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专题1.2有理数及其运算
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【知识梳理】
1正数和负数
（1）在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
（2）0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
（3）用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2有理数
（1）有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
（2）有理数的分类：
3数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
???????
?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
5绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a
绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
6有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
7科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．?
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
9有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；?
结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
10有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
即：a-b=a+（-b）??
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；?
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；
二是减数的性质符号（减数变相反数）；?
11有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．?
（2）任何数同零相乘，都得0．???
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．?
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
12有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a?（b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
13有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．?
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
【例1】（2020秋?天河区校级期中）火星白天地面温度零上5℃记作+5℃，夜间温度零下123℃记作（　　）
A．+123℃
B．﹣5℃
C．+5℃
D．﹣123℃
【变式1.1】（2020秋?香洲区校级期中）在0，﹣1，﹣2，﹣3，16，8，，中负数的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式1.2】（2020秋?香洲区校级期中）若收入80元记作+80元，则﹣20元表示（　　）
A．收入20元
B．收入60元
C．支付60元
D．支付20元
【变式1.3】（2020秋?潍城区期中）某品牌大米包装袋上的重量标识为（10±0.1）kg，下列四个数量表示4袋大米的重量，其中不合格的是（　　）
A．9.09kg
B．9.99kg
C．10.01kg
D．10.09kg
【考点2】有理数的分类
【例2】（2020秋?新吴区期中）下列说法正确的是（　　）
A．有理数分为正数、负数和零
B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数
D．整数包括正整数和负整数
【变式2.1】（2020秋?永吉县期中）下面关于0的四种说法，其中正确的是（　　）
A．0是正数
B．0是负数
C．0既是正数也是负数
D．0是有理数
【变式2.2】（2020秋?射洪市期中）下列各数中：，﹣3.1416，0，，10%，17，﹣3.，﹣89；分数有　　个；非负整数有　　个．
【变式2.3】（2020秋?潮南区期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：3，，0，﹣9%，﹣6，0.8．
负有理数{　
　…}；
整数{　
　…}；
正分数{　　…}．
【考点3】数轴
【例3】（2020秋?金昌期中）以下数轴画法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式3.1】（2020秋?潍城区期中）在数轴上，点A到﹣2的距离等于3，则点A表示的数是　1或﹣5　．
【变式3.2】（2020秋?仪征市期中）如图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，若表示1的点与表示﹣3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为　﹣6.5　．
【变式3.3】（2020秋?农安县期中）数轴上M点表示﹣5，N点表示﹣3，则这两点中，　N　点离原点较近．
【变式3.4】（2020秋?海淀区期中）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（　　）
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
【考点4】相反数与绝对值
【例4】（2020秋?庆阳期中）a的相反数为﹣2，则a等于（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．
【变式4.1】（2020秋?新吴区期中）在①+（+3）与﹣（﹣3）；②﹣（+3）与+（﹣3）；③+（+3）与﹣（+3）；④+（﹣3）与﹣（﹣3）中，互为相反数的是　③④　．（填序号）
【变式4.2】（2019秋?武侯区校级月考）化简：
（1）﹣[﹣（+4）]；
（2）．
【变式4.3】（2020秋?海曙区校级期中）若|x|+|y|＝3，则满足条件的整数x和整数y的值有　12　组．
【变式4.4】（2020秋?赤壁市校级月考）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．
【考点5】有理数的大小比较
【例5】（2020秋?市中区期中）比较下列各数的大小，再在数轴上表示出来，并按照由小到大的顺序用“＜”把它们连起来：
﹣3.5，2，﹣|﹣4|，0，﹣（﹣1.5）．
【变式5.1】（2020秋?永春县期中）把下列各数填入相应的大括号里，并比较各数大小用“＜”连接．
8，﹣1.9，0，，﹣3，﹣7
（1）正数：{　
　…}；
（2）负分数：{　
　…}；
（3）非负整数：{　
　…}．
【变式5.2】（2020秋?苏州期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．
（1）比较大小：a　　0，b　　﹣2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）化简：|a|﹣|b+2|﹣|a+c|．
【变式5.3】（2020秋?朝阳区期中）如图，在数轴上，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且A、B两点到原点的距离相等．
（1）a+b＝　；　　．
（2）将a、b、c、﹣c按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来．
【考点6】科学记数法与近似数
【例6】（2020秋?恩施市期中）某种液体每升含有1012个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌．现准备将3L该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为10﹣4L，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？
【变式6.1】（2018秋?浦东新区期中）计算：（6×102）2×（）（用科学记数法表示）．
【变式6.2】（2020春?江宁区月考）据不完全统计，某市至少有6×105个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约1.68×105立方米．
（1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米）
（2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？
【变式6.3】（2019秋?闵行区期末）“2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在中国上海国家会展中心举行，参加会展的国家、地区和国际组织从第一届的130个增加到180个，此次进博会交易采购成果丰硕，按一年计，累计意向成交约711.3亿美元，比第一届增长23%．”根据以上资料计算：
（1）参加第二届进博会的国家、地区和国际组织的数量与第一届相比增加的百分数是多少？（精确到0.1%）
（2）第一届进口博览会的累计意向成交额约多少亿美元？（保留一位小数）
【考点7】有理数的加减运算
【例7】（2020秋?沙河口区期中）计算：
（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；
（2）．
【变式7.1】（2020秋?津南区期中）计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣8）+（+20）．
（2）2（﹣31）．
【变式7.2】（2020秋?临漳县期中）计算：
（1）﹣6.25﹣1.4+（﹣7.6）+5.25；
（2）．
【变式7.3】（2020秋?锦江区校级期中）若|x|＝5，|y|＝2，且|x﹣y|＝y﹣x；求2x+3y的值．
【考点8】有理数的乘除运算
【例8】（2020秋?广信区月考）计算：
（1）；
（2）．
【变式8.1】计算：
（1）﹣124；
（2）（﹣72）÷9；
（3）（﹣2）÷（）；
（4）3（）÷（）；
（5）（﹣81）÷2（）÷（﹣8）；
（6）﹣1（﹣0.25）×（﹣1）．
【变式8.2】（2020秋?芝罘区期中）已知有理数x，满足|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x+y＜0，求x﹣y的值；
（2）若xy＜0，求x+y的值．
【变式8.3】（2020?邢台模拟）下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（）×（﹣3）
＝[2÷（）+2]×（﹣3），①
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3），②
