0～10s内，物体沿正方向做减速运动，加速度方向与速度方向相反，即沿负方向；在10～20s内，斜率为负值，说明物体沿负方向运动，斜率增大，做加速运动，加速度方向与速度方向相同，即沿负方向。所以在8s和12s时，质点的加速度方向相同，故C错误；
D、△x=x2-x1=0-1m=-1m，故D错误。
故选：B。
变式训练1（2021?道里区校级模拟）公路上行驶的甲乙两辆汽车的位移时间图像如图中直线和曲线所示，时刻直线和曲线刚好相切，下列说法正确的是　　
A．甲车做匀变速直线运动
B．乙车做曲线运动
C．时刻，甲乙两车速度相等
D．前
秒内，甲乙两车的位移相等
【分析】图像的斜率表示速度，根据图像的形状分析两车的运动性质，根据位移等于纵坐标的变化量分析两车位移关系。
【解答】解：、根据图像的斜率表示速度，知甲车的图像是倾斜的直线，说明甲车的速度保持不变，做匀速直线运动，故错误；
、图像只能表示直线运动中位移与时间的关系，所以乙车做直线运动，故错误；
、时刻，两图像的斜率相等，说明甲乙两车速度相等，故正确；
、根据位移等于纵坐标的变化量，知前秒内，甲车的位移小于乙车的位移，故错误。
故选：。
考点二：速度－时间图象（v-t图象）
例2、如图，是物体做直线运动的v-t图像，由图可知，该物体(　　)
A．第1s内和第3s内的运动方向相反
B．第3s内和第4s内的加速度相同
C．第1s内和第4s内的位移大小不相等
D．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等
【答案】
B
【解析】
0～3s内物体一直沿正方向运动，故选项A错误；v-t图像的斜率表示加速度，第3s内和第4s内图像斜率相同，故加速度相同，选项B正确；v-t图像图线与时间轴包围的面积表示位移的大小，第1s内和第4s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，选项C错误；第3s内和第4s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，方向相反，所以0～2s和0～4s内位移相同，但时间不同，故平均速度不相等，选项D错误．
变式训练1（2021?宝鸡模拟）我国自主研发的“歼”隐身战斗机在时刻离开地面起飞，其竖直方向的速度—时间图象如图所示，由图象可知，其在内竖直方向的总位移的大小为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据速度时间图象与时间轴围成的面积大小表示位移，由几何关系求解位移大小。
【解答】解：根据速度时间图象与时间轴围成的面积大小表示位移，则“歼”隐身战斗机在内竖直方向的总位移的大小为：，故正确，错误。
故选：。
变式训练2.（2021?山东模拟）小明、小华两人各自驾车去一起烧烤，假设上高速后不久两人的车同时经过公路上的某一路标且速度相同，与此同时小明的车开始加速，但很快他发现后备箱没关好于是立即刹车（视为匀减速直线运动）直至停止。从小明的车加速开始计时直至停止这一过程中两人的车的图像如下图，则下列说法正确的是　　
A．该过程小明的车平均速度为
B．内小明的车一直在小华的车前方
C．该过程中两车相距最远距离为
D．在时两车相遇
【分析】一、在图像中得出两人的运动特点，小华的车一直匀速直线运动，小明的车先匀加速，然后匀减速。二、计算相距最远时，一定要注意条件为两车共速。此时两车位移分别求出，作差找到最远距离。
【解答】解：、平均速度公式只适用于匀变速直线运动，由图像可知小明车并不是做匀变速直线运动，故错误；
、在内他们两车的位移分别为
代入数据，可得
即小明的车一直在小华的车前方，故正确；错误；
、由图像知小明的车减速时加速度大小为，则小明的车由减速到，由可求得所用时间为△；故小明的车在时刻与小华的车速度相同，此时小华的车通过的位移为：
代入数据，可得
小明的车的位移为：
此时两车距离最远，最远距离为：
△，故错误。
故选：。
考点五：追及与相遇问题
例3、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
【答案】v0≤
【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如右图甲)
利用位移公式、速度公式求解．
对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有xB＝at2，vB＝at，两车有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)
×t2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法三：(图象法)利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图乙所示，
设经过t时间两车刚好不相撞，则
对A车有vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
变式训练1甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为v=20米/秒，乙车在甲车行驶至距离出发地200米处时开始以初速度为零、加速度为a=2米/秒2追甲。求乙车追上甲车前两车间的最大距离。
【答案】300m
【解答】该题中两汽车运动，乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，不难想到，只要乙车速度小于甲车速度，两车间距离必随时间延长而增大。反之，如乙车速度在某时刻开始较甲车速度大，则两车间距离随时间延长而变小。显然当两车速度相同时距离最大。
下图中梯形ABDE面积即为最大距离。tm为最大距离的时间。
?????
