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专题1.4整式的加减的应用及综合问题
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【知识梳理】
1整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
?①已知条件不化简，所给代数式化简；
?②已知条件化简，所给代数式不化简；
?③已知条件和所给代数式都要化简．
3整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2020秋?温岭市期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+3（a﹣b）2；
（2）已知x2﹣2y＝4，求6x2﹣12y﹣27的值；
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【变式1.1】（2020秋?夏邑县期中）把ab与a+b各看成一个整体
（1）先化简：3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）；
（2）若|a+b+5|+（ab﹣6）2＝0，再求3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）的值．
【变式1.2】（2019秋?武城县期中）理解与思考：
整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　
　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　　
；
（Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；
（Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值；
【变式1.3】（2020?新华区一模）对于题目：“已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式3x2﹣6x+2020的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果．
（1）设x2﹣2x＝y，则3x2﹣6x+2020＝　
　（用含y的代数式表示）．
（2）根据x2﹣2x﹣1＝0，得到y＝1，所以3x2﹣6x+2020的值为　
　．
（3）用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：
已知a5＝0，求代数式的值．
【考点2】列代数式表示实际问题
【例2】（2020秋?泰兴市期中）如图是火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形．
（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积S；（需化简）
（2）当a＝8cm，b＝5cm时，求这个截面图的面积．
【变式2.1】（2020秋?福田区校级期中）某九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一副球拍送1个羽毛球；
B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个（x＞30）．
（1）若在A网店购买，需付款　
　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款　
　元．（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
【变式2.2】（2020秋?汉阳区期中）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个一模一样的小长方形，得到一个美术字“5”的图案，如图2所示再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示．
（1）用含有a，b的式子表示新长方形的周长是　
　；
（2）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，新长方形的周长是多少？
【变式2.3】（2020秋?永春县期中）如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米．
（1）用代数式表示四块草地的周长之和为　
　米；
（2）先用代数式表示广场空地的面积，再求当长方形的长为60米，宽为40米，圆形的半径为10米时，广场空地的面积（计算结果保留到整数）．
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2020秋?泰兴市期中）已知A＝2a2﹣a+3b﹣ab，B＝a2+2a﹣b+ab．
（1）化简A﹣2B；
（2）当a﹣b＝2，ab＝﹣1，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与b的取值无关，求A﹣2B的值．
【变式3.1】（2020秋?射洪市期中）如果关于字母x的二次三项式﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求m2+2mn+n2的值．
【变式3.2】（2020秋?防城区期中）多项式﹣2x2y﹣9x3+3x3+6x3y+2x2y﹣6x3y+6x3的值是（　　）
A．只与x有关
B．只与y有关
C．与x，y都无关
D．与xy都有关
【变式3.3】（2020秋?庆云县期中）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）若（x+2）2+|y﹣3|＝0，求A﹣2B；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【考点4】整式的应用——面积问题
【例4】（2020秋?同安区期中）小王购买了一套一居室，他准备将房子的地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含m，n的代数式表示地面的总面积；