＝18﹣24，③
＝6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是　　；
（2）请给出正确的解题过程．
【变式8.4】（2019秋?苍南县期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题．
（1）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为　　．
（2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为　　
【考点9】有理数的乘方运算
【例9】（2020秋?立山区期中）计算题
（1）﹣81÷（﹣2）（﹣16）；
（2）（）÷（1）；
（3）﹣32÷（﹣2）3×|﹣1|×6+（﹣2）4；
（4）﹣（）2×18﹣2×（）|﹣8|×0.52+1（﹣1）2．
【变式9.1】（2020秋?宣化区期中）计算：
（1）（﹣2）+（﹣3）﹣（+1）﹣（﹣6）；
（2）（﹣24）×（）；
（3）﹣22﹣（﹣2）2×0.25；
（4）25（﹣25）25×（）；
【变式9.2】（2020秋?马山县期中）计算题：
（1）23+（﹣18）+5+（﹣10）；
（2）﹣4×（﹣11）﹣6÷（﹣3）；
（3）24×（）；
（4）（﹣2）3|﹣2|×（3﹣33）．
【变式9.3】（2020秋?和平区期中）已知下列有理数：0，（﹣2）2，﹣|﹣4|，，﹣（﹣1）
（1）计算：（﹣2）2＝　4　，﹣|﹣4|＝　﹣4　，﹣（﹣1）＝　1　；
（2）这些数中，所有负数的和的绝对值是　　．
（3）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上描出表示0，（﹣2）2，﹣|﹣4|，，﹣（﹣1）这些数的点，并把这些数标在对应点的上方．
【变式9.4】（2020秋?朝阳区校级期中）已知|a﹣2|+（b）2＝0，求a2020b2021的值．
【考点10】有理数的有关新定义运算
【例10】（2019?德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　　．
【变式10.1】（2019秋?南浔区期中）定义一种正整数的“H运算”是：①当它是奇数时，则该数乘以3加13；②当它是偶数时，则取该数得一半，一直取到结果为奇数停止．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过三次“H运算”的结果为46，那么28经2019次“H运算”得到的结果是　　．
【变式10.2】（2019秋?大安市期末）若定义一种新的运算“
”，规定有理数a
b＝4ab，如2
3＝4×2×3＝24．
（1）求3
（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）
（6
3）的值．
【变式10.3】（2020秋?泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（），M（），M（），…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]．
【考点11】有理数的实际问题
【例11】（2020秋?潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？
（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
【变式11.1】（2020秋?广汉市期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
﹣4km
﹣3km
10km
【变式11.2】（2020秋?云梦县期中）梦泽玩具厂本周计划生产某种型号的玩具1400件，平均每天生产200件，但由于工人轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天生产量与计划量相比情况如表（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
﹣2
﹣4
+13
+16
﹣9
﹣10
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具多少件？
（2）本周生产了多少件玩具？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超出部分每件另加30元，少生产一件扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【变式11.3】（2020秋?城关区校级期中）如表给出了某班5名同学的身高情况（单位：cm）．
学生
A
B
C
D
E
身高（单位：cm）
156
　155　
165
160
　164　
身高与班级平均身高的差值
　﹣4　
﹣5
　+5　
0
+4
（1）完成表中空的部分；
（2）他们5人中最高身高比最矮身高高多少？
（3）如果身高达到或超过平均身高时叫达标身高，那么这5名同学身高的达标率是多少？
【变式11.4】（2020秋?陆川县期中）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
进、出记录
+34
﹣20
﹣30
+26
﹣24
+50
﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨1800元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2100元，则这一周的利润为多少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到160吨？
【考点12】以数轴为背景的综合问题
【例12】（2019秋?顺义区期末）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1．设点A，B，C所对应的数之和是m，点A，B，C所对应的数之积是n．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算m的值；若以C为原点，m又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝4，求n的值．
【变式12.1】（2020春?南岗区期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+12|+（b﹣6）2＝0．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【变式12.2】（2020秋?和平区校级月考）一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了6km到达小明家，最后回到超市，以超市为原点，向东为正方向，用一个单位长度表示1km，完成以下问题：
（1）以A表示小彬家，B表示小颖家，C表示小明家，在数轴上标出A、B、C的位置．
（2）小明家距小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？如果货车行驶1km的用油量为0.35升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
【变式12.3】（2019秋?柯桥区期末）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．
（1）填空：abc　＜　0，a+b　＞　0：（填“＞”，“＝”或“＜”）
（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，
①当b2＝16时，求c的值；
②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为　3　．
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专题1.2有理数及其运算
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【知识梳理】
1正数和负数
（1）在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
（2）0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
（3）用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2有理数
（1）有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
（2）有理数的分类：
3数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
???????
?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
4相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
5绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a
绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
6有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
7科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．?
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
8科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10-n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
9有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；?
结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
10有理数的减法
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
即：a-b=a+（-b）??
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；?
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；
二是减数的性质符号（减数变相反数）；?
11有理数的乘法
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．?
（2）任何数同零相乘，都得0．???
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．?
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
12有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a?（b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
13有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．?