解法一：两车相遇前距离最大时两车速度必然相等，则运动时间为：
????????????????????
????????????????
???????????????????????????
??????
解法二：两车间距离与时间有关，其关系式为
????????????????????
??????
可见，有最大值：
??????
1．（2021?重庆模拟）某质点做直线运动的图象如图所示，在时间段内，关于该质点的运动，下列说法正确的是　　
A．该运动是匀加速直线运动
B．该运动过程中加速度增大
C．该运动过程中的平均速度
D．该运动过程中经过的位移
2．（2021?陈仓区模拟）一辆汽车在平直公路上运动的图象如图所示，则汽车在内和内相比　　
A．速度变化相同
B．加速度相同
C．位移大小相等
D．平均速度相等
3．（2021?烟台模拟）礼让行人已写入我国道路交通安全法：机动车行至人行横道时应减速慢行，遇行人正在通过时，应停车让行。现有一辆汽车在平直公路上以速度匀速行驶，司机发现前方处的人行横道上有人通行，于是刹车礼让，假设驾驶员的反应时间为，汽车刚好在到达人行横道前停下，则下列关于此过程中汽车的图像中，可能正确的是　　
A．
B．
C．
D．
4．（2021?章丘区模拟）如图所示是某物体做直线运动的图象（其中为速度，为位置坐标），下列关于物体从处运动至处的过程分析，其中正确的是　　
A．该物体做加速度逐渐减小的直线运动
B．该物体的加速度大小为
C．该物体在位移中点的速度等于
D．该物体在运动中间时刻的速度大于
5．（2021?浙江模拟）我们的社会正从信息时代、数字时代跨入智能时代，无人驾驶的智能汽车也已经进入路试阶段．某公司自主研发了两辆无人驾驶汽车，测试过程中两车的速度时间图像如图所示，其中甲车的图像为一正弦曲线，乙车的图像与横轴平行．已知两车在时恰好经过同一位置，由图可知　　
A．时，甲车的运动方向发生改变
B．甲车在和时的加速度相同
C．时，两车相遇
D．内，两车距离先增大后减小
6．（2021?桃城区校级模拟）甲、乙两名运动员在泳池里训练，时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度时间图象分别如图1、2所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是　　
A．游泳池长
B．从时刻起经过两运动员共相遇了3次
C．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
D．在内，两运动员的平均速度大小之比为
7．（2021?顺德区模拟）甲乙两汽车在路上行驶。在到的时间内，它们的位移—时间图像如图所示。在这段时间内　　
A．甲乙两汽车的平均速度大小相等
B．汽车甲的平均速度比汽车乙大
C．汽车甲加速运动，汽车乙减速运动
D．甲乙两汽车做曲线运动
8．（2021?让胡路区校级一模）如图所示为两质点、的位移随时间的变化规律图线，其中曲线为抛物线，为直线，且时图线与时间轴相切。则下列说法正确的是　　
A．时间内，质点的平均速度大于质点的平均速度
B．时刻质点的速度大小为
C．质点的加速度大小为
D．时两质点的速度大小相等
9．（2021?重庆三模）甲、乙两个物体从同一地点同时出发，沿同一直线运动，运动过程中的图像如图所示，下列说法正确的是　　
A．在时间内，某时刻甲、乙两物体的速度相同
B．乙物体运动过程中位移大小增加得越来越快
C．甲物体始终沿同一方向运动
D．在时间内，甲、乙两物体在时刻相距最远
10．（2021?永州模拟）甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，在时，乙车在甲车前处，它们的图像如图所示，下列对汽车运动情况的描述中正确的是　　
A．甲车先做匀速直线运动再做反向匀减速直线运动
B．在第末，甲、乙两车的加速度大小相等
C．在第末，甲、乙两车相距
D．在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次
11．（2021?山东模拟）甲、乙两个质点从同一地点同时开始沿同一直线运动，甲和乙运动的位移时间图像分别如图中直线、曲线所示，曲线是一条抛物线且顶点在原点。在时间内，甲、乙的最大距离为　　
A．
B．
C．
D．
12．（2021?辽宁三模）一物体静止在光滑的固定水平桌面上，现对其施加一水平外力，使它沿水平桌面做直线运动，该物体的图像如图所示，根据图像，下列说法正确的是　　
A．时间内物体运动的加速度始终没有改变
B．时间内物体做加速运动
C．末和末两个时刻物体的加速度相同
D．第末物体的速度改变方向
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精品试卷·第
2
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课时3
运动图像中的追及与相遇问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.理解匀速直线运动的速度图像和位移图象；
2.理解匀变速直线运动的速度图像和位移图象；
3.会利用速度图像求速度和加速度；
4.会求解追及与相遇问题。