（2）已知n＝1.5，且客厅面积是卫生间面积的8倍，如果铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？
【变式4.1】（2020秋?河西区期中）如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形（圈中阴影部分）得到一个象“囧”字的图案，设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
（Ⅰ）用含有x、y的代数式表示图中剪去后剩下“囧”字图案的面积；
（Ⅱ）当x＝9，y＝6时，求此时“囧”字图案的面积．
【变式4.2】（2020秋?永吉县期中）某村小麦种植面积是ahm2，水稻种植面积是小麦种植面积的3倍，玉米种植面积比小麦种植面积少5hm2．
（1）水稻的种植面积为　
　hm2（用含a的式子表示）；
（2）水稻的种植面积比玉米的种植面积大　
　hm2（用含a的式子表示）；
（3）求该村小麦、水稻和玉米三种农作物种植的总面积S（单位：hm2）（用含a的式子表示），当a＝450时，求S的值．
【变式4.3】（2020秋?锦江区校级期中）小亮房间窗户的装饰物如图1中的阴影部分，它是由两个四分之一圆组成（半径分别相同），若长方形窗户的长为a，宽为b．求：
（1）请用代数式表示房间窗户饰物的面积：　
　；用代数式表示窗户能射进阳光的面积是　
　．（窗框面积忽略不计，结果保留π）
（2）当a＝1，b时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取π≈3）
（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由四个半圆组成组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？（结果保留π）
【考点5】整式的应用——销售问题
【例5】（2020秋?武汉期中）某服装店某员工周一的销售量恰好为每日标准销售量m件，相比标准销售量，周二至周日销售量如下：
﹣8件，﹣4件，+12件，+20件，+10件，﹣8件．
（1）周　　的销售量最高，这周的总销售量是　
　件．
（2）该服装店实行每日计件工资制，每销售一件可得30元，若超额完成任务，则超过部分每件另奖10元；少一件扣5元，当m＝10时，那么该售货员这一周的工资总额是多少元？
【变式5.1】（2019秋?西岗区期末）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价2000元，茶碗每只定价200元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款　
　元；若客户按方案二，需要付款　
　元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能是写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能说明理由．
【变式5.2】（2019秋?东方期末）商店出售甲、乙两种书包，甲种书包每个38元，乙种书包每个26元，现已售出甲种书包a个，乙种书包b个．
（1）用代数式表示销售这两种书包的总金额；
（2）当a＝2，b＝10时，求销售总金额．
【变式5.3】（2019秋?斗门区期末）今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，装运乙种土特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车运载量（吨）
4
3
6
每吨土特产获利（元）
1000
900
1600
（1）装运丙种土特产的车辆数为　
　辆（用含有x，y的式子表示）；
（2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量；
（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）．
【考点6】整式的应用——方案比较问题
【例6】（2020秋?灌阳县期中）学校需要购买一批乒乓球拍，经了解情况如下：甲、乙两家体育用品店出售同样品牌的乒乓球拍，每副定价为30元，甲店优惠活动方案为购满10副超过的部分按8折出售；乙店优惠活动方案为全场一律9折．
（1）设学校需购买乒乓球拍的数量x副，请用含x字母的代数式分别表示在甲、乙两家体育用品店购买所需支付的购买价款；
（2）当学校分别购买18副、21副乒乓球拍时，应该选择去哪家体育用品店购买较便宜，为什么？
【变式6.1】（2020秋?永春县期中）有一个公司要设置一个会议室，需要购买办公桌和椅子，办公桌要x张，椅子的数量是办公桌数量的3倍多5把．办事员小王在兴旺家具城找到了合适的桌椅并要在这里购买，小王看中的办公桌每张标价1000元，椅子每把标价60元，在“双十一”促销期间这个家具城提供了两种优惠方案：
①办公桌和椅子都按标价的9折付款；
②每买1张办公桌送2把椅子．
（1）若小王分别按方案①，②购买，则各需付款多少元？（用含x的代数式表示）
方案①需付款　
　元；
方案②需付款　
　元．
（2）若x＝10，只能选择一种方案来购买，通过计算按哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝10时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？若能，请写出你的购买方案，并算出需要的总金额，若不能，请说明理由．
【变式6.2】（2020秋?红桥区期中）七年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元，现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费．若有m名学生去公园秋游．
（1）用含m的代数式表示两种优惠方案各需多少元？
（2）当m＝70时，采用哪种方案优惠？请说明理由．
【变式6.3】（2020秋?朝阳区校级期中）某服装厂生产一种裤子和T恤，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案，
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买裤子30件，T恤x件（x＞30）．