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
【典例剖析】
【考点1】正数和负数
【例1】（2020秋?天河区校级期中）火星白天地面温度零上5℃记作+5℃，夜间温度零下123℃记作（　　）
A．+123℃
B．﹣5℃
C．+5℃
D．﹣123℃
【分析】根据正负数的意义解答即可．
【解析】火星白天地面温度零上5℃记作+5℃，夜间温度零下123℃记作﹣123℃．
故选：D．
【变式1.1】（2020秋?香洲区校级期中）在0，﹣1，﹣2，﹣3，16，8，，中负数的个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据小于0的数是负数即可求解．
【解析】在0，﹣1，﹣2，﹣3，16，8，，中，负数有﹣1，﹣2，﹣3，共4个．
故选：A．
【变式1.2】（2020秋?香洲区校级期中）若收入80元记作+80元，则﹣20元表示（　　）
A．收入20元
B．收入60元
C．支付60元
D．支付20元
【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．
【解析】“收入80元”记作“+80元”，那么“﹣20元”表示支付20元，
故选：D．
【变式1.3】（2020秋?潍城区期中）某品牌大米包装袋上的重量标识为（10±0.1）kg，下列四个数量表示4袋大米的重量，其中不合格的是（　　）
A．9.09kg
B．9.99kg
C．10.01kg
D．10.09kg
【分析】根据正负数的意义求出质量合格的取值范围，然后判断即可．
【解析】∵10﹣0.1＝9.9，
10+0.1＝10.1，
∴质量合格的取值范围是9.9kg～10.1kg．
所以，四个选项中只有9.09kg不合格．
故选：A．
【考点2】有理数的分类
【例2】（2020秋?新吴区期中）下列说法正确的是（　　）
A．有理数分为正数、负数和零
B．分数包括正分数、负分数和零
C．一个有理数不是整数就是分数
D．整数包括正整数和负整数
【分析】直接利用有理数的有关定义分析判断即可．
【解析】A、有理数包括正有理数、负有理数和零，故此选项错误；
B、分数包括正分数、负分数，故此选项错误；
C、一个有理数不是整数就是分数，故此选项正确；
D、整数包括正整数和负整数0和零，故此选项错误．
故选：C．
【变式2.1】（2020秋?永吉县期中）下面关于0的四种说法，其中正确的是（　　）
A．0是正数
B．0是负数
C．0既是正数也是负数
D．0是有理数
【分析】利用有理数的分类（按符号分包括正数、0和负数）与整数0的一些特殊性质即可解答．
【解析】0既不是正数，也不是负数，故A，B，C错误，
0是有理数，故选项D正确，
故选：D．
【变式2.2】（2020秋?射洪市期中）下列各数中：，﹣3.1416，0，，10%，17，﹣3.，﹣89；分数有　5　个；非负整数有　2　个．
【分析】根据有理数的分类即可求出答案．
【解析】在，﹣3.1416，0，，10%，17，﹣3.，﹣89各数中分数有5个；非负整数有2个，
故答案为：5，2．
【变式2.3】（2020秋?潮南区期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内：3，，0，﹣9%，﹣6，0.8．
负有理数{　﹣9%，﹣6　…}；
整数{　3，0，﹣6　…}；
正分数{　，0.8　…}．
【分析】按照有理数的分类：有理数．
【解析】负有理数{﹣9%，﹣6…}；
整数{3，0，﹣6…}；
正分数{，0.8…}．
故答案为：﹣9%，﹣6；3，0，﹣6；，0.8．
【考点3】数轴
【例3】（2020秋?金昌期中）以下数轴画法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据数轴的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】A、没有正方向，故本选项错误；
B、没有单位长度，故本选项错误；
C、单位不统一，故本选项错误；
D、符合数轴的定义，故本选项正确．
故选：D．
【变式3.1】（2020秋?潍城区期中）在数轴上，点A到﹣2的距离等于3，则点A表示的数是　1或﹣5　．
【分析】点A到﹣2的距离等于3，则点A在﹣2右边且到﹣2距离是3个单位或点A在﹣2的左边且到﹣2距离是3个单位长度．
【解析】﹣2﹣3＝﹣5，﹣2+3＝1，
则A表示的数是：1或﹣5．
故答案为：1或﹣5．
【变式3.2】（2020秋?仪征市期中）如图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，若表示1的点与表示﹣3的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数为　﹣6.5　．
【分析】根据数轴的性质求出关于1和﹣3的中点对称点的坐标，计算即可．
【解析】由题意得：两数是关于1和﹣3的中点对称，即关于（1﹣3）÷2＝﹣1对称，
∵A、B两点之间的距离为11且折叠后重合，则A、B关于﹣1对称，
∴A：﹣1﹣11÷2＝﹣1﹣5.5＝﹣6.5，B：﹣1+11÷2＝4.5．
故答案为：﹣6.5．
【变式3.3】（2020秋?农安县期中）数轴上M点表示﹣5，N点表示﹣3，则这两点中，　N　点离原点较近．
【分析】利用数轴上点的表示方法得到M点到原点的距离和N点到原点的距离，从而可判断到原点较近的点．
【解析】∵数轴上M点表示﹣5，N点表示﹣3，
∴M点到原点的距离为5，N点到原点的距离为3，
∴N点离原点较近．
故答案为N．
【变式3.4】（2020秋?海淀区期中）有理数m，n，k在数轴上的对应点的位置如图所示，若m+n＜0，n+k＞0，则A，B，C，D四个点中可能是原点的是（　　）
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
【分析】分四种情况讨论，利用数形结合思想可解决问题．
【解析】若点A为原点，可得0＜m＜n＜k，则m+n＞0，与题意不符合，故选项A不符合题意；
若点B为原点，可得m＜0＜n＜k，且|m|＞n，则m+n＜0，n+k＞0，符合题意，故选项B符合题意；
若点C为原点，可得m＜n＜0＜k，且|n|＞|k|，则n+k＜0，与题意不符合，故选项C不符合题意；
若点D为原点，可得m＜n＜k＜0，则n+k＜0，与题意不符合，故选项D不符合题意；
故选：B．
【考点4】相反数与绝对值
【例4】（2020秋?庆阳期中）a的相反数为﹣2，则a等于（　　）
A．2
B．﹣2
C．±2
D．
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解析】∵a的相反数为﹣2，
∴a＝2．
故选：A．
【变式4.1】（2020秋?新吴区期中）在①+（+3）与﹣（﹣3）；②﹣（+3）与+（﹣3）；③+（+3）与﹣（+3）；④+（﹣3）与﹣（﹣3）中，互为相反数的是　③④　．（填序号）
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可．
