资源简介

2　简谐运动的描述
[学习目标]　
1.知道振幅、周期和频率的概念，知道全振动的含义.
2.了解初相和相位差的概念，理解相位的物理意义.
3.了解简谐运动的表达式中各量的物理意义，能依据简谐运动表达式描绘振动图像或根据简谐运动图像写出表达式．
一、振幅
1．概念：振动物体离开平衡位置的最大距离．
2．意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，振动物体运动的范围是振幅的两倍．
二、周期和频率
1．全振动：一个完整的振动过程称为一次全振动．做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的．
2．周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期，用T表示．在国际单位制中，周期的单位是秒(s)．
3．频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数，用f表示．在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz.
4．周期和频率的关系：f＝.周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示振动越快．
5．圆频率ω：表示简谐运动的快慢，其与周期T、频率f间的关系式为ω＝，ω＝2πf.
三、相位
1．概念：描述做简谐运动的物体在一个运动周期中的状态．
2．表示：相位的大小为ωt＋φ，其中φ是t＝0时的相位，叫初相位，或初相．
3．相位差：两个相同频率的简谐运动的相位的差值，Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)．
四、简谐运动的表达式
x＝Asin
(ωt＋φ0)＝Asin
(t＋φ0)，其中：A为振幅，ω为圆频率，T为简谐运动的周期，φ0为初相位．
1．判断下列说法的正误．
(1)在简谐运动的过程中，振幅是不断变化的．(　×　)
(2)振幅是振动物体离开平衡位置的最大位移，它是矢量．(　×　)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程．(　×　)
(4)振动周期指的是振动物体从一侧最大位移处，运动到另一侧最大位移处所用的时间．
(　×　)
(5)相位反映了振动物体的振动步调．(　√　)
(6)两个振动物体相位相同，则其振动步调相反．(　×　)
(7)按x＝5sin
(8πt＋π)
cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为0.25
s．(　√　)
2．弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间距离是20
cm，振子从A到B运动的时间是2
s，如图1所示，则弹簧振子的振幅A＝________
cm，弹簧振子的振动周期为________
s，圆频率ω＝________
rad/s.
图1
答案　10　4　
一、简谐运动的振幅、周期和频率
导学探究
如图2所示为理想弹簧振子，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称．
图2
(1)从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？
(2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
答案　(1)不是．经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同．
(2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关．位移相同，均为零．路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关．
知识深化
1．对全振动的理解
(1)经过一次全振动，位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同．
(2)经过一次全振动，振子历时一个周期．
(3)经过一次全振动，振子的路程为振幅的4倍．
2．振幅和位移的区别
(1)振幅等于最大位移的数值．
(2)对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的．
(3)位移是矢量，振幅是标量．
3．路程与振幅的关系
(1)振动物体在一个周期内的路程为四个振幅．
(2)振动物体在半个周期内的路程为两个振幅．
(3)振动物体在个周期内的路程不一定等于一个振幅．
4．一个振动系统的周期和频率有确定的值，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关．
如图3所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，静止释放后振子在A、B间振动，且AB＝20
cm，振子由A首次到B的时间为0.1
s，求：
图3
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)振子在5
s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小．
答案　(1)10
cm　0.2
s　5
Hz　(2)0.05
s
(3)1
000
cm　10
cm
解析　(1)由题图可知，振子振动的振幅为10
cm，
t＝0.1
s＝，所以T＝0.2
s.
由f＝得f＝5
Hz.
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05
s.
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10
cm.振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5
s＝25T内通过的路程s＝40×25
cm＝1
000
cm.5
s内振子振动了25个周期，故5
s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10
cm.
(2020·长春市外国语学校期中)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图4所示，由图可知(　　)
图4
A．质点振动的频率是4
Hz，振幅是2
cm
B．质点经过1
s通过的路程总是2
cm
C．0～3
s内，质点通过的路程为6
cm
D．t＝3
s时，质点的振幅为零
答案　C
解析　由题图可以直接看出振幅为2
cm，周期为4
s，所以频率为0.25
Hz，故A错误；质点在1
s即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时质点在正向最大位移处，0～3
s为T，则质点通过的路程为3A＝6
cm，故C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3
s时，质点的位移为零，但振幅仍为2
cm，故D错误．
二、简谐运动的表达式、相位
1．相位
相位ωt＋φ描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
2．相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)．
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相．
3．简谐运动的表达式x＝Asin
(t＋φ0)
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律．
(2)从表达式x＝Asin
(ωt＋φ)体会简谐运动的周期性．当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝2nπ时，Δt＝＝nT，振子位移相同，每经过周期T完成一次全振动．
(2020·福建省永春第一中学月考)有一个弹簧振子，振幅为0.8
cm，周期为0.5
s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sin(4πt＋)
m
B．x＝8×10－3sin(4πt－)
m
C．x＝8×10－3sin(4πt＋)
m
D．x＝8×10－3sin(t＋)
m
答案　A
解析　由题可知，A＝0.8
cm＝8×10－3
m，T＝0.5
s，则ω＝＝4π
rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8
cm，初相位φ0＝，得弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin(4πt＋)
m，A正确．
三、简谐运动的周期性与对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图5所示，物体在A、B两点间做简谐运动，O点为平衡位置，OC＝OD.
