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3　动量守恒定律
[学习目标]　
1.了解系统、内力和外力的概念.
2.理解动量守恒定律及其表达式，理解动量守恒条件.
3.能用牛顿运动定律推导出动量守恒定律的表达式，了解动量守恒定律的普适性.
4.能用动量守恒定律解决实际问题．
一、相互作用的两个物体的动量改变
如图1所示，质量为m2的B物体追上质量为m1的A物体，并发生碰撞，设A、B两物体碰前速度分别为v1、v2(v2>v1)，碰后速度分别为v1′、v2′，碰撞时间很短，设为Δt.
图1
根据动量定理：
对A：F1Δt＝m1v1′－m1v1①
对B：F2Δt＝m2v2′－m2v2②
由牛顿第三定律F1＝－F2③
由①②③得两物体总动量关系为：
m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2
二、动量守恒定律
1．系统、内力与外力
(1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统．
(2)内力：系统中物体间的作用力．
(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力．
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变．
(2)表达式：
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(作用前后总动量相等)．
(3)适用条件：系统不受外力或者所受外力的矢量和为零．
(4)普适性：动量守恒定律既适用于低速物体，也适用于高速物体．既适用于宏观物体，也适用于微观物体．
1．判断下列说法的正误．
(1)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒．(　×　)
(2)两个做匀速直线运动的物体发生碰撞瞬间，两个物体组成的系统动量守恒．(　√　)
(3)系统动量守恒也就是系统总动量变化量始终为零．(　√　)
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒．(　×　)
2．如图2所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动．设甲同学和他的车的总质量为120
kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5
m/s；乙同学和他的车的总质量为180
kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4
m/s.则碰撞后两车共同的运动速度大小为________，方向________．
图2
答案　0.4
m/s　水平向左
解析　本题的研究对象为两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统，在碰撞过程中此系统的内力远远大于所受的外力，外力可以忽略不计，满足动量守恒定律的适用条件．设甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向，他和车的总质量m1＝120
kg，碰撞前的速度v1＝5
m/s；乙同学和车的总质量m2＝180
kg，碰撞前的速度v2＝－4
m/s.设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为：p＝m1v1＋m2v2
＝120×5
kg·m/s＋180×(－4)
kg·m/s
＝－120
kg·m/s.
碰撞后的总动量为p′＝(m1＋m2)v.
根据动量守恒定律可知p＝p′，
代入数据解得v＝－0.4
m/s，
即碰撞后两车以大小为0.4
m/s的共同速度运动，
运动方向水平向左．
一、对动量守恒定律的理解
1．研究对象：相互作用的物体组成的力学系统．
2．动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力或所受合外力为零．
(2)系统受外力作用，但内力远远大于合外力．此时动量近似守恒．
(3)系统受到的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零(或某一方向上内力远远大于外力)，则系统在该方向上动量守恒．
3．动量守恒定律的三个特性
(1)矢量性：公式中的v1、v2、v1′和v2′都是矢量，只有它们在同一直线上，并先选定正方向，确定各速度的正、负(表示方向)后，才能用代数方法运算．
(2)相对性：公式中的v1、v2、v1′和v2′应是相对同一参考系的速度，一般取相对地面的速度．
(3)普适性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于低速宏观物体组成的系统，也适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统．
关于动量守恒的条件，下列说法正确的是(　　)
A．只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒
B．只要系统所受外力做的功为零，动量一定守恒