【解析】①+（+3）＝3，﹣（﹣3）＝3；：故+（+3）与﹣（﹣3）不是相反数；
②﹣（+3）＝﹣3，+（﹣3）＝﹣3，故﹣（+3）与+（﹣3）不是相反数；
③+（+3）＝3，﹣（+3）＝﹣3，故+（+3）与﹣（+3）是相反数；
④+（﹣3）＝﹣3，﹣（﹣3）＝3，故+（﹣3）与﹣（﹣3）是相反数，
互为相反数的是③④，
故答案为：③④．
【变式4.2】（2019秋?武侯区校级月考）化简：
（1）﹣[﹣（+4）]；
（2）．
【分析】（1）直接利用相反数的定义分析得出答案；
（2）直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解析】（1）﹣[﹣（+4）]＝4；
（2）．
【变式4.3】（2020秋?海曙区校级期中）若|x|+|y|＝3，则满足条件的整数x和整数y的值有　12　组．
【分析】利用整数的计算得到|x|＝0，|y|＝3或|x|＝1，|y|＝2或|x|＝2，|y|＝1或|x|＝3，|y|＝0，然后根据绝对值的意义分别计算出对应的x、y值即可．
【解析】∵|x|+|y|＝3，
而x、y为整数，
∴|x|＝0，|y|＝3或|x|＝1，|y|＝2或|x|＝2，|y|＝1或|x|＝3，|y|＝0，
由|x|＝0，|y|＝3得到x＝0，y＝3或x＝0，y＝﹣3；
由|x|＝1，|y|＝2得到x＝1，y＝2或x＝﹣1，y＝2或x＝1，y＝﹣2或x＝﹣1，y＝﹣2；
由|x|＝2，|y|＝1得到x＝2，y＝1或x＝﹣2，y＝1或x＝2，y＝﹣1或x＝﹣2，y＝﹣1；
由|x|＝3，|y|＝0得到x＝3，y＝0或x＝﹣3，y＝0，
∴满足条件的整数x和整数y的值有12组．
故答案为12．
【变式4.4】（2020秋?赤壁市校级月考）已知|x|＝2，|y﹣1|＝5，且x＞y，求2（x﹣y）的值．
【分析】首先利用绝对值的性质确定x、y的值，然后再代入求值即可．
【解析】∵|x|＝2，
∴x＝±2，
∵|y﹣1|＝5，
∴y＝﹣4或6，
∵x＞y，
∴y＝﹣4，
当x＝2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×6＝12，
当x＝﹣2，y＝﹣4时，2（x﹣y）＝2×2＝4．
【考点5】有理数的大小比较
【例5】（2020秋?市中区期中）比较下列各数的大小，再在数轴上表示出来，并按照由小到大的顺序用“＜”把它们连起来：
﹣3.5，2，﹣|﹣4|，0，﹣（﹣1.5）．
【分析】把各个数在数轴上画出表示出来，根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数，即可把各个数按由大到小的顺序“＜”连接起来．
【解析】如图：
用＜”连接起来为：﹣|﹣4|＜﹣3.5＜0＜﹣（﹣1.5）＜2．
【变式5.1】（2020秋?永春县期中）把下列各数填入相应的大括号里，并比较各数大小用“＜”连接．
8，﹣1.9，0，，﹣3，﹣7
（1）正数：{　8，　…}；
（2）负分数：{　﹣1.9，　…}；
（3）非负整数：{　8，0　…}．
　　＜　﹣3　＜　﹣1.9　＜　0　＜　　＜　8　
【分析】正有理数包括正整数和正分数；分数包括正分数和负分数；非负整数包括正整数和0；
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解析】（1）正数：{8，}；
（2）负分数：{﹣1.9，}；
（3）非负整数：{8，0…}．
3＜﹣1.9＜08．
故答案为：（1）8，；（2）﹣1.9，；（3）8，0；
，﹣3，﹣1.9，0，，8．
【变式5.2】（2020秋?苏州期中）如图，数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c．
（1）比较大小：a　＜　0，b　＞　﹣2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）化简：|a|﹣|b+2|﹣|a+c|．
【分析】（1）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大判断即可；
（2）由数轴可知，a＜﹣2＜b＜0＜c＜1，据此可得b+2＞0，a+c＜0，再根据绝对值性质去绝对值符号化简可得．
【解析】（1）由题意可知，a＜0，b＞﹣2；
故答案为：＜；＞；
（2）∵a＜﹣2＜b＜0＜c＜1，
∴b+2＞0，a+c＜0，
∴|a|﹣|b+2|﹣|a+c|
＝﹣a﹣（b+2）﹣（﹣a﹣c）
＝﹣a﹣b﹣2+a+c
＝c﹣b﹣2．
【变式5.3】（2020秋?朝阳区期中）如图，在数轴上，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，且A、B两点到原点的距离相等．
（1）a+b＝　0　；　﹣1　．
（2）将a、b、c、﹣c按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来．
【分析】（1）根据互为相反数的两个数的和为0，商为﹣1填空即可．
（2）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“＜”号连接起来即可．
【解析】（1）根据题意可知，a＝﹣b，
∴a+b＝0，，
故答案为：0；﹣1；
（2）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，可得c＜b＜a＜﹣c．
【考点6】科学记数法与近似数
【例6】（2020秋?恩施市期中）某种液体每升含有1012个细菌，有一种杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌．现准备将3L该种液体中的有害细菌杀死，要用这种杀菌剂多少滴？若每滴这种杀菌剂为10﹣4L，则要用多少升杀虫剂（用科学记数法表示）？
【分析】先求得3升含有细菌的个数，3×1012个，再由题意得出杀死这些细菌所需杀毒剂的滴数，3×1012÷109，再用滴数除以每滴这种杀菌剂的升数即可，3×1012÷109÷10﹣4．
【解析】∵每升含有1012个细菌，
∴3升含有细菌的个数为：3×1012个，
∵杀菌剂1滴可以杀死109个此种有害细菌，
∴共需杀毒剂3×1012÷109＝3×103滴，
∵每滴这种杀菌剂为10﹣4L，
∴所需杀毒剂的升数：3×103×10﹣4＝3×10﹣1L．
【变式6.1】（2018秋?浦东新区期中）计算：（6×102）2×（）（用科学记数法表示）．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】（6×102）2×（）1.2×1010．
【变式6.2】（2020春?江宁区月考）据不完全统计，某市至少有6×105个水龙头漏水，这些水龙头每月流失的总水量约1.68×105立方米．
（1）每个水龙头每月的漏水量约多少立方米？（结果精确到0.1立方米）
（2）如果该市每立方米水费是1.9元，这些水龙头一年漏水量的总水费是多少万元？
【分析】（1）根据除法的意义列式计算即可；
（2）根据“单价×数量＝总价”列式计算即可．