1.掌握x-t、v
-t图象的特点并理解其意义
2.会应用x-t图象和v
-t图象解决质点运动的有关问题
3.掌握追及及相遇问题的特点；
4.能熟练解决追及及相遇问题。
考点一：x-t图象
1、图象的物理意义
　　在x-t图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示从计时开始的任一时刻的位置，即从运动开始的这一段时时间内，物体相对于参考点的位移，整个图象反映了物体的位置随时间的变化规律。
2、匀速直线运动
　　物体做直线运动，如果在任意时刻的速度都相等，即在任意相等的时间内通过的位移都相等，则物体做的是匀速直线运动
　　做匀速直线运动的物体的位移-时间图象是一条倾斜的直线。如图1：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　图象上的一个点对应着物体在某时刻的位置。如图中P点表示在第2s末，物体的位置为距参考点正方向2m，Q点表示在第3s末，物体的位置为距参考点正方向3m。
　　从图中也可确定物体在任意时间内的位移。如图中第3s内物体发生的位移为正方向的1m。
　　图上各点切线斜率k=表示速度v，即图线的倾斜程度反映物体运动的快慢，其倾斜程度越大，速度越快。斜率的大小表示做匀速直线运动物体的速度的大小，斜率的正负即为速度的正负。从图1可知，物体的速度为v=1m/s。
3、几点说明
　　(1)物体的x－t图象和物体的运动轨迹不同。
　　(2)若图象不过原点，有两种情况：
　　①图象在纵轴上截距表示开始计时物体相对于参考点的位移；
　　②图象在横轴上的截距表示物体过一段时间再从参考点出发。
　　如图2，图线①开始时相对参考点的位移为x0，图线②经过t0才从参考点出发。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(3)两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。如图2中，图线①和图线②相交于A点，表示两物体在t1时刻相遇，其中x1表示相遇处对参考点的位移。
　　(4)图象是倾斜直线表示物体做匀速直线运动，图象是曲线则表示物体做变速运动，如图3中的②、③图线表示物体做匀速直线运动，①表示物体做变速运动。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(5)图象平行于t轴，即斜率为零，说明物体的速度为零，表示物体静止如图3中④图线；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动，如图3中图线②；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动，如图3中图线③。
　　(6)图象与横轴交叉，表示物体从参考点的一边运动到另一边，如图3中的图线③表示相距参考点x0一边运动到参考点。
考点二：速度－时间图象（v-t图象）
1、图象的物理意义
　　在v-t图象中，横坐标表示从计时开始的各个时刻，纵坐标表示物体某时刻的速度，整个图象反映了物体的速度随时间的变化规律。
　　由于，而v-t图象中的斜率k=，所以，斜率的大小即为加速度的大小，斜率的正负即为加速度的正负。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
(
t/s
v
（
m/s
）
Δ
v
a
b
Δ
t
0
α
)
2、匀速直线运动的v－t图象
　　匀速直线运动的速度v是恒定的，不随时间发生变化，所以v－t图象是一条与横轴平行的直线，如图所示。图中，A的速度为正值表示其速度方向与规定的正方向相同，B的速度为负值，表示它的速度方向与规定的正方向相反。在比较A、B速度的大小时，应该有：。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3、变速直线运动的v－t图象
　　在变速直线运动中，如果在任意相等的时间内速度的改变都相等，这种运动叫匀变速直线运动，它的v－t图象是一条倾斜直线，如图所示，A表示匀加速直线运动的v－t图象，B表示匀减速直线运动的图象。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4、非匀变速直线运动的v－t图象
　　物体做直线运动时，如果在相等的时间内速度改变不相等的叫非匀变速直线运动，它的
v－t图象是一条曲线，如图所示：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5、v－t图象的应用
　　(1)可求出任一时刻的速度。
　　(2)可求出达到某一速度所需的时间。
　　(3)可求出某段时间内发生的位移。
　　运动质点在某段时间t内发生位移的大小是v－t图象与坐标轴及t的始、末时刻线段所围面积的数值，如图：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三：x-t图象与v-t图象的比较
　　　
　　图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在x-t图象与v-t图象中的比较．
x-t图
v-t图