C．只要系统所受合外力的冲量为零，动量一定守恒
D．若系统中物体加速度不为零，动量一定不守恒
答案　C
解析　只要系统所受合外力为零，系统动量就守恒，与系统内是否存在摩擦力无关，故A错误；系统所受外力做的功为零，系统所受合外力不一定为零，系统动量不一定守恒，如用绳子拴着一个小球，让小球在水平面内做匀速圆周运动，小球转动的过程中，系统外力做功为零，但小球的动量不守恒，故B错误；力与力的作用时间的乘积是力的冲量，系统所受合外力的冲量为零，即合外力为零，则系统动量守恒，故C正确；碰撞过程，两个物体的加速度都不为零即合力都不为零，但系统的动量却守恒，故D错误．
如图3所示，A、B两物体质量之比为mA∶mB＝3∶2，原来静止在足够长的平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑．当两物体被同时释放后，则(　　)
图3
A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，则A、B组成系统的动量守恒
B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数不相同，则A、B、C组成系统的动量不守恒
C．若A、B所受的摩擦力大小相等，则A、B组成系统的动量守恒
D．若A、B所受的摩擦力大小不相等，则A、B、C组成系统的动量不守恒
答案　C
解析　若μA＝μB，因mA∶mB＝3∶2，故FfA∶FfB＝3∶2，A、B组成的系统合外力不为零，所以A、B组成的系统动量不守恒，A项错误；当FfA＝FfB时，A、B组成的系统合外力为零，动量守恒，C项正确；当把A、B、C作为系统时，由于地面光滑，故不论A、B与C之间摩擦力大小情况如何，系统受到的合外力均等于0，所以A、B、C组成的系统动量守恒，故B、D项错误．
系统动量是否守恒的判定方法
1．选定研究对象及研究过程，分清外力与内力．
2．分析系统受到的外力矢量和是否为零，若外力矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒．
系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化．
3．多个物体情况下，选取不同的物体组成系统，会得出不同的结论．
二、动量守恒定律的应用
1．动量守恒定律的常用表达式
(1)p＝p′：相互作用前系统的总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′：相互作用的两个物体组成的系统，作用前动量的矢量和等于作用后动量的矢量和．
(3)Δp1＝－Δp2：相互作用的两个物体组成的系统，一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量大小相等、方向相反．
(4)Δp＝0：系统总动量增量为零．
2．应用动量守恒定律解题的步骤
如图4所示，A、B两个大小相同、质量不等的小球放在光滑水平地面上，A以3
m/s的速率向右运动，B以1
m/s的速率向左运动，发生正碰后A、B两小球都以2
m/s的速率反弹，求A、B两小球的质量之比．
图4
答案　3∶5
解析　取水平向右为正方向，则有
vA＝3
m/s，vB＝－1
m/s
vA′＝－2
m/s，vB′＝2
m/s
根据动量守恒定律得
mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′
代入数据解得：mA∶mB＝3∶5.
针对训练　一辆平板车沿光滑水平面运动，车的质量m＝20
kg，运动速度v0＝4
m/s，求下列情况下车稳定后的速度大小：
(1)一个质量m′＝2
kg的沙包从5
m高处落入车内；
(2)将一个质量m′＝2
kg的沙包以5
m/s的速度迎面扔入车内．
答案　见解析
解析　(1)竖直下落的沙包在水平方向上速度为零，动量为零，系统在水平方向上动量守恒，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律得
mv0＝(m＋m′)v′，
解得v′＝
m/s.
(2)取v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0－m′v＝(m＋m′)v″
解得v″＝
m/s.
将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的小车上，水平面光滑．开始时甲车速度大小为3
m/s，方向向右，乙车速度大小为2
m/s，方向向左并与甲车速度方向在同一直线上，如图5所示．
图5
(1)当乙车速度为零时，甲车的速度多大？方向如何？
(2)由于磁性极强，故两车不会相碰，那么两车的距离最近时，乙车的速度是多大？方向如何？
答案　(1)1
m/s　方向向右
(2)0.5
m/s　方向向右
解析　两个小车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两车之间的磁力是系统内力，系统动量守恒，设向右为正方向．
(1)v甲＝3
m/s，v乙＝－2
m/s.
根据动量守恒定律得：mv甲＋mv乙＝mv甲′，代入数据解得
v甲′＝v甲＋v乙＝(3－2)
m/s＝1
m/s，方向向右．
(2)两车的距离最近时，两车速度相同，设为v′，
由动量守恒定律得：
mv甲＋mv乙＝mv′＋mv′.