【解析】（1）（1.68×105）÷（6×105）≈0.3（立方米）；
每个水龙头每月的漏水量约0.3立方米；
（2）1.68×105×12×1.9÷10000≈383.04（万元）．
答：这些水龙头一年漏水量的总水费约383.04万元．
【变式6.3】（2019秋?闵行区期末）“2019年11月5日至10日，第二届中国国际进口博览会在中国上海国家会展中心举行，参加会展的国家、地区和国际组织从第一届的130个增加到180个，此次进博会交易采购成果丰硕，按一年计，累计意向成交约711.3亿美元，比第一届增长23%．”根据以上资料计算：
（1）参加第二届进博会的国家、地区和国际组织的数量与第一届相比增加的百分数是多少？（精确到0.1%）
（2）第一届进口博览会的累计意向成交额约多少亿美元？（保留一位小数）
【分析】（1）根据增长率的公式计算100%即可；
（2）利用增长率的意义计算711.3÷（1+23%）即可．
【解析】（1）增长率100%≈38.5%，
答：与第一届相比增加的百分数是38.5%；
（2）711.3÷（1+23%）≈578.3
答：第一届进口博览会的累计意向成交额约578.3亿美元．
【考点7】有理数的加减运算
【例7】（2020秋?沙河口区期中）计算：
（1）12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣15；
（2）．
【分析】（1）（2）先把减法化为加法，再利用加法的交换律和结合律．
【解析】（1）原式＝12+18﹣7﹣15
＝30﹣22
＝8；
（2）
＝（）+（）
＝1﹣1
．
【变式7.1】（2020秋?津南区期中）计算：
（1）（﹣15）﹣（﹣8）+（+20）．
（2）2（﹣31）．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解析】（1）原式＝﹣15+8+20
＝13；
（2）原式＝231
＝1．
【变式7.2】（2020秋?临漳县期中）计算：
（1）﹣6.25﹣1.4+（﹣7.6）+5.25；
（2）．
【分析】（1）根据加法交换律和结合律简便计算；
（2）先计算绝对值，再相加即可求解．
【解析】（1）原式＝（﹣6.25+5.25）+[﹣1.4+（﹣7.6）]
＝﹣1+（﹣9）
＝﹣10；
（2）原式
＝0．
【变式7.4】（2020秋?锦江区校级期中）若|x|＝5，|y|＝2，且|x﹣y|＝y﹣x；求2x+3y的值．
【分析】根据绝对值的性质求出x、y的值，再根据负数的绝对值等于它的相反数确定出x、y，然后代入计算即可．
【解析】∵|x|＝5，|y|＝2，
∴x＝±5，y＝±2，
∵|x﹣y|＝y﹣x，
∴x﹣y≤0，
∴x＝﹣5，y＝±2，
2x+3y＝﹣10+6＝﹣4，
或2x+3y＝﹣10﹣6＝﹣16，
综上所述，2x+3y的值为﹣4或﹣16．
【考点8】有理数的乘除运算
【例8】（2020秋?广信区月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把小数化成分数，把带分数化成假分数，再根据有理数的乘法法则求出即可；
（2）先把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法则求出即可．
【解析】（1）原式
；
（2）原式（）
．
【变式8.1】计算：
（1）﹣124；
（2）（﹣72）÷9；
（3）（﹣2）÷（）；
（4）3（）÷（）；
（5）（﹣81）÷2（）÷（﹣8）；
（6）﹣1（﹣0.25）×（﹣1）．
【分析】除法转化为乘法，再依据法则计算可得出答案．
【解析】（1）原式＝（﹣12）
＝﹣3
＝﹣3；
（2）原式＝（﹣72）
＝﹣8
＝﹣8；
（3）原式
；
（4）原式
＝1．
（5）原式＝﹣81
＝﹣2；
（6）原式
＝﹣14．
【变式8.2】（2020秋?芝罘区期中）已知有理数x，满足|x|＝3，|y|＝2．
（1）若x+y＜0，求x﹣y的值；
（2）若xy＜0，求x+y的值．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质分类讨论得出答案．
【解析】∵|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2，
（1）若x+y＜0，
则x＝﹣3，y＝2或x＝﹣3，y＝﹣2，
此时xy═﹣3﹣2＝﹣5或x﹣y＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
即x﹣y的值为﹣5或﹣1；
（2）若xy＜0，则x＝3，y＝﹣2或x＝﹣3，y＝2，
此时x+y＝1或x+y＝﹣1，
即x+y的值为1或﹣1．
【变式8.3】（2020?邢台模拟）下面是佳佳同学的一道题的解题过程：
2÷（）×（﹣3）
＝[2÷（）+2]×（﹣3），①
＝2×（﹣3）×（﹣3）+2×4×（﹣3），②
＝18﹣24，③
＝6，④
（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是　　；
（2）请给出正确的解题过程．
【分析】根据有理数的混合运算顺序计算即可．
【解析】（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①．
故答案为：①．
（2）2÷（）×（﹣3）
＝2×（﹣12）×（﹣3）
＝72．
【变式8.4】（2019秋?苍南县期中）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题．
（1）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为　40　．
（2）从中取出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，商的最小值为　﹣2　
【分析】（1）找出两个数字，使其乘积最大即可；
（2）找出两个数字，使其商最小即可．
【解析】（1）根据题意得：（﹣5）×（﹣8）＝40；
（2）根据题意得：（﹣8）÷4＝﹣2，
故答案为：（1）40；（2）﹣2
【考点9】有理数的乘方运算
【例9】（2020秋?立山区期中）计算题
（1）﹣81÷（﹣2）（﹣16）；
（2）（）÷（1）；
（3）﹣32÷（﹣2）3×|﹣1|×6+（﹣2）4；
（4）﹣（）2×18﹣2×（）|﹣8|×0.52+1（﹣1）2．
【分析】（1）原式从左到右依次计算即可求出值；
（2）原式被除式与除式调换求出值，即可求出所求；
（3）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝﹣81
＝﹣1；
（2）（1）÷（）
＝（1）×（﹣24）
（﹣24）（﹣24）（﹣24）
＝﹣40+30﹣28
＝﹣38，
则原式；
（3）原式＝﹣9÷（﹣8）6+16
6+16
＝9+16
＝25；
（4）原式18﹣2×（）8×0.25
＝﹣8+1+2+4
＝﹣1．
【变式9.1】（2020秋?宣化区期中）计算：
（1）（﹣2）+（﹣3）﹣（+1）﹣（﹣6）；