图5
(1)时间的对称
①物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD.
②物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.
(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反．
(3)位移的对称
①物体经过同一点(如C点)时，位移相同．
②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等、方向相反．
命题角度1　简谐运动的对称性
如图6所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2
s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5
s时，振子速度第二次变为－v，已知B、C之间的距离为25
cm.
图6
(1)求弹簧振子的振幅A；
(2)求弹簧振子的振动周期T和频率f.
答案　(1)12.5
cm　(2)1
s　1
Hz
解析　(1)弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，所以振幅是B、C之间距离的一半，
所以A＝
cm＝12.5
cm.
(2)由简谐运动的对称性可知从P到B的时间与从B返回到P的时间是相等的，
所以tBP＝
s＝0.1
s
同理可知：tPO＝
s＝0.15
s，
又tBP＋tPO＝
可得：T＝1
s，
则f＝＝1
Hz.
命题角度2　简谐运动的多解性
一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13
s质点第一次通过M点，再经0.1
s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大？
答案　0.72
s或0.24
s
解析　将物理过程模型化，画出具体的图景．
第一种可能是M点在O点右方，质点从O到M运动时间为0.13
s，再由M经最右端A返回M经历时间为0.1
s，如图甲所示．
另有一种可能是M点在O点左方，如图乙所示，质点由O点经最右端A点后向左经过O点到达M点历时0.13
s，再由M向左经最左端A′点返回M历时0.1
s.
根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性．
第一种情况，由图甲可以看出质点从O→M→A历时0.18
s，根据简谐运动的对称性可得＝0.18
s，得T1＝0.72
s．另一种情况，由图乙可知，质点从O→A→M历时t1＝0.13
s，质点从M→A′历时t2＝0.05
s，则T2＝t1＋t2，解得T2＝0.24
s.
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样就形成简谐运动的多解问题．
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这种也形成多解问题．
1．(描述简谐运动的物理量)弹簧振子在A、B间做简谐运动，O为平衡位置，A、B间的距离是20
cm，振子由A运动到B的时间是2
s，如图7所示，则(　　)
图7
A．从O→B→O振子做了一次全振动
B．振动周期为2
s，振幅是10
cm
C．从B开始经过6
s，振子通过的路程是60
cm
D．从O开始经过3
s，振子处在平衡位置
答案　C
解析　振子从O→B→O只完成半个全振动，A错误；从A→B振子也只完成了半个全振动，半个全振动的时间是2
s，所以振动周期是4
s，振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，振幅A＝10
cm，B错误；t＝6
s＝1T，所以振子经过的路程为4A＋2A＝6A＝60
cm，C正确；从O开始经过3
s，振子处在位置A或B，D错误．
2．(简谐运动的表达式)(2020·山东省实验中学检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1·sin
2.5πt，位移x的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2
m
B．弹簧振子的周期为1.25
s
C．在t＝0.2
s时，振子的运动速度最大
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin
(2.5πt＋)
m，则A滞后B
答案　D
解析　由振动方程可知振幅为0.1
m，圆频率ω＝2.5π
rad/s，故周期T＝＝
s＝0.8
s，故A、B错误；在t＝0.2
s时，x＝0.1
m，即振子的位移最大，速度最小，为零，故C错误；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或者说A滞后B，故D正确．
3.(简谐运动的周期性和对称性)如图8所示，一质点沿水平直线做简谐运动，先后以相同速度通过a、b两点，经历时间tab＝1
s，过b点后再经t′＝1
s质点第一次反向通过b点．O点为平衡位置，若在这两秒内质点通过的路程是8
cm，求该质点的振动周期和振幅．
图8
答案　4
s　4
cm
解析　简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动，因为通过a、b两点时的速度相同，根据简谐运动的对称性，可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同，即tba＝tab＝1
s，质点从a点经最左端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经最右端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1
s.
综上所述，质点的振动周期为T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4
s．由题图和简谐运动的对称性可知，质点在一个周期内通过的路程为s＝2＋2＋2＝2(＋2)＝2×8
cm＝16
cm.所以质点的振幅为A＝＝4
cm.