①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度v）
①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a）
②表示物体静止
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体静止在原点O
③表示物体静止
④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为x0
④表示物体做匀减速直线运动；初速度为v0
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度
⑥t1时间内物体位移为x1
⑥t1时刻物体速度为v1（图中阴影部分面积表示质点在0～t1时间内的位移）
考点四：运用图象时的注意问题
1．对运动图象的理解
(1)无论是
x－t
图象还是
v－t
图象都只能描述直线运动．
(2)x－t
图象和
v－t
图象都不表示物体运动的轨迹．
(3)x－t
图象和
v－t
图象的形状由
x
与
t、v
与
t
的函数关系决定．
2．应用运动图象解题“六看”
考点五：追及与相遇问题
1．两类追及问题
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度．
(2)若追不上前者，则当后者速度与前者相等时，两者相距最近．
2．两类相遇问题
(1)同向运动的两物体追及即相遇．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇．
考点六：分析追及、相遇问题时要注意的事项
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临
界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关
系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
(1)做匀速直线运动的物体
B
追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体
A：开始时，两
个物体相距
x0.若
vA＝vB时，xA＋x0vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；
若
vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
(2)数学判别式法：设相遇时间为
t，根据条件列方程，得到关于
t
的一元二次方程，
用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或
相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇．
3．注意三类追及相遇情况
(1)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要判断是运动中被追上还是停止运动后被追上．
(2)若追赶者先做加速运动后做匀速运动，一定要判断是在加速过程中追上还是匀速过
程中追上．
(3)判断是否追尾，是比较后面减速运动的物体与前面物体的速度相等的位置关系，而
不是比较减速到
0
时的位置关系．
4.解题思路
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式．
②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、
“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．
方法技巧——用图象法解决追及相遇问题
(1)两个做匀减速直线运动物体的追及相遇问题，过程较为复杂．如果两物体的加速度
没有给出具体的数值，并且两个加速度的大小也不相同，如果用公式法，运算量比较大，且
过程不够直观，若应用
v－t
图象进行讨论，则会使问题简化．
(2)根据物体在不同阶段的运动过程，利用图象的斜率、面积、交点等含义分别画出相
应图象，以便直观地得到结论．
考点一：x-t图象
某一质点运动的位移x随时间t变化的图象如图所示，则（　　）
A．在10s末时，质点的速度最大
B．在0～10s内，质点所受合外力的方向与速度方向相反
C．在8s和12s时，质点的加速度方向相反
D．在20s内，质点的位移为9m
【解答】：A、位移-时间图象切线的斜率表示该时刻的速度，则知在10s末时，质点的速度为零，故A错误；
B、在0～10s内，斜率逐渐减小，说明物体做减速运动，质点所受合外力的方向与速度方向相反，故B正确；
C、在0～10s内，物体沿正方向做减速运动，加速度方向与速度方向相反，即沿负方向；在10～20s内，斜率为负值，说明物体沿负方向运动，斜率增大，做加速运动，加速度方向与速度方向相同，即沿负方向。所以在8s和12s时，质点的加速度方向相同，故C错误；
D、△x=x2-x1=0-1m=-1m，故D错误。
故选：B。
变式训练1（2021?道里区校级模拟）公路上行驶的甲乙两辆汽车的位移时间图像如图中直线和曲线所示，时刻直线和曲线刚好相切，下列说法正确的是　　