解得v′＝＝＝
m/s＝0.5
m/s，方向向右．
1．(动量守恒的判断)图6所反映的物理过程中，系统动量守恒的是(　　)
图6
A．只有甲和乙
B．只有丙和丁
C．只有甲和丙
D．只有乙和丁
答案　C
解析　题图甲中，在光滑水平面上，子弹水平射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒．题图丙中两球匀速下降，说明两球组成的系统在竖直方向上所受的合外力为零，细线断裂后，两球组成的系统动量守恒，它们在水中运动的过程中，两球整体受力情况不变，遵循动量守恒定律．题图乙中系统受到墙的弹力作用，题图丁中斜面是固定的，题图乙、丁所示过程系统所受合外力不为零，动量不守恒，故只有题图甲、丙系统动量守恒，故C正确．
2.(动量守恒定律的理解)(2021·梁集中学高二第一次调研)我国女子短道速滑队在世锦赛上实现女子3
000
m接力三连冠．如图7所示，观察发现，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲一把，使甲获得更大的速度向前冲出．在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，则(　　)
图7
A．甲对乙的冲量一定与乙对甲的冲量相同
B．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足机械能守恒定律
C．相互作用的过程中甲与乙组成的系统满足动量守恒定律
D．甲、乙的动量变化量一定相同
答案　C
解析　甲对乙的作用力与乙对甲的作用力等大反向，它们的冲量也等大反向，故A错误．由于乙推甲的过程，其他形式的能转化为机械能，故机械能不守恒，B错误．甲、乙相互作用的过程，系统水平方向不受外力的作用，竖直方向所受合外力为零，故系统的动量守恒，此过程甲的动量增大，乙的动量减小，二者动量的变化量大小相等、方向相反，故C正确，D错误．
3．(动量守恒定律的应用)如图8所示，放在光滑水平面上的两物体，它们之间有一个被压缩的轻质弹簧，用细线把它们拴住．已知两物体静止且质量之比为m1∶m2＝2∶1，把细线烧断后，两物体被弹开，速度大小分别为v1和v2，动能大小分别为Ek1和Ek2，则下列判断正确的是(　　)
图8
A．弹开时，v1∶v2＝1∶1
B．弹开时，v1∶v2＝2∶1
C．弹开时，Ek1∶Ek2＝2∶1
D．弹开时，Ek1∶Ek2＝1∶2
答案　D
解析　两物体与弹簧组成的系统所受合外力为零，根据动量守恒定律知，m1v1－m2v2＝0，所以v1∶v2＝m2∶m1＝1∶2，选项A、B错误；由Ek＝得，Ek1∶Ek2＝m2∶m1＝1∶2，选项C错误，D正确．
4．(动量守恒定律的应用)某同学质量为60
kg，在军事训练中要求他从岸上以大小为2
m/s的速度跳到一条向他缓缓漂来的小船上，然后去执行任务，小船的质量是140
kg，原来的速度大小是0.5
m/s，该同学上船后又跑了几步，最终停在船上(船未与岸相撞)，不计水的阻力，求：
(1)人跳上船后，船的最终速度；
(2)船的动量变化量．
答案　见解析
解析　(1)规定该同学原来的速度方向为正方向．设该同学上船后，船与该同学的共同速度为v.该同学跳上小船后与小船达到共同速度的过程，该同学和船组成的系统所受合外力为零，系统的动量守恒，则由动量守恒定律得m人v人－m船v船＝(m人＋m船)v，代入数据解得v＝0.25
m/s，方向与该同学原来的速度方向相同；
(2)船的动量变化量为Δp′＝m船v－m船(－v船)＝140×[0.25－(－0.5)]
kg·m/s＝105
kg·m/s，方向与该同学原来的速度方向相同．
考点一　对动量守恒条件的理解
1．如图1所示，两带电的金属球在绝缘的光滑水平面上沿同一直线相向运动，A所带电荷量为－q，B所带电荷量为＋2q，下列说法正确的是(　　)
图1
A．相碰前两球运动中动量不守恒
B．相碰前两球的总动量随距离的减小而增大
C．两球相碰分离后的总动量不等于相碰前的总动量，因为碰前作用力为引力，碰后为斥力
D．两球相碰分离后的总动量等于相碰前的总动量，因为两球组成的系统所受合外力为零
答案　D
解析　将两球看成整体分析，整体受重力、支持力，水平方向不受外力，故整体系统动量守恒，所以两球相碰前的总动量守恒，两球相碰分离后的总动量等于碰前的总动量．故选D.
