资源简介

2.7
角的和与差
学习目标：
1.理解角的和差、角平分线的几何意义；(重点）
2.掌握角之间的和差关系，并能进行简单的计算；（难点）
3.了解余角与补角的概念，理解余角与补角的性质并会进行运用.（重点、难点）
学习重点：理解角的和差、角平分线的几何意义，了解补角和余角的概念.
学习难点：角的和差计算、余角及补角性质及其运用.
知识链接
线段的和与差
如图1，AC=_______+________;
　　　BC=_______-_________;
AB=_______-_________.
2.线段的中点
如图1，若点B是线段AC的中点，则AB=_______=_________;AC=_____=________.
计算
45°26’40’’=_______°；
56.435°=___°____’_____’’
.
(
A
B
)4.等式的性质：等式的两边同时__________同一个数，等式仍然成立.
新知预习
角的和与差
如图2：∠AOB=∠
+∠
，∠AOC=∠
-∠
,
∠COB=∠
-∠
.
2.角的平分线
(1)
如图2，如果∠AOC=∠BOC，那么射线OC是∠AOB的角平分线.
角平分线的定义：_______________________________________________
符号语言：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
(∠AOB=2∠
或∠AOB
=2∠
;或∠AOC=∠
，∠BOC
=∠_____
)
3.补角与余角
在图（1）中，∠AOB=90°;在图（2）中，∠DSF=180°,显然有
∠
+∠
=∠AOB=90°;
∠
+∠
=∠DSF=180°.
①如果两个角
，我们就称这两个角互为余角，简称
.其中一个角叫另一个角的
.
②如果两个角
，我们就称这两个角互为补角，简称
.其中一个角叫另一个角的
.
自学自测
1.如图3，填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC=
;
(2)
∠BOC=∠BOD-
;
(3)
∠AOD=∠AOB+∠COD+
;
(4)
∠BOD=∠DOA-∠COA+
.
2、如图4，若∠AOB
=∠BOC
=∠COD，则OB
是
的平分线，
=
∠AOC，
∠BOC
=
=
=
=
.
3.若∠A=34°,则∠A的余角的度数是________;∠A的补角的度数是_______.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：角的和差关系及运算
例1：如图，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC＝51°.
(1)求∠AOD的度数．
(2)求∠AOB和∠DOC的度数．
(3)∠AOB与∠DOC有何大小关系？
【归纳总结】在利用角的和、差关系进行计算时，首先要弄清题意，理清各角之间的数量关系，用两个角的和或差表示第三个角，如果知道任意两个角的度数，第三个角的度数可以通过运算求出来．
例2：两个角的度数之比为7：3，它们的差为36°，求这两个角.
【归纳总结】根据题意，列出方程，求出这两个角的度数.
【针对训练】
1．已知∠AOB＝138°，∠AOC＝∠BOD＝90°.求∠COD的度数．
2．已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，那么∠AOC的度数为(
)
A．
40°
B．40°或80°
C．30°
D．30°或90°
探究点2：角的平分线的应用
例2：如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【归纳总结】解决这类问题，关键是根据角平分线得到相等的角，或求出一个较大的角，借助于某一个中间的角，把未知量转化为已知量．
【针对训练】
1．如图，射线OC平分∠AOD，射线OD平分∠COB，则下列结论错误的是(　　)
A．∠AOC＝∠BOD
B．∠AOD＝2∠BOD
C．∠BOC＝2∠COD
D．∠AOB＝2∠AOD
2．如图，已知∠AOB＝120°，OM平分∠AOB，ON平分∠MOB，则∠AON＝______.
探究点3：角的度、分、秒的计算
例3：计算：
(1)12°59′57″＋57′58″；
(2)97°3′12″－1°45′53″.
【归纳总结】角的度、分、秒进行加、减运算时，度与度加、减，分与分加、减，秒与秒加、减．分秒相加时逢60要进位，相减时要借一作60.
注意：角的度、分、秒进行加减运算时，运算时需将单位化成一致，再进行运算.
【针对训练】
计算：
(1)103.3°＋176°42′－98.34°.
(2)24°22′36″×3.
探究点4：补角与余角
合作探究
（1）图中给出的各角，那些互为补角？
（2）填下列表：
∠a
∠a的余角
∠a的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°
结论：同一个锐角的补角比它的余角大___________________.
（3）填空：
①70°的余角是　
，补角是　
　
.
②∠（∠
<90°）的它的余角是
，它的补角是
.