A．甲车做匀变速直线运动
B．乙车做曲线运动
C．时刻，甲乙两车速度相等
D．前
秒内，甲乙两车的位移相等
【分析】图像的斜率表示速度，根据图像的形状分析两车的运动性质，根据位移等于纵坐标的变化量分析两车位移关系。
【解答】解：、根据图像的斜率表示速度，知甲车的图像是倾斜的直线，说明甲车的速度保持不变，做匀速直线运动，故错误；
、图像只能表示直线运动中位移与时间的关系，所以乙车做直线运动，故错误；
、时刻，两图像的斜率相等，说明甲乙两车速度相等，故正确；
、根据位移等于纵坐标的变化量，知前秒内，甲车的位移小于乙车的位移，故错误。
故选：。
考点二：速度－时间图象（v-t图象）
例2、如图，是物体做直线运动的v-t图像，由图可知，该物体(　　)
A．第1s内和第3s内的运动方向相反
B．第3s内和第4s内的加速度相同
C．第1s内和第4s内的位移大小不相等
D．0～2s和0～4s内的平均速度大小相等
【答案】
B
【解析】
0～3s内物体一直沿正方向运动，故选项A错误；v-t图像的斜率表示加速度，第3s内和第4s内图像斜率相同，故加速度相同，选项B正确；v-t图像图线与时间轴包围的面积表示位移的大小，第1s内和第4s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，选项C错误；第3s内和第4s内对应的两个三角形面积相等，故位移大小相等，方向相反，所以0～2s和0～4s内位移相同，但时间不同，故平均速度不相等，选项D错误．
变式训练1（2021?宝鸡模拟）我国自主研发的“歼”隐身战斗机在时刻离开地面起飞，其竖直方向的速度—时间图象如图所示，由图象可知，其在内竖直方向的总位移的大小为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据速度时间图象与时间轴围成的面积大小表示位移，由几何关系求解位移大小。
【解答】解：根据速度时间图象与时间轴围成的面积大小表示位移，则“歼”隐身战斗机在内竖直方向的总位移的大小为：，故正确，错误。
故选：。
变式训练2.（2021?山东模拟）小明、小华两人各自驾车去一起烧烤，假设上高速后不久两人的车同时经过公路上的某一路标且速度相同，与此同时小明的车开始加速，但很快他发现后备箱没关好于是立即刹车（视为匀减速直线运动）直至停止。从小明的车加速开始计时直至停止这一过程中两人的车的图像如下图，则下列说法正确的是　　
A．该过程小明的车平均速度为
B．内小明的车一直在小华的车前方
C．该过程中两车相距最远距离为
D．在时两车相遇
【分析】一、在图像中得出两人的运动特点，小华的车一直匀速直线运动，小明的车先匀加速，然后匀减速。二、计算相距最远时，一定要注意条件为两车共速。此时两车位移分别求出，作差找到最远距离。
【解答】解：、平均速度公式只适用于匀变速直线运动，由图像可知小明车并不是做匀变速直线运动，故错误；
、在内他们两车的位移分别为
代入数据，可得
即小明的车一直在小华的车前方，故正确；错误；
、由图像知小明的车减速时加速度大小为，则小明的车由减速到，由可求得所用时间为△；故小明的车在时刻与小华的车速度相同，此时小华的车通过的位移为：
代入数据，可得
小明的车的位移为：
此时两车距离最远，最远距离为：
△，故错误。
故选：。
考点五：追及与相遇问题
例3、在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件．
【答案】v0≤
【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如右图甲)
利用位移公式、速度公式求解．
对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有xB＝at2，vB＝at，两车有x＝xA－xB
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)
×t2＝x＋at2，整理得3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
解法三：(图象法)利用速度－时间图象求解，先作A、B两车的速度—时间图象，其图象如图乙所示，
设经过t时间两车刚好不相撞，则
对A车有vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差，即为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤.
变式训练1甲、乙两车从同一地点同向行驶，但是甲车做匀速直线运动，其速度为v=20米/秒，乙车在甲车行驶至距离出发地200米处时开始以初速度为零、加速度为a=2米/秒2追甲。求乙车追上甲车前两车间的最大距离。
【答案】300m
【解答】该题中两汽车运动，乙车追甲车，开始乙车初速度为零，做加速运动，甲车在前以恒定速度做匀速运动，在开始一段时间里，甲车速度较乙车速度大，不难想到，只要乙车速度小于甲车速度，两车间距离必随时间延长而增大。反之，如乙车速度在某时刻开始较甲车速度大，则两车间距离随时间延长而变小。显然当两车速度相同时距离最大。
下图中梯形ABDE面积即为最大距离。tm为最大距离的时间。
?????