2.如图2所示，小车静止放在光滑的水平面上，将系着轻绳的小球拉开一定的角度，然后同时放开小球和小车，不计空气阻力，那么在以后的过程中(　　)
图2
A．小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B．小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
C．小球向左摆到最高点，小球的速度为零而小车的速度不为零
D．在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或者都为零)
答案　D
解析　以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受外力的作用，所以系统在水平方向上动量守恒．由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，所以A、B、C错误，D正确．
3.(2021·防城港市防城中学期中)如图3所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，则下列说法中正确的是(　　)
图3
A．从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒
B．子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒
C．从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统动量守恒
D．若水平桌面粗糙，子弹射入木块的短暂过程中，子弹与木块组成的系统动量不守恒
答案　B
解析　从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的全过程中，由于弹簧对子弹和木块组成的系统有力的作用，所以子弹与木块组成的系统动量不守恒，子弹、木块和弹簧组成的系统由于受到墙壁的弹力作用，动量不守恒，故A、C错误；子弹射入木块瞬间，弹簧仍保持原长，子弹和木块组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒，故B正确；若水平桌面粗糙，子弹射入木块的短暂过程中，由于内力远远大于外力，所以子弹与木块组成的系统动量守恒，故D错误．
考点二　动量守恒定律的应用
4.如图4所示，一平板车停在光滑的水平面上，某同学站在小车上，若他设计下列操作方案，最终能使平板车持续地向右驶去的是(　　)
图4
A．该同学在图示位置用大锤连续敲打车的左端
B．只要从平板车的一端走到另一端即可
C．在车上装个电风扇，不停地向左吹风
D．他站在车的右端将大锤丢到车的左端
答案　C
解析　把人和车看成整体，用大锤连续敲打车的左端，根据动量守恒定律可以知道，系统的总动量为零，车不会持续地向右驶去，故A错误；人从平板车的一端走到另一端的过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，系统总动量为零，车不会持续地向右驶去，故B错误；电风扇向左吹风，电风扇会受到一个向右的反作用力，从而使平板车持续地向右驶去，故C正确；站在车的右端将大锤丢到车的左端的过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，系统总动量为零，车不会持续地向右驶去，故D错误．
5．(2020·福州十一中高二下期中)如图5所示，光滑水平面上有一辆质量为4m的小车，车上左、右两端分别站着甲、乙两人，他们的质量都是m，开始时两个人和车一起以速度v0向右匀速运动．某一时刻，站在车右端的乙先以相对地面向右的速度v跳离小车，然后站在车左端的甲以相对于地面向左的速度v跳离小车．两人都离开小车后，小车的速度将是(　　)
图5
A．1.5v0
B．v0
C．大于v0，小于1.5v0
D．大于1.5v0
答案　A
解析　两人和车组成的系统开始时动量为6mv0，方向向右．当甲、乙两人先后以相对地面大小相等的速度向两个方向跳离时，甲、乙两人动量的矢量和为零，则有6mv0＝4mv车，解得v车＝1.5v0，A正确．
6.如图6所示，光滑的水平面上有大小相同、质量不等的小球A、B，小球A以速度v0向右运动时与静止的小球B发生碰撞，碰后A球速度反向，大小为，B球的速率为，A、B两球的质量之比为(　　)
图6
A．3∶8
B．8∶3
C．2∶5
D．5∶2
答案　C
解析　以A、B两球组成的系统为研究对象，两球碰撞过程动量守恒，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得：mAv0＝mA(－)＋mB·，解得两球的质量之比＝，故C正确．
7.如图7所示，一个质量为M的木箱静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的水平底板上放着一个质量为m的小木块．现使木箱获得一个向右的初速度v0，则(　　)
图7
A．小木块和木箱最终都将静止
B．小木块和木箱最终速度为v0
C．小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动
D．如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动
答案　B
解析　木箱与小木块组成的系统水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒，最终两个物体以相同的速度一起向右运动，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律：Mv0＝(M＋m)v，解得：v＝，B正确，A、C、D错误．
8．质量为M的木块在光滑水平面上以速度v1水平向右运动，质量为m的子弹以速度v2水平向左射入木块，要使木块停下来，必须使发射子弹的数目为(子弹留在木块中不穿出)(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　设发射子弹的数目为n，n颗子弹和木块组成的系统在水平方向上所受的合外力为零，满足动量守恒的条件．选子弹运动的方向为正方向，由动量守恒定律有：nmv2－Mv1＝0，得n＝，故C正确．
9.如图8所示，在光滑水平地面上有A、B两个木块，A、B之间用一轻弹簧连接．A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态．若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　　)
图8
A．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B．木块A离开墙壁前，A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，机械能也不守恒
C．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，机械能也守恒
D．木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统动量守恒，但机械能不守恒
答案　C
解析　若突然撤去力F，木块A离开墙壁前，墙壁对木块A有作用力，所以A、B和弹簧组成的系统动量不守恒，但由于A没有离开墙壁，墙壁对木块A不做功，所以A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，选项A、B错误；木块A离开墙壁后，A、B和弹簧组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒且机械能守恒，选项C正确，D错误．
10.A、B两球之间压缩一根轻弹簧(不拴接)，静置于光滑水平桌面上，已知A、B两球的质量分别为2m和m.当用板挡住A球而只释放B球时，B球被弹出落于距桌边水平距离为x的地面上，B球离开桌面时已与弹簧分离，如图9所示．若以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，则B球的落地点距离桌边的水平距离为(　　)
图9
A.