（2）（﹣24）×（）；
（3）﹣22﹣（﹣2）2×0.25；
（4）25（﹣25）25×（）；
【分析】（1）首先写成省略括号的形式，再利用有理数的加法和减法法则进行计算即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先算乘方、再算乘除，后算加减即可；
（4）逆用乘法分配律进行计算即可．
【解析】（1）原式＝﹣2﹣3﹣1+6＝0；
（2）原式＝242424
＝18﹣4+15
＝29；
（3）原式＝﹣4﹣42＝﹣4﹣2＝﹣6；
（4）原式＝25×（）＝25×1＝25；
【变式9.2】（2020秋?马山县期中）计算题：
（1）23+（﹣18）+5+（﹣10）；
（2）﹣4×（﹣11）﹣6÷（﹣3）；
（3）24×（）；
（4）（﹣2）3|﹣2|×（3﹣33）．
【分析】（1）原式利用加减法则计算即可求出值；
（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解析】（1）原式＝23﹣18+5﹣10
＝23+5﹣18﹣10
＝28﹣28
＝0；
（2）原式＝44﹣（﹣2）
＝44+2
＝46；
（3）原式＝242424
＝16﹣10+7
＝13；
（4）原式＝﹣82×（3﹣27）
＝﹣2﹣2×（﹣24）
＝﹣2+48
＝46．
【变式9.3】（2020秋?和平区期中）已知下列有理数：0，（﹣2）2，﹣|﹣4|，，﹣（﹣1）
（1）计算：（﹣2）2＝　4　，﹣|﹣4|＝　﹣4　，﹣（﹣1）＝　1　；
（2）这些数中，所有负数的和的绝对值是　　．
（3）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上描出表示0，（﹣2）2，﹣|﹣4|，，﹣（﹣1）这些数的点，并把这些数标在对应点的上方．
【分析】（1）根据乘方的意义、绝对值的意义和相反数的定义计算；
（2）先确定负数，再求它们的和，然后和的绝对值即可；
（3）利用数轴，标出表示5个数对应的点．
【解析】（1）（﹣2）2＝4，﹣|﹣4|＝﹣4，﹣（﹣1）＝1；
（2）负数为﹣|﹣4|、，
则所有负数的和的绝对值＝|﹣4|；
故答案为4，﹣4，1；；
（3）
【变式9.3】（2020秋?碑林区期中）已知（2﹣a）2+|b+3|＝0，若ax2+bx﹣4＝0，求代数式4x2﹣6x+1的值．
【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，代入ax2+bx﹣4＝0变形得2x2﹣3x＝4，再代入4x2﹣6x+1＝2（2x2﹣3x）+1求解即可．
【解析】∵（2﹣a）2+|b+3|＝0，
∴2﹣a＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
代入ax2+bx﹣4＝0，得：2x2﹣3x﹣4＝0，
则2x2﹣3x＝4，
∴4x2﹣6x+1
＝2（2x2﹣3x）+1
＝2×4+1
＝8+1
＝9．
【变式9.4】（2020秋?朝阳区校级期中）已知|a﹣2|+（b）2＝0，求a2020b2021的值．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】∵|a﹣2|+（b）2＝0，
∴a﹣2＝0，b0，
解得：a＝2，b，
则a2020b2021＝（ab）2020?b＝[2×（）]2020×（）
．
【考点10】有理数的有关新定义运算
【例10】（2019?德州）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝　1.1　．
【分析】根据题意列出代数式解答即可．
【解答】解；根据题意可得原式＝（3.9﹣3）+[（﹣1.8）﹣（﹣2）]﹣（1﹣1）＝0.9+0.2＝1.1；
故答案为：1.1
【变式10.1】（2019秋?南浔区期中）定义一种正整数的“H运算”是：①当它是奇数时，则该数乘以3加13；②当它是偶数时，则取该数得一半，一直取到结果为奇数停止．如：数3经过1次“H运算”的结果是22，经过2次“H运算”的结果为11，经过三次“H运算”的结果为46，那么28经2019次“H运算”得到的结果是　1　．
【分析】从28开始，分别按照偶数和奇数的计算法则依次计算，直到出现循环即可得解．
【解析】1次：28×0.5×0.5＝7
2次：3×7+13＝34
3次：34×0.5＝17
4次：3×17+13＝64
5次：64×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5×0.5＝1
6次：3×1+13＝16
7次：16×0.5×0.5×0.5×0.5＝1，等于第5次
∴从第5次开始，奇数次等于1，偶数次等于16
∵2019是奇数
∴28经2019次“H运算”得到的结果是1．
故答案为：1．
【变式10.2】（2019秋?大安市期末）若定义一种新的运算“
”，规定有理数a
b＝4ab，如2
3＝4×2×3＝24．
（1）求3
（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）
（6
3）的值．
【分析】分别根据运算“
”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解析】（1）3
（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）
（6
3），
＝（﹣2）
（4×6×3），
＝（﹣2）
（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【变式10.3】（2020秋?泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下：
M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…
M（），M（），M（），…
利用以上规律计算：
（1）M（28）×M（）；
（2）﹣1÷M（39）÷[﹣M（）]．
【分析】（1）根据M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根据M（），M（），M（），…，可得M（）＝﹣（）2，再根据有理数的乘法，可得答案；
（2）根据M（1）＝﹣2，M（2）＝﹣1，M（3）＝0，M（4）＝1…，可得M（n）＝n﹣3，根据M（），M（），M（），…，可得M（）＝﹣（）2，再根据有理数的除法，可得答案．
【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（）2]＝25×（）＝﹣1；
（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（）2]}
＝﹣136
＝﹣1．
【考点11】有理数的实际问题
【例11】（2020秋?潍城区期中）出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这段时间内行车情况如下：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？