解法一：两车相遇前距离最大时两车速度必然相等，则运动时间为：
????????????????????
????????????????
???????????????????????????
??????
解法二：两车间距离与时间有关，其关系式为
????????????????????
??????
可见，有最大值：
??????
1．（2021?重庆模拟）某质点做直线运动的图象如图所示，在时间段内，关于该质点的运动，下列说法正确的是　　
A．该运动是匀加速直线运动
B．该运动过程中加速度增大
C．该运动过程中的平均速度
D．该运动过程中经过的位移
【分析】匀加速直线运动的加速度不变，根据图像的斜率变化分析加速度的变化，确定质点的运动性质；将该质点的运动与匀加速直线运动比较，从而确定两者位移关系和平均速度关系。
【解答】解：、根据图象的斜率表示加速度，知该运动过程中加速度逐渐减小，质点做加速度逐渐减小的变加速直线运动，故错误；
、若该质点做初速度为零、末速度为的匀加速直线运动，则其平均速度为。根据图像与时间轴所围的面积表示位移，知该质点的位移大于匀加速直线运动的位移，则质点在该运动过程中的平均速度，故正确；
、由上分析可知，该运动过程中经过的位移，故错误。
故选：。
2．（2021?陈仓区模拟）一辆汽车在平直公路上运动的图象如图所示，则汽车在内和内相比　　
A．速度变化相同
B．加速度相同
C．位移大小相等
D．平均速度相等
【分析】速度变化量为△；图象的斜率表示加速度；图象与时间轴所围的面积大小表示位移大小；根据匀变速直线运动的平均速度公式分析平均速度关系。
【解答】解：、根据速度变化量△，可得汽车在内速度变化量为△；汽车在内速度变化量为△，可知速度变化量不同，故错误；
、两段图象的斜率不同，根据图象的斜率表示加速度，知加速度不同，故错误；
、根据图象与时间轴所围的面积大小表示位移大小，知汽车在内位移大于在内的位移，故错误；
、汽车在内做匀加速直线运动，平均速度为；汽车在内做匀减速直线运动，平均速度为，则知平均速度相等，故正确。
故选：。
3．（2021?烟台模拟）礼让行人已写入我国道路交通安全法：机动车行至人行横道时应减速慢行，遇行人正在通过时，应停车让行。现有一辆汽车在平直公路上以速度匀速行驶，司机发现前方处的人行横道上有人通行，于是刹车礼让，假设驾驶员的反应时间为，汽车刚好在到达人行横道前停下，则下列关于此过程中汽车的图像中，可能正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图像与时间轴所围的面积表示位移，分析汽车在内通过的位移，与进行比较，即可作出判断。
【解答】解：、根据图像与时间轴所围的面积表示位移，可知，该图表示汽车在内通过的位移：，与题意不符，故错误；
、在司机反应时间内，汽车做匀速直线运动，该图像没有画出汽车匀速运动的速度图像，与题意不符，故错误；
、根据图像与时间轴所围的面积表示位移，可知，该图表示汽车在内通过的位移：，则汽车的位移可能为，故正确；
、根据图像与时间轴所围的面积表示位移，可知，该图表示汽车在内通过的位移：，与题意不符，故错误。
故选：。
4．（2021?章丘区模拟）如图所示是某物体做直线运动的图象（其中为速度，为位置坐标），下列关于物体从处运动至处的过程分析，其中正确的是　　
A．该物体做加速度逐渐减小的直线运动
B．该物体的加速度大小为
C．该物体在位移中点的速度等于
D．该物体在运动中间时刻的速度大于
【分析】根据匀变速直线运动的速度位移关系公式列式，来分析速度的平方与位移之间的关系，再根据图像的信息分析物体的运动性质，求得加速度，结合运动学公式求物体在位移中点的速度和物体在运动中间时刻的速度。
【解答】解：、由匀变速直线运动的速度位移关系公式，可得，图象的斜率等于，由图可知，物体的加速度恒定不变，速度均匀减小，故物体做匀减速直线运动，故错误；
、图象的斜率等于，由图可得：，则物体的加速度为，物体的加速度大小为，故正确；
、该物体的初速度为，末速度为0，中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，为
设该物体在位移中点的速度为，由图可知，时，，则，故错误。
故选：。