B.x
C．x
D.x
答案　D
解析　当用板挡住A球而只释放B球时，根据能量守恒定律有弹簧的弹性势能Ep＝mv02，根据平抛运动规律有x＝v0t.当以同样的程度压缩弹簧，取走A左边的挡板，将A、B同时释放，设A、B的水平速度大小分别为vA和vB，规定向左为正方向，则根据动量守恒定律和能量守恒定律有2mvA－mvB＝0，Ep＝×2mvA2＋mvB2，解得vB＝v0，B球的落地点距离桌边的水平距离为x′＝vBt＝x，D选项正确．
11．一辆质量m1＝3.0×103
kg的小货车因故障停在车道上，后面一辆质量m2＝1.5×103
kg的轿车来不及刹车，直接撞入货车尾部失去动力．相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s＝6.75
m停下．已知两车车轮与路面间的动摩擦因数均为μ＝0.6，求碰撞前轿车的速度大小．(重力加速度取g＝10
m/s2)
答案　27
m/s
解析　以轿车运动方向为正方向，由动量守恒定律得
m2v0＝(m1＋m2)v
碰撞后共同滑行过程中，由动能定理得
－μ(m1＋m2)gs＝0－(m1＋m2)v2，
解得v＝9
m/s，
则v0＝v＝27
m/s.
12．(2020·四川省泸县第一中学月考)如图10所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3
kg的薄板，板上有质量m＝1
kg的物块，两者以大小为v0＝4
m/s的初速度朝相反方向运动，薄板与物块之间存在摩擦且薄板足够长，取水平向右为正方向，求：
图10
(1)物块最后的速度；
(2)当物块的速度大小为3
m/s时，薄板的速度．
答案　(1)2
m/s，方向水平向右　(2)
m/s，方向水平向右
解析　(1)由于水平面光滑，物块与薄板组成的系统动量守恒，
设共同运动速度大小为v，由动量守恒定律得
Mv0－mv0＝(m＋M)v
代入数据解得v＝2
m/s，方向水平向右．
(2)由(1)知，物块速度大小为3
m/s时，方向向左，由动量守恒定律得
Mv0－mv0＝－mv1＋Mv′
代入数据解得v′＝
m/s，方向水平向右．
13.如图11所示，在光滑水平面上，使滑块A以2
m/s的速度向右运动，滑块B以4
m/s的速度向左运动并与滑块A发生相互作用，已知滑块A、B的质量分别为1
kg、2
kg，滑块B的左侧连有水平轻弹簧，求：
图11
(1)当滑块A的速度减为0时，滑块B的速度大小；
(2)两滑块相距最近时，滑块B的速度大小；
(3)弹簧弹性势能的最大值．
答案　(1)3
m/s　(2)2
m/s　(3)12
J
解析　(1)A、B与轻弹簧组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒．当滑块A的速度减为0时，滑块B的速度为vB′，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mAvA＋mBvB＝mBvB′
解得vB′＝－3
m/s，
故滑块B的速度大小为3
m/s，方向向左；
(2)两滑块相距最近时速度相同，设此速度为v.
根据动量守恒得：mAvA＋mBvB＝(mA＋mB)v，
解得：v＝－2
m/s，
故滑块B的速度大小为2
m/s，方向向左；
(3)两个滑块的速度相同时，弹簧压缩至最短，弹性势能最大，根据系统的机械能守恒知，弹簧的最大弹性势能为：
Epm＝mAvA2＋mBvB2－(mA＋mB)v2
解得：Epm＝12
J.

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