（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，且3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱．那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？
（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？
【分析】（1）根据小王这段时间内行车情况，将：﹣4，+7，﹣2，﹣3，﹣8，+8相加即可得出答案；
（2）根据题意共行车6次，每次起步价8元，故收到所给车费8×6＝48（元），超过3公里的有：﹣4，+7，﹣8，+8，即1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）计算即可得出答案；
（3）根据题意小王共行车，|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝32（km），即可算出汽油钱，用收到的费用减去汽油钱即可得出答案．
【解析】（1）﹣4+7﹣2﹣8+8＝﹣2，
故小王在下午出车的出发地的北方，距离出发地2km处；
（2）8×6+1.8+1.8×（7﹣3）+1.8×2×（8﹣3）＝75（元），
所以小王这天下午收到乘客所给的车费共75元；
（3）|﹣4|+|7|+|﹣2|+|﹣3|+|﹣8|+|8|＝4+7+2+3+8+8＝32（km），
32×0.1×5＝16（元），
75﹣16＝59（元），
所以小王这天下午赚了59元．
【变式11.1】（2020秋?广汉市期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？
（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？
第1批
第2批
第3批
第4批
第5批
5km
2km
﹣4km
﹣3km
10km
【分析】（1）计算这5个数的和，根据符号判断方向，根据绝对值判断距离；
（2）求出行驶的总路程，再求燃油量；
（3）求出每送一批顾客的收费，再求和即可．
【解析】（1）5+2﹣4﹣3+10＝+10（km），
因此，接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司10千米，
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司10千米；
（2）0.2×（5+2+3+4+10）
＝0.2×24
＝4.8（升），
答：若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油4.8升；
（3）送第1批顾客收费为：10+1.8×（5﹣3）＝13.6（元），
送第2批顾客收费为：10（元），
送第3批顾客收费为：10+1.8×（4﹣3）＝11.8（元），
送第4批顾客收费为：10（元），
送第5批顾客收费为：10+1.8×（10﹣3）＝22.6（元），
所以总收费为：13.6+10+11.8+10+22.6＝68（元），
答：该驾驶员共收到车费68元．
【变式11.2】（2020秋?云梦县期中）梦泽玩具厂本周计划生产某种型号的玩具1400件，平均每天生产200件，但由于工人轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天生产量与计划量相比情况如表（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
﹣2
﹣4
+13
+16
﹣9
﹣10
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具多少件？
（2）本周生产了多少件玩具？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超出部分每件另加30元，少生产一件扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【分析】（1）用最多的星期五的量减去最少的星期日的量，根据有理数的减法运算计算即可；
（2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；
（3）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解．
【解析】（1）16﹣（﹣10）＝16+10＝26（件）
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具26件；
（2）+5+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（+16）+（﹣9）+（﹣10）＝9（件），
9+1400＝1409（件），
答：本周生产了1409件玩具；
（3）1409×20+9×30＝28450（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是28450元．
【变式11.3】（2020秋?城关区校级期中）如表给出了某班5名同学的身高情况（单位：cm）．
学生
A
B
C
D
E
身高（单位：cm）
156
　155　
165
160
　164　
身高与班级平均身高的差值
　﹣4　
﹣5
　+5　
0
+4
（1）完成表中空的部分；
（2）他们5人中最高身高比最矮身高高多少？
（3）如果身高达到或超过平均身高时叫达标身高，那么这5名同学身高的达标率是多少？
【分析】（1）首先根据A同学的身高与班级平均身高的差值求得班级的平均身高，然后再分别计算即可；
（2）最高身高减去最矮身高即可；
（3）根据达标率＝达标人数÷总人数×100%进行计算即可．
【解析】（1）156﹣160＝﹣4；
160﹣5＝155；
165﹣160＝+5；
160+4＝164；
故答案为：﹣4；155；+5；164；
（2）+5﹣（﹣5）＝10．
答：最高身高比最矮身高高10cm．
（3）身高达到或超过平均身高的有3人．
%＝60%．
答：这5个同学的达标率为60%．
【变式11.4】（2020秋?陆川县期中）已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
进、出记录
+34
﹣20
﹣30
+26
﹣24
+50
﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨1800元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2100元，则这一周的利润为多少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到160吨？
【分析】（1）理解“+”表示进库“﹣”表示出库，求出每天的情况即可求解，