（1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款　
　元（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款　
　元（用含x的式子表示）；
（2）计算一下，当x＝50时，按哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝50时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请写出你的购买方案，并说明理由．
【考点7】探索规律——数字变化问题
【例7】（2020秋?汉阳区期中）下列三行数：
﹣3，9，﹣27，81，……．
6，﹣18，54，﹣162，……
﹣1，11，﹣25，83，……
（1）直接写出第一行的第n个数是　
　；（用含n的式子表示）
（2）在第二行中，存在三个连续数其和为﹣126，这三个数分别是　　，　　，　
　．
（3）设x，y，z分别为每一行的第2020个数，求x+y+z的值．
【变式7.1】（2020秋?郫都区期中）观察下列等式：
1，，．
将以上三个等式两边分别相加，得11．
（1）猜想并写出：　
　．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　
　；
②　
　．
（3）探究并计算．
【变式7.2】（2020秋?杏花岭区校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是，
已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，回答下列问题：
（1）a2＝　，a3＝　　，a4＝　　；
（2）求a1+a2+a3+…+a2019的值．
【变式7.3】（2020秋?武汉期中）观察下列的三行单项式：
2x、4x2、8x3、16x4、32x5、64x6、……①
﹣4x、8x2、﹣16x3、32x4、﹣64x5、128x6、……②
2x2、﹣3x3、5x4、﹣9x5、17x6、﹣33x7、……③
（1）根据你发现的规律，第①行第8个单项式为　　
；
（2）第②行的第8个单项式为　
　，第③行的第8个单项式为　　
．
（3）取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为M，计算当x时，512（M）的值．
【考点8】探索规律——图形变化问题
【例8】（2020秋?苏州期中）用黑白两种颜色的瓷砖按如图所示的方式铺设地面，第1层为1块白色瓷砖，第2层为3块黑色瓷砖，第3层为5块白色瓷砖……
（1）第7层共有　13　块瓷砖，第n（n为正整数）层共有　
　块瓷砖；
（2）若按图示方式铺设n（n为正整数）层瓷砖，求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
【变式8.1】（2020秋?顺德区期中）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索：
（1）某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折．
（ⅰ）部分④的面积是　
　；
（ⅱ）请你利用图形求的值；
（ⅲ）受此启发，请求出的值；
（2）请你利用备用图，再设计一个能求的值的几何图形．
【变式8.2】（2020春?抚州期末）阅读下面的材料，解决有关问题：
在下列数据中，我们可以发现其中某些数之间满足一定的规律，如图1所选择的两组七个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减．
（1）计算：12×26﹣10×28＝　
，24×38﹣22×40＝　　，不难发现，结果都是　　；
（2）图2是从图1中截出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为x，则A、B、C、D所对应的数分别为　　，　　，　　，　　（用含x的代数式表示），请你利用整式的运算，对（1）中的规律进行证明；
（3）若把图2中“H”升高，如图3，这组数中相对的数分别设为a、c与b、d，则bd﹣ac＝　　．
【变式8.3】（2020?浙江自主招生）如图，将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2011；（2）2016．这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．
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【知识梳理】
1整式的加减
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（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
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2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“-”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
?①已知条件不化简，所给代数式化简；
?②已知条件化简，所给代数式不化简；
?③已知条件和所给代数式都要化简．
3整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
4规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
【典例剖析】
【考点1】整体思想在整式加减中的应用
【例1】（2020秋?温岭市期中）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用整体思想解决下列问题：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并2（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+3（a﹣b）2；
