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幂函数
一、知识点详解
知识点1：常用幂函数的图像与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
这些函数虽然定义域不同，但有公共区间．
为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．
虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在都有定义，图象都过点(1，1)．
注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：
在有定义，图象过点(1，1)；
在上是增函数
在上是减函数
图象过原点
知识点2：二次函数
1．二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
>0
a<0
图象
图象
特点
①对称轴：x＝－；　②顶点：
性质
定义域
x∈R
值域
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
单调性
时递减，
时递增
时递增，
时递减
例题解析
例1：比较下列各组数的大小：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】(1)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x0.1的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1.
(2)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x－0.2的单调性，在第一象限内函数单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数y＝x0.3的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小，考察函数y＝0.3x的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2.
例2：已知幂函数在上是增函数，则＝________.
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得或.
当时，，函数在上是减函数；
当时，，函数在上是增函数．
∴.
例3：若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
答案　D
【解析】设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
例4：若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
【答案】　B
【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
例5：幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】　C
【解析】因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
例6：已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
【解析】(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间．
解：当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
则f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
例7：已知函数，.
(1)若存在使，求实数的取值范围；
(2)设，且在上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（1）据题意可得x2－bx＋b<0?(－b)2－4b>0?b<0或b>4.
故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需?－≤m≤0.
②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1若≥1，则x1≤0，即?m≥2；
若≤0，则x2≤0，即?－1≤m≤－.
综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
三、课堂练习
A级
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1　　　　B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
【答案】
【解析】形如f(x)＝xα的函数是幂函数，其中α是常数．
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
【答案】
【解析】在函数y＝x－1，y＝x，y＝x，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1,3.
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】由题意知即得a>.
B级
1.．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
【答案】2，，－，－2
【解析】作直线x＝t(t>1)与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
【答案】a>c>b
【解析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>0时是增函数，所以a>c，y＝()x在x>0时是减函数，所以c>b.
3．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．
【答案】2
【解析】因为x∈(－1,0)∪(0,1)，所以0<|x|<1.
要使f(x)＝xα>|x|，xα在(－1,0)∪(0,1)上应大于0，
所以α＝－1,1显然是不成立的．
当α＝0时，f(x)＝1>|x|；
当α＝2时，f(x)＝x2＝|x|2<|x|；
当α＝－2时，f(x)＝x－2＝|x|－2>1>|x|.
综上，α的可能取值为0或－2，共2个．
C级
1.是偶函数，且在是减函数，则整数的值是
【答案】
或
【解析】应为负偶数，
即，
当时，或；当时，或
2．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
【解析】　(1)若f(x)为正比例函数，则?m＝1.
(2)若f(x)为反比例函数，
则?m＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则
?m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
3．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)【答案】同解析
【解析】设f(x)＝xα，则由题意，得
2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.
设g(x)＝xβ，由题意，得＝(－2)β，
∴β＝－2，即g(x)＝x－2.
在同一平面直角坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．
由图象可知：
(1)当x>1或x<－1时，
f(x)>g(x)；
(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1f(x)四、课后作业
A级
1．下列函数是幂函数的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
【答案】①②④
【解析】根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为________．
【答案】
【解析】设幂函数为y＝xα，依题意，＝4α，
即22α＝2－1，∴α＝－.
∴幂函数为y＝，∴f(8)＝＝＝＝.
3．下列是y＝的图象的是________．(填序号)
【答案】②
【解析】y＝＝，∴x∈R，y≥0，f(－x)＝＝
＝f(x)，即y＝是偶函数，又∵<1，∴图象上凸．
B级
1．函数y＝＋x－1的定义域是________．
【答案】(0，＋∞)
【解析】y＝的定义域是[0，＋∞)，y＝x－1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，再取交集．
2．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
【答案】m<－
【解析】　由幂函数的性质知－2m－3>0，故m<－.
3．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
【答案】同解析
【解析】由题意，得3m－7<0.
∴m<.
∵m∈N，∴m＝0,1或2，
∵幂函数的图象关于轴对称，
∴3m－7为偶数．
∵m＝0时，3m－7＝－7，
m＝1时，3m－7＝－4，
m＝2时，3m－7＝－1.
故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.
C级
1.设与分别是实系数方程和的一个根，且
，求证：方程有仅有一根介于和之间
【答案】见解析
【解析】令由题意可知
因为
∴，即方程有仅有一根介于和之间
2.函数在区间上有最大值，求实数的值
【答案】或
【解析】对称轴，
当是的递减区间，；
当是的递增区间，；
当时与矛盾；
所以或
3.已知且，求使方程有解时的的取值范围
【答案】同解析
【解析】
，即1，或2
当时，1得，与矛盾；2不成立
当时，1得，恒成立，即；2不成立
显然，当时，1得，不成立，
2得得幂函数
一、知识点详解
知识点1：常用幂函数的图像与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0]减(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
这些函数虽然定义域不同，但有公共区间．
为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中．
虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征．这6个幂函数在都有定义，图象都过点(1，1)．
注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，性质总结如下：
在有定义，图象过点(1，1)；
在上是增函数
在上是减函数
图象过原点
知识点2：二次函数
1．二次函数的定义
形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
>0
a<0
图象
图象
特点
①对称轴：x＝－；　②顶点：
性质
定义域
x∈R
值域
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数
单调性
时递减，
时递增
时递增，
时递减
例题解析
例1：比较下列各组数的大小：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】(1)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x0.1的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1.
(2)由于要比较的数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数y＝x－0.2的单调性，在第一象限内函数单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2.
(3)首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数y＝x0.3的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为0.2＜0.3，所以0.20.3＜0.30.3.
再比较同底数的两个数的大小，考察函数y＝0.3x的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为0.2＜0.3，所以0.30.3＜0.30.2.所以0.20.3＜0.30.3＜0.30.2.
例2：已知幂函数在上是增函数，则＝________.
【解析】∵函数是幂函数，
∴，解得或.
当时，，函数在上是减函数；
当时，，函数在上是增函数．
∴.
例3：若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
答案　D
【解析】设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
例4：若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
【答案】　B
【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.
例5：幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】　C
【解析】因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
例6：已知函数，．
(1)当时，求的最值；
(2)求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
【解析】(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．
所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
故a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
本例条件不变，求当a＝1时，f(|x|)的单调区间．
解：当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
则f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f(x)＝
故f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－6,0]．
例7：已知函数，.
(1)若存在使，求实数的取值范围；
(2)设，且在上单调递增，求实数的取值范围．
【解析】（1）据题意可得x2－bx＋b<0?(－b)2－4b>0?b<0或b>4.
故b的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)．
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需?－≤m≤0.
②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1若≥1，则x1≤0，即?m≥2；
若≤0，则x2≤0，即?－1≤m≤－.
综上所述，m的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．
三、课堂练习
A级
1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1　　　　B．f(x)＝5x2
C．f(x)＝－x2
D．f(x)＝x2
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
B级
1.．图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为________．
2．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
3．函数f(x)＝xα，x∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．
C级
1.是偶函数，且在是减函数，则整数的值是
2．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：
(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．
3．点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)四、课后作业
A级
1．下列函数是幂函数的是________．(填序号)
①y＝；②y＝x3；③y＝2x；④y＝x－1.
2．幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为________．
3．下列是y＝的图象的是________．(填序号)
B级
1．函数y＝＋x－1的定义域是________．
2．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．
3．如图，幂函数y＝x3m－7(m∈N)的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．
C级
1.设与分别是实系数方程和的一个根，且
，求证：方程有仅有一根介于和之间
2.函数在区间上有最大值，求实数的值
3.已知且，求使方程有解时的的取值范围

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