5．（2021?浙江模拟）我们的社会正从信息时代、数字时代跨入智能时代，无人驾驶的智能汽车也已经进入路试阶段．某公司自主研发了两辆无人驾驶汽车，测试过程中两车的速度时间图像如图所示，其中甲车的图像为一正弦曲线，乙车的图像与横轴平行．已知两车在时恰好经过同一位置，由图可知　　
A．时，甲车的运动方向发生改变
B．甲车在和时的加速度相同
C．时，两车相遇
D．内，两车距离先增大后减小
【分析】在图像中，速度的正负表示速度方向，图像的斜率表示加速度，图像与时间轴围成的面积表示位移，根据位移关系判断两车何时相遇，并判断两车距离的变化情况。
【解答】解：、甲车的速度一直为正，说明甲车运动方向没有改变，故错误；
、根据图像的斜率表示加速度，知甲车在和时的加速度大小相等、方向相反，加速度不同，故错误；
、根据图像与时间轴围成的面积表示位移，知内两车通过的位移相等，因为两车在时恰好经过同一位置，则时两车相遇，故正确；
、两车在时恰好经过同一位置，内，甲车的速度一直比乙车的大，则甲车在乙车的前面，两者距离逐渐增大，故错误。
故选：。
6．（2021?桃城区校级模拟）甲、乙两名运动员在泳池里训练，时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度时间图象分别如图1、2所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点。下列说法正确的是　　
A．游泳池长
B．从时刻起经过两运动员共相遇了3次
C．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
D．在内，两运动员的平均速度大小之比为
【分析】根据图像与时间轴所围的面积来求游泳池长度；画出两人的位移时间图像，两人位移图线的交点表示相遇；根据位移与时间之比求平均速度大小，从而求得平均速度之比。
【解答】解：、根据图像与时间轴所围的面积表示位移，可知游泳池长或，故错误；
、两人的位移时间图像如图所示，由甲、乙的位移时间图线的交点表示相遇，可知甲、乙在时在泳池的一端相遇，在内甲、乙相遇3次，故正确，错误；
、在内，甲的位移大小为，乙的位移大小为
，故在内，两运动员的平均速度大小之比为，故错误。
故选：。
7．（2021?顺德区模拟）甲乙两汽车在路上行驶。在到的时间内，它们的位移—时间图像如图所示。在这段时间内　　
A．甲乙两汽车的平均速度大小相等
B．汽车甲的平均速度比汽车乙大
C．汽车甲加速运动，汽车乙减速运动
D．甲乙两汽车做曲线运动
【分析】平均速度等于位移与时间之比，而位移根据纵坐标的变化量来确定；根据图像的斜率表示速度，分析两车速度变化情况。
【解答】解：、根据位移等于纵坐标的变化量，知甲乙两汽车的位移大小相等，所用时间相等，则平均速度大小相等，故正确，错误；
、根据图像的斜率表示速度，知汽车甲的速度逐渐减小，做减速运动。汽车乙的速度逐渐减小，做减速运动，故错误；
、图像只能表示直线运动中位移随时间的变化情况，所以甲乙两汽车做直线运动，故错误。
故选：。
8．（2021?让胡路区校级一模）如图所示为两质点、的位移随时间的变化规律图线，其中曲线为抛物线，为直线，且时图线与时间轴相切。则下列说法正确的是　　
A．时间内，质点的平均速度大于质点的平均速度
B．时刻质点的速度大小为
C．质点的加速度大小为
D．时两质点的速度大小相等
【分析】内，根据纵坐标的变化量，分析位移关系，再确定平均速度关系；质点做匀减速直线运动，根据图象的斜率表示速度，求出时质点的速度，根据位移等于平均速度乘以时间列式，求时刻的速度大小，即可求得的加速度大小。根据速度公式求出质点的速度大小与的速度相等的时间。
【解答】解：、由图象可知，两质点在内的位移相等，则两质点的平均速度相等，故错误；
、根据图象的斜率表示速度，知时质点的速度为0，设时刻的速度大小为，内质点的位移为，因质点做匀减速直线运动，则，得，故正确；
、质点的加速度，加速度大小为，故错误；
、质点的速度大小为，质点的速度大小等于时，由得，故错误。
故选：。
9．（2021?重庆三模）甲、乙两个物体从同一地点同时出发，沿同一直线运动，运动过程中的图像如图所示，下列说法正确的是　　
A．在时间内，某时刻甲、乙两物体的速度相同