余角与补角的性质
如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗？试着说明理由.
解：因为∠1和∠2都是∠α的余角
所以∠1+∠α=
°，∠2+∠α=
°，
所以∠
+∠
=∠
+∠
，
所以∠
=∠
.
②如果∠3和∠4都是∠β的补角，那么∠3和∠4相等吗？试说明理由.
解：因为∠3和∠4都是∠β的补角
所以∠3+∠β=
°，∠4+∠β=
°，
所以∠
+∠
=∠
+∠
，
所以∠
=∠
.
由此得出结论：
.
例5：一个角的余角比这个角的补角的少20°，则这个角为（
）
A.30°
B.40°
C.60°
D.75°
【归纳总结】解有关互为余角或互为补角的问题时，除了要弄清楚它们的概念，通常情况下我们可以引进未知数来构造方程求解.
例6：如果∠AOB+∠BOC=90°,
∠BOC与∠COD互余，那么∠AOB和∠COD的关系是（
）
A.互余
B.互补
C.相等
D.不能确定
【归纳总结】同角（等角）的余角相等.
【针对训练】
1.若一个角的补角等于它的余角4倍，求这个角的度数.
2.如图，∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？则∠3与∠2是什么关系？
二、课堂小结
内容
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条______把这个角分成的两个角_____,那么这条射线叫做这个角的___________.
余角与补角
①如果两个角
，我们就称这两个角互为余角，简称
.其中一个角叫另一个角的
.
②如果两个角
，我们就称这两个角互为补角，简称
.其中一个角叫另一个角的
.
余角与补角的性质
_______(或______)的余角相等；
_______(或______)的补角相等.
1．点P在∠MAN内，现有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，下列结论中正确的个数是(
)
①∠AOB＝∠COD　②∠AOD＝3∠BOC
③∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋∠BOD
A．0
B．1
C．2
D．3
3．如图，OD是∠AOC的平分线，OC是∠BOD的平分线，且∠COD＝40°，则∠AOB＝(
)
A．80°
B．100°
C．120°
D．160°
（第2题）
(第3题)
4.一个锐角的补角比这个角的余角大
（
）
A.30?
B.45?
C.60?
D.90?
5．如图，已知∠BOD＝2∠AOB，OC是∠AOD的平分线，则下列四个结论：①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠BOC＝∠AOB；④∠DOC＝3∠BOC.其中正确的是(
)
A．①②
B．③④
C．②③
D．①④
6.若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1的余角是
（
）
A.∠1
B.∠1+∠2
C.（∠1+∠2）
D.（∠2-∠1）
7．已知∠与∠互补，且∠=35?18′，则∠=________.
8．如图，点O是直线AB上一点，已知∠BOD＝30°，OE平分∠AOD，那么∠AOE的度数是____．
9．如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则图中与∠AOD相等的角有___个，与∠AOC相等的角有___个．
10．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
(1)如果∠AOC＝80°，那么∠BOC＝_______；
(2)如果∠AOC＝80°，∠COE＝50°，那么∠BOD＝____．
　
(第8题)
(第9题)　
(第10题)
11．如图，直线AB，CD交于点O，OB平分∠DOE.如果∠COE＝80°，求∠EOB与∠AOC的度数．
12．如图，∠COD是平角，∠AOC＝40°，∠BOD＝50°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，求∠MON的度数．
13..如图，∠AOB=90?，∠AOC=30?，且OM平分∠BOC，
ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数．
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数
（4）从上面结果中看出有什么规律？
当堂检测参考答案：
D
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.144°42’
8.75°
9.3
2
10.
40°
65°
11.【解】　∵∠COE＝80°，AB，CD交于点O，
∴∠EOD＝180°－∠COE＝100°.
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠BOD＝∠EOD＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°.
12.【解】　∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝×40°＝20°，
∠NOD＝∠BOD＝×50°＝25°.
又∵∠COD是平角，
∴∠MOC＋∠MON＋∠NOD＝180°，
∴20°＋∠MON＋25°＝180°，
∴∠MON＝135°.
13.（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，
∴∠BOC=120°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=60°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=45°．
（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，
∴∠BOC=α+30°
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=+15°，∠CON=15°
∴∠MON=∠COM-∠CON=
．
（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，
∴∠BOC=90°+β
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC
∴∠COM=45°+
，∠CON=
．
∴∠MON=∠COM－∠CON=45°．
（4）从上面的结果中，发现：
∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．

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