考点一　简谐运动的振幅、周期和频率
1．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法中正确的是(　　)
A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率无关
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
答案　D
解析　振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，A错误；周期和频率互为倒数，即T＝，故T·f＝1，B错误；做简谐运动的物体的振动周期和频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，C错误，D正确．
2.(2020·苏州市高二下期中)如图1所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8
cm，小球完成30次全振动所用时间为60
s，则(　　)
图1
A．振动周期是2
s，振幅是8
cm
B．振动频率是2
Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是8
cm
D．小球过O点时开始计时，3
s内通过的路程为24
cm
答案　D
解析　由题意可知T＝
s＝2
s，A＝
cm＝4
cm，A错误；频率f＝＝
Hz＝0.5
Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4
cm＝16
cm，C错误；小球在3
s内通过的路程为s＝×4A＝×4×4
cm＝24
cm，D正确．
3．(2021·临漳一中月考)如图2甲所示，弹簧振子在竖直方向做简谐运动．以其平衡位置为坐标原点，竖直向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　)
甲　　　　　　　　乙
图2
A．振子的振幅为4
cm
B．振子的振动周期为1
s
C．t＝1
s时，振子的速度为正的最大值
D．t＝1
s时，振子的加速度为正的最大值
答案　C
解析　由振动图像可知，振子的振幅为2
cm，周期为2
s，故A、B错误；t＝1
s时，振子处于平衡位置，加速度为0，速度为正的最大值，故C正确，D错误．
4．如图3是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)
图3
A．振动周期是2×10－2
s
B．物体振动的频率为0.25
Hz
C．物体振动的振幅为10
cm
D．在6×10－2
s内通过的路程是50
cm
答案　C
解析　由题图知周期是4×10－2
s，A项错误；又f＝，所以f＝25
Hz，B项错误；由题图知物体振动的振幅A＝10
cm，C项正确；t＝6×10－2
s＝1T，所以物体通过的路程为4A＋2A＝6A＝60
cm，D项错误．
5．关于弹簧振子的位置和路程，下列说法中正确的是(　　)
A．运动一个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的4倍
B．运动半个周期，位置一定不变，路程一定等于振幅的2倍
C．运动个周期，位置可能不变，路程一定等于振幅的3倍
D．运动一段时间位置不变时，路程一定等于振幅的4倍
答案　A
解析　运动一个周期，振子完成一次全振动，回到起始位置，故位置一定不变，路程是振幅的4倍，故A正确；例如：振子从一端开始运动，经过半个周期，则振子恰好到达另一端点，位置变化，故B错误；若从最大位移处与平衡位置之间的某点开始运动，运动周期时由于速度不是均匀变化的，路程并不等于振幅的3倍，故C错误；只有振子振动一个周期时，路程才等于振幅的4倍，例如：振子回到出发点，但速度反向，则不是一个周期，路程不等于振幅的4倍，故D错误．
考点二　简谐运动的相位及表达式
6．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝3sin(t＋)
cm，则(　　)
A．质点的振幅为3
m
B．质点的振动周期为
s
C．t＝0.75
s时，质点到达距平衡位置最远处
D．质点前2
s内的位移为－4.5
cm
答案　D
解析　从关系式可知A＝3
cm，ω＝
rad/s，故周期为T＝＝3
s，A、B错误；t＝0.75
s时，质点的位移为x＝3sin(×＋)
cm＝0，质点在平衡位置处，C错误；在t＝0时刻质点的位移x＝3
cm,2
s时质点的位移x′＝3sin(×2＋)
cm＝－1.5
cm，故前2
s内质点的位移为－4.5
cm，D正确．
7.如图4所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
图4
A．A、B之间的相位差是
B．A、B之间的相位差是π
C．B比A超前
D．A比B超前
答案　D
解析　由题图可知A比B超前，相位差为Δφ＝，选项D正确．
8．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin
t，则质点(　　)
A．第1
s末与第3
s末的位移大小相等，方向相反
B．第1
s末与第3
s末的速度相同
C．第3
s末与第5
s末的位移方向相同
D．第3
s末与第5
s末的速度方向相同
答案　D
解析　根据x＝Asin
t可求得该质点的振动周期为T＝8
s，则该质点的振动图像如图所示．图像中图线切线的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1
s末和第3
s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A、B错误；第3
s末和第5
