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第四章
数列
4.4
数学归纳法
学案
一、学习目标
1.了解数学归纳法的原理及适用范围.
2.掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论.
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、基础梳理
1.数学归纳法原理：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系：记是一个关于正整数n的命题，用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）为真；（2）若，为真，则也为真.
结论：为真.
三、巩固练习
1.用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式(
)
A.
B.
C.
D.
2.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成(
)
A.假设当时成立，再推出当时成立
B.假设当时成立，再推出当时成立
C.假设当时成立，再推出当时成立
D.假设当时成立，再推出当时成立
3.用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(
)
A.
B.
C.
D.
4.用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为(
)
A.k
B.
C.
D.
5.若命题在时成立，则有时命题成立，现知在时命题成立，则有(
)
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立
C.命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立
D.以上说法都不正确
6.用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是(
)
A.
B.
C.
D.
7.现有命题“，”，用数学归纳法去探究此命题的真假情况，下列说法正确的是(
)
A.不能用数学归纳法判断此命题的真假
B.此命题一定为真命题
C.此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题
D.存在一个很大的常数m，当时，此命题为假命题
8.已知数列满足，若对于任意，都有，则t的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.用数学归纳法证明，假设时，不等式成立，则当时，应推证的目标不等式是___________.
10.用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于__________.
11.用数学归纳法证明“”，第一步应验证的等式是____________，从“”到“”，等式左边需增加的代数式是_______________.
12.用数学归纳法证明：.
13.数列的前n项和为，且满足.
（1）求，，，的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
14.已知数列满足，前项和.
(1)求，，的值；
(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，当时，不等式为，故选B.
2.答案：B
解析：第二步假设当时成立，再推出当时成立.故选B.
3.答案：D
解析：由所证明的等式可知，当时，右边.故选D.
4.答案：B
解析：由题意知，当时，左边，当时，左边，所以从到时，左边增加的项数为.故选B.
5.答案：C
解析：由已知可得时命题成立，则有时命题成立，在时命题成立的前提下，可推得时命题也成立，以此类推，可知命题对大于或等于的正整数都成立，但命题对小于的正整数成立与否不能确定.故选C.
6.答案：D
解析：当时，假设成立的等式为，当时，要证明的等式为
左边需要添加的项为
.故选D.
7.答案：B
解析：①当时，左边=1，右边=1，左边=右边，即时，等式成立；②假设时，等式成立，即，则当时，
，即当时，等式成立.综上，对任意，等式恒成立，故选B.
8.答案：B
解析：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明.
当时，，成立；
假设当时，成立，则当时，，
所以当时，成立.综上，对任意，都有.
因为，所以，
所以当时，恒成立，排除C，D.
当时，，若，则，当时，，不合题意，故排除A.故选B.
9.答案：
解析：观察不等式中各项的分母变化，知时，.
10.答案：6
解析：由题意，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6.
11.答案：；
解析：易知第一步应验证的等式为.当时，等式的左边为，当时，等式的左边为，故从“”到“”，等式左边需增加的代数式是.
12.解析：（1）当时，左边=1，右边，此时等式成立.
（2）假设当时，等式成立，即.
则当时，左边
右边，
即当时，等式也成立.
根据（1）（2）可知，对任意的，等式恒成立.
13.解析：（1）当时，，，
当时，，，
同理可得，.
（2）猜想：.
下面用数学归纳法证明这个猜想：
①当时，，猜想成立.
②假设时，猜想成立，即，
当时，，
，，
即当时，猜想也成立.
由①②知对任意的正整数n都成立.
14.解析：(1)，前项和，
令，得，.
令，得，.
令，得，.
(2)猜想，下面用数学归纳法给出证明.
①当时，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，，
即，
，
，
，
当时结论成立.
由①②可知，对一切都有成立.

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