（2）这一周的利润＝卖出的钱数﹣购买的钱数，依此列式计算即可求解；
（3）（160﹣一周前存有粮食吨数）÷每周平均进出的粮食数量﹣1，列式计算即可求解．
【解析】（1）星期一：100+34＝134（吨）；
星期二：134﹣20＝114（吨）；
星期三：114﹣30＝84（吨）；
星期四：84+26＝110（吨）；
星期五：110﹣24＝86（吨）；
星期六：86+50＝136（吨）；
星期日：136﹣26＝110（吨）．
故星期六最多，是136吨；
（2）2100×（20+30+24+26）﹣1800×（34+26+50）
＝2100×100﹣1800×110
＝210000﹣198000
＝12000（元）；
答：这一周的利润为12000元；
（3）（160﹣100）÷（34+26+50﹣20﹣30﹣24﹣26）﹣1
＝60÷10﹣1
＝6﹣1
＝5（周）．
故再过5周粮库存粮食达到160吨．
【考点12】以数轴为背景的综合问题
【例12】（2019秋?顺义区期末）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1．设点A，B，C所对应的数之和是m，点A，B，C所对应的数之积是n．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算m的值；若以C为原点，m又是多少？
（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝4，求n的值．
【分析】（1）根据以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，进而得到m的值；根据以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，进而得到m的值；
（2）根据原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝4，可得A，B，C表示的数，据此可得n的值．
【解析】（1）以B为原点，点A，C所对应的数分别是﹣2，1，
m＝﹣2+0+1＝﹣1，
以C为原点，点A，B所对应的数分别是﹣3，﹣1，
m＝﹣3+（﹣1）+0＝﹣4，
（2）由题意得：A表示﹣7，B表示﹣5，C表示﹣4，
n＝﹣7×（﹣5）×（﹣4）＝﹣140．
【变式12.1】（2020春?南岗区期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足|a+12|+（b﹣6）2＝0．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）点C、D在线段AB上，AC为14个单位长度，BD为8个单位长度，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P以3个单位长度/秒的速度从A点出发沿正方向运动，同时点Q以2个单位长度/秒的速度从D点出发沿正方向运动，求经过几秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【分析】（1）根据非负数的意义，求出a、b的值，进而求出AB的长；
（2）点C、D在线段AB上，确定点C、D所表示的数，进而求出CD的长；
（3）分两种情况进行解答，一是点P、Q重合时，即点P追上点Q，二是点C是PQ的中点，用时间表示线段的长，建立方程求解即可．
【解析】（1）∵|a+12|+（b﹣6）2＝0．
∴a+12＝0，b﹣6＝0，
即：a＝﹣12，b＝6；
∴AB＝6﹣（﹣12）＝18；
（2）点C、D在线段AB上，
∵AB＝18，AC＝14，BD＝8，
∴BC＝18﹣14＝4，
CD＝BD﹣BC＝8﹣4＝4；
（3）设经过t秒，点P、Q到点C的距离相等，
AD＝AB﹣BD＝18﹣8＝10，AP＝3t，DQ＝2t，
①当点P、Q重合时，
AP﹣DQ＝AD，
即：3t﹣2t＝10，
解得，t＝10，
②当点C是PQ的中点时，
有CP＝CQ，即，AC﹣AP＝DQ﹣DC，
14﹣3t＝2t﹣4，
解得，t，
答：经过或10秒，点P、点Q到点C的距离相等．
【变式12.2】（2020秋?和平区校级月考）一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续向东走了1.5km到达小颖家，然后向西走了6km到达小明家，最后回到超市，以超市为原点，向东为正方向，用一个单位长度表示1km，完成以下问题：
（1）以A表示小彬家，B表示小颖家，C表示小明家，在数轴上标出A、B、C的位置．
（2）小明家距小彬家多远？
（3）货车一共行驶了多少千米？如果货车行驶1km的用油量为0.35升，请你计算货车从出发到结束行程共耗油多少升？
【分析】（1）根据有理数的表示方法，确定符号和绝对值进而表示出有理数的位置；
（2）利用数轴上两点的距离的计算方法，求出AC的距离即可；
（3）求出行驶的路程，即可计算耗油量．
【解析】（1）以A表示小彬家，B表示小颖家，C表示小明家，在数轴上标出A、B、C的位置如图所示：
（2）AC＝2﹣（﹣2.5）＝4.5（千米），
答：小明家距小彬家4.5千米；
（3）2+1.5+6+2.5＝12（千米），0.35×12＝4.2（升），
答：货车一共行驶了12千米，从出发到结束行程共耗油4.2升．
【变式12.3】（2019秋?柯桥区期末）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．
（1）填空：abc　＜　0，a+b　＞　0：（填“＞”，“＝”或“＜”）
（2）若a＝﹣2且点B到点A，C的距离相等，
①当b2＝16时，求c的值；
②P是数轴上B，C两点之间的一个动点，设点P表示的数为x，当P点在运动过程中，bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|的值保持不变，则b的值为　3　．
【分析】（1）根据a，b，c．在数轴上的位置可以判断a、b、c的符号，进而得出abc，a+b的符号；
（2）①求出b的值，再根据中点的意义，AB＝BC，求出答案即可；
②由bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|结果是定值，说明与x无关，可得出b与c的关系，再根据中点得出b与c的另一个关系，联立求出b即可．
【解析】（1）由a，b，c．在数轴上的位置可知，a＜0，0＜b＜c，
∴abc＜0，a+b＞0，
故答案为：＜＞，
（2）①b2＝16，b＞0，
∴b＝4，
∵a＝﹣2，BC＝AB，
∴c﹣4＝4﹣（﹣2），
∴c＝10；
②设点P表示的数为x，点P在BC上，因此b＜x＜c，
∴bx+cx+|x﹣c|﹣10|x+a|＝bx+cx+c﹣x﹣10x﹣10a＝（b+c﹣10﹣1）x+c﹣10a，
∵结果与x无关，
∴b+c＝11，
又∵c﹣b＝b+2，即，c＝2b+2，
∴b＝3，
故答案为：3．
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