s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
考点三　简谐运动的周期性与对称性
9．一质点做简谐运动，它从最大位移处经0.3
s第一次到达某点M处，再经0.2
s第二次到达M点，则其振动频率为(　　)
A．0.4
Hz
B．0.8
Hz
C．2.5
Hz
D．1.25
Hz
答案　D
解析　由题意知，从M位置沿着原路返回到起始最大位移处的时间也为0.3
s，故完成一个全振动的时间为：T＝0.3
s＋0.2
s＋0.3
s＝0.8
s，故频率为f＝＝1.25
Hz，D正确．
10.一个做简谐运动的质点，先后以同样的速度通过相距10
cm的A、B两点，历时0.5
s(如图5所示)．过B点后再经过t＝0.5
s，质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点，则质点振动的周期是(　　)
图5
A．0.5
s
B．1.0
s
C．2.0
s
D．4.0
s
答案　C
解析　根据题意，由简谐运动的对称性可知：AB的中点(设为O)为平衡位置，A、B两点对称分布于O点两侧，如图所示．质点从平衡位置O向右运动到B的时间为tOB＝×0.5
s＝0.25
s．质点从B向右到达右方最远位置(设为D)的时间tBD＝×0.5
s＝0.25
s，所以，质点从O到D的时间：tOD＝T＝0.25
s＋0.25
s＝0.5
s，所以T＝2.0
s，C正确．
11．如图6甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动，以向右为正方向．振动物体的位移x随时间t变化的图像如图乙所示．下列判断正确的是(　　)
图6
A．t＝0.8
s时，振动物体的速度方向向右
B．振动物体做简谐运动的表达式为x＝12sin
(1.25πt)
cm
C．t＝0.4
s和t＝1.2
s时，振动物体的加速度相同
D．从t＝0.4
s到t＝0.8
s时间内，振动物体的速度逐渐减小
答案　B
解析　t＝0.8
s时，x－t图像中图线切线的斜率为负，说明振动物体的速度为负，即速度方向向左，A错误；由题图乙可知，ω＝＝
rad/s＝1.25π
rad/s，振幅为A＝12
cm，振动物体做简谐运动的表达式为x＝Asin
ωt＝12sin
(1.25πt)
cm，B正确；t＝0.4
s和t＝1.2
s时，振动物体分别在正向最大位移处和负向最大位移处，位移方向相反，其加速度方向相反，C错误；从t＝0.4
s到t＝0.8
s时间内，振动物体由正向最大位移处向平衡位置靠近，速度逐渐增大，D错误．
12．弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从振子通过O点时开始计时，振子第一次到达M点用了0.3
s，又经过0.2
s第二次通过M点，求振子第三次通过M点还要经过的时间．
答案　
s或1.4
s
解析　假设弹簧振子在B、C之间振动，如图甲，若振子开始先向左振动，振子的振动周期为T＝×4
s＝
s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝
s－0.2
s＝
s．如图乙，若振子开始先向右振动，振子的振动周期为T＝4×(0.3＋)
s＝1.6
s，则振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝1.6
s－0.2
s＝1.4
s.
13.如图7所示为A、B两质点做简谐运动的位移－时间图像．试根据图像求：
(1)质点A、B的振幅和周期；
(2)这两个质点简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05
s时两质点的位移分别为多少．
图7
答案　见解析
解析　(1)由题图知质点A的振幅是0.5
cm，周期为0.4
s，质点B的振幅是0.2
cm，周期为0.8
s.
(2)由题图知，质点A的初相φA＝π，
由TA＝0.4
s得ωA＝＝5π
rad/s，
则质点A的位移表达式为xA＝0.5sin
(5πt＋π)
cm，
质点B的初相φB＝，
由TB＝0.8
s得ωB＝＝2.5π
rad/s，
则质点B的位移表达式为xB＝0.2sin
(2.5πt＋)
cm.
(3)将t＝0.05
s分别代入两个表达式得
xA＝0.5sin
(5π×0.05＋π)
cm
＝－0.5×
cm＝－
cm，
xB＝0.2sin
(2.5π×0.05＋)
cm＝0.2sin
(π)
cm.
14.如图8所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为x＝0.1sin
(2.5πt)
m．t＝0时刻，一小球从距物块平衡位置h高处自由落下；t＝0.6
s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10
m/s2.以下判断正确的是(　　)
图8
A．h＝1.9
m
B．简谐运动的周期是0.8
s
C．0.6
s内物块运动的路程是0.2
m
D．t＝0.4
s时，物块与小球运动方向相反
答案　B
解析　简谐运动的周期是T＝＝
s＝0.8
s，选项B正确；t＝0.6
s时，物块的位移为x＝0.1sin
(2.5π×0.6)
m＝－0.1
m，则对小球h＋|x|＝gt2，解得h＝1.7
m，选项A错误；t＝0.6
s＝T，则0.6
s内物块运动的路程是3A＝0.3
m，选项C错误；t＝0.4
s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，选项D错误．

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