（2）已知x2﹣2y＝4，求6x2﹣12y﹣27的值；
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）仿照材料，把（a﹣b）2的系数求和即可；
（2）变形多项式6x2﹣12y﹣27为6（x2﹣2y）﹣27，然后整体代入求值；
（3）先把要求值多项式去括号，利用加法的交换律和结合律，重新组合为含已知的形式，再整体代入求值．
【解析】（1）2（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+3（a﹣b）2
＝（2﹣6+3）（a﹣b）2
＝﹣（a﹣b）2；
（2）6x2﹣12y﹣27＝6（x2﹣2y）﹣27，
∵x2﹣2y＝4，
∴原式＝6×4﹣27＝﹣3；
（3）（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）
＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c
＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d），
∵a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，
∴原式＝3+（﹣5）+10＝8．
【变式1.1】（2020秋?夏邑县期中）把ab与a+b各看成一个整体
（1）先化简：3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）；
（2）若|a+b+5|+（ab﹣6）2＝0，再求3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）的值．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）根据非负数的性质分别求出ab与a+b，代入计算得到答案．
【解析】（1）3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）
＝（3+8）ab+（﹣7+6）（a+b）
＝11ab﹣（a+b）；
（2）∵|a+b+5|+（ab﹣6）2＝0，
∴|a+b+5|＝0，ab﹣6＝0，
解得，a+b＝﹣5，ab＝6，
3ab﹣7（a+b）+8ab+6（a+b）
＝11ab﹣（a+b）
＝11×6﹣（﹣5）
＝71．
【变式1.2】（2019秋?武城县期中）理解与思考：
整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　1186　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　2017　；
（Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；
（Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值；
【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果；
（Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值；
（Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可．
【解析】∵x2+x＝0，∴x2+x+1186＝0+1186＝1186，
故答案为：1186；
（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0，
∴x2+x＝1，
∴x2+x+2016＝1+2016＝2017，
故答案为：2017；
（Ⅱ）∵a+b＝5，
∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11；
（Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，
∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24，
∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16．
【变式1.3】（2020?新华区一模）对于题目：“已知x2﹣2x﹣1＝0，求代数式3x2﹣6x+2020的值”，采用“整体代入”的方法（换元法），可以比较容易的求出结果．
（1）设x2﹣2x＝y，则3x2﹣6x+2020＝　3y+2020　（用含y的代数式表示）．
（2）根据x2﹣2x﹣1＝0，得到y＝1，所以3x2﹣6x+2020的值为　2023　．
（3）用“整体代入”的方法（换元法），解决下面问题：
已知a5＝0，求代数式的值．
【分析】（1）将x2﹣2x＝y代入3x2﹣6x+2020＝3（x2﹣2x）+2020即可；
（2）将y＝1代入3x2﹣6x+2020＝3y+2020即可；
（3）首先设，由a5＝0，可得b＝5，将b＝5代入可得结果．
【解析】（1）∵x2﹣2x＝y，
∴3x2﹣6x+2020＝3（x2﹣2x）+2020＝3y+2020；
故答案为：3y+2020；
（2）∵y＝1，
∴3x2﹣6x+2020＝3y+2020＝3×1+2020＝2023；
故答案为：2023；
（3）设，则．
∵，
∴b﹣5＝0，解得：b＝5．
∴．
【考点2】列代数式表示实际问题
【例2】（2020秋?泰兴市期中）如图是火箭模型截面图，上面是三角形，中间是长方形，下面是梯形．
（1）用含有a、b的代数式表示该截面的面积S；（需化简）
（2）当a＝8cm，b＝5cm时，求这个截面图的面积．
【分析】（1）截面的面积S＝三角形的面积+矩形的面积+梯形的面积；
（2）将a、b的值代入计算即可．
【解析】（1）由题意可知，Sab+2a?a（a+2a）b＝2ab+2a2．
（2）a＝8cm，b＝5cm时，S＝2×8×5+2×82＝208cm2．
【变式2.1】（2020秋?福田区校级期中）某九年制实验学校体育组准备在网上为学校订购一批某品牌羽毛球拍和羽毛球，在查阅京东网店后发现羽毛球拍一副定价40元，羽毛球每个定价5元．“双十一”期间A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一副球拍送1个羽毛球；