B．乙物体运动过程中位移大小增加得越来越快
C．甲物体始终沿同一方向运动
D．在时间内，甲、乙两物体在时刻相距最远
【分析】位移时间图像表示物体的位置随时间的变化规律，图像上的任意一点坐标表示该时刻的位置，图像的斜率表示该时刻的速度，斜率的正负表示速度的方向，纵坐标的变化量表示位移。
【解答】解：、甲运动对应的图像斜率绝对值先减小到零，后增大，即甲先沿正方向做减速运动，后沿负方向做加速运动，乙沿负方向做匀速直线运动，在时间内，某时刻甲、乙两物体的速度相同时，即在时间内某时刻甲、乙两物体相距最远，故正确，错误；
、乙运动位移大小均匀增加，对应的图像斜率不变，乙做匀速直线运动，故错误。
故选：。
10．（2021?永州模拟）甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，在时，乙车在甲车前处，它们的图像如图所示，下列对汽车运动情况的描述中正确的是　　
A．甲车先做匀速直线运动再做反向匀减速直线运动
B．在第末，甲、乙两车的加速度大小相等
C．在第末，甲、乙两车相距
D．在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次
【分析】在图像中，与时间轴平行的直线表示做匀速直线运动，倾斜的直线表示匀变速直线运动，图像的斜率表示加速度，图像的斜率越大，加速度越大，图像与时间轴围成的面积表示位移。相遇要求两车在同一时刻到达同一位置。
【解答】解：、由图像可知，甲车先做匀速直线运动后做匀减速直线运动，但图线一直在时间轴的上方，故甲车一直沿正方向运动，没有反向运动，故错误；
、图像的斜率表示加速度，则在第末，甲车的加速度为，乙车的加速度为，所以甲、乙两车的加速度大小不等，甲车的加速度较大，故错误；
、图线与轴所围的“面积”表示位移，则在内，甲车的位移大小为，乙车的位移大小为，又因为时乙车在甲车前处，所以在内，甲、乙两车相距△，故错误；
、由于刚开始运动时乙车在甲车前处，甲车的速度大于乙车的速度，经过一段时间甲车可以追上乙车，然后甲车运动到乙车的前面，到末，甲车停止运动，甲车在乙车前处，此时乙车以的速度匀速运动，所以再经过乙车追上甲车，故在整个运动过程中，甲、乙两车可以相遇两次，故正确。
故选：。
11．（2021?山东模拟）甲、乙两个质点从同一地点同时开始沿同一直线运动，甲和乙运动的位移时间图像分别如图中直线、曲线所示，曲线是一条抛物线且顶点在原点。在时间内，甲、乙的最大距离为　　
A．
B．
C．
D．
【分析】在位移时间图像中，抛物线表示做匀变速直线运动，倾斜的直线表示物体做匀速直线运动，图像的斜率表示速度。根据图像的斜率求出甲质点做匀速直线运动的速度，由位移时间公式求出乙的加速度。当两个质点的速度相等时相距最远，结合位移时间图像求解。
【解答】解：根据图像的斜率表示速度，知甲质点做匀速直线运动，速度为。曲线是一条抛物线且顶点在原点，故乙质点做初速度为零的匀加速直线运动，有，当时，，解得，设经过时间时两个质点的速度相等，此时两者间距最大，则，解得，甲、乙的最大距离为，解得，故正确，错误。
故选：。
12．（2021?辽宁三模）一物体静止在光滑的固定水平桌面上，现对其施加一水平外力，使它沿水平桌面做直线运动，该物体的图像如图所示，根据图像，下列说法正确的是　　
A．时间内物体运动的加速度始终没有改变
B．时间内物体做加速运动
C．末和末两个时刻物体的加速度相同
D．第末物体的速度改变方向
【分析】图像的斜率表示加速度，根据图像的斜率分析物体的加速度变化情况，根据图像的形状直接分析物体的运动情况。速度的正负表示运动的方向。
【解答】解：、根据图像的斜率表示加速度，根据图象可知，内，加速度的大小不变，加速度方向发生改变，所以加速度发生改变，故错误；
、时间内，物体的速度减小，做减速运动，故错误；
、末和末两个时刻物体的加速度大小相等，方向相反，则加速度不同，故错误；
、第末物体的速度由正变为负，速度方向发生改变，故正确。
故选：。
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精品试卷·第
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