B网店：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．
已知要购买羽毛球拍30副，羽毛球x个（x＞30）．
（1）若在A网店购买，需付款　（5x+1050）　元（用含x的代数式表示）；若在B网店购买，需付款　（4.5x+1080）　元．（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝40时，通过计算说明此时在哪家网店购买较为合算？
【分析】（1）按优惠政策先列出含有x的代数式，再化简即可；
（2）把x＝40分别代入两个代数式，计算比较得结论．
【解析】（1）若购买羽毛球拍30副，羽毛球x个（x＞30），
在A网店购买，需付款：30×40+（x﹣30）×5
＝（5x+1050）元；
在B网店购买，需付款：30×40×90%+5x×90%
＝（4.5x+1080）元．
故答案为：（5x+1050），（4.5x+1080）；
（2）当x＝40时，
在A店购买需付款：5x+1050＝5×40+1050＝1250（元）；
在B店购买需付款：4.5x+1080＝4.5×40+1080＝1260（元）．
∵1250＜1260，
∴若x＝40时，在A家网店购买较为合算．
【变式2.2】（2020秋?汉阳区期中）如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个一模一样的小长方形，得到一个美术字“5”的图案，如图2所示再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图3所示．
（1）用含有a，b的式子表示新长方形的周长是　4a﹣8b　；
（2）若a＝8，剪去的小长方形的宽为1，新长方形的周长是多少？
【分析】（1）表示出图3中长方形的长和宽，再求出周长；
（2）求出a，b的值，代入计算即可．
【解析】（1）根据图形中所提供的数据可得，长方形的长为（a﹣b），宽为（a﹣3b），
因此周长为2（a﹣b）+2（a﹣3b）＝4a﹣8b，
故答案为：4a﹣8b；
（2）剪去的小长方形的宽为1，可得图3中长方形的宽为a﹣3b＝2，而a＝8，
所以，b＝2，
当a＝8，b＝2时，
新长方形的周长4a﹣8b＝32﹣16＝16．
【变式2.3】（2020秋?永春县期中）如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米．
（1）用代数式表示四块草地的周长之和为　（2πr+8r）　米；
（2）先用代数式表示广场空地的面积，再求当长方形的长为60米，宽为40米，圆形的半径为10米时，广场空地的面积（计算结果保留到整数）．
【分析】（1）四块草地的周长之和就是半径为r的圆的周长，外加8个半径即可；
（2）长方形面积减去半径为r的圆面积即可得到广场空地的面积，再代入求值即可．
【解析】（1）半径为r，圆心角为90°的四条弧长，加8个半径的长即为草地的周长；
2πr+8r，
故答案为：（2πr+8r）；
（2）广场空地的面积为：ab﹣πr2，
当a＝60，b＝40，r＝10时，ab﹣πr2＝60×40﹣π×102＝2400﹣100π≈2086（m2）
【考点3】整式加减中的无关性问题
【例3】（2020秋?泰兴市期中）已知A＝2a2﹣a+3b﹣ab，B＝a2+2a﹣b+ab．
（1）化简A﹣2B；
（2）当a﹣b＝2，ab＝﹣1，求A﹣2B的值；
（3）若A﹣2B的值与b的取值无关，求A﹣2B的值．
【分析】（1）将A、B换成相应的代数式，再根据整式的加减，去括号、合并同类项即可；
（2）整体代入（1）中化简的结果，进行计算即可；
（3）将（1）中化简后的代数式变形，使b的系数为0即可．
【解析】（1）A﹣2B＝（2a2﹣a+3b﹣ab）﹣2（a2+2a﹣b+ab）
＝2a2﹣a+3b﹣ab﹣2a2﹣4a+2b﹣2ab
＝﹣5a+5b﹣3ab；
（2）由（1）得，因为a﹣b＝2，ab＝﹣1，
所以A﹣2B＝﹣5a+5b﹣3ab＝﹣5（a﹣b）﹣3ab＝﹣5×2﹣3×（﹣1）＝﹣10+3＝﹣7；
（3）由（1）得，
﹣5a+5b﹣3ab＝（5﹣3a）b﹣5a，
由于A﹣2B的值与b的取值无关，因此5﹣3a＝0，即a，
所以A﹣2B＝﹣5a＝﹣5．
答：A﹣2B的值为．
【变式3.1】（2020秋?射洪市期中）如果关于字母x的二次三项式﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3的值与x的取值无关，求m2+2mn+n2的值．
【分析】根据题意求出m与n的值，然后代入原式即可求出答案．
【解析】﹣3x2+mx﹣5+nx2﹣x+3＝（n﹣3）x2+（m﹣1）x﹣2，
由题意可知：n﹣3＝0，m﹣1＝0，
∴m＝1，n＝3，
∴原式＝（m+n）2
＝42
＝16．
【变式3.2】（2020秋?防城区期中）多项式﹣2x2y﹣9x3+3x3+6x3y+2x2y﹣6x3y+6x3的值是（　　）
A．只与x有关
B．只与y有关
C．与x，y都无关
D．与xy都有关
【分析】根据合并同类项法则化简，再进行判断即可．
【解析】﹣2x2y﹣9x3+3x3+6x3y+2x2y﹣6x3y+6x3
＝（﹣2x2y+2x2y）+（﹣9x3+3x3+6x3）+（6x3y﹣6x3y）
＝0．
∴多项式﹣2x2y﹣9x3+3x3+6x3y+2x2y﹣6x3y+6x3的值与x，y都无关．
故选：C．
【变式3.3】（2020秋?庆云县期中）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．
（1）若（x+2）2+|y﹣3|＝0，求A﹣2B；
（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．
【分析】（1）根据题意求出x与y的值，然后化简A﹣2B后并代入x与y的值即可求出答案．
（2）将含x的项进行合并，然后令其系数为0即可求出y的值．
【解析】（1）由题意知：x＝﹣2，y＝3
∴A﹣2B＝（2x2+3xy+2y）﹣（x2﹣xy+x）
＝5xy+2y﹣2x
＝﹣20
（2）由于A﹣B＝（5y﹣2）x+2y，
∵A﹣2B的值与x取值无关，
∴5xy﹣2x＝0，
∴5y﹣2＝0，
∴y
【考点4】整式的应用——面积问题
【例4】（2020秋?同安区期中）小王购买了一套一居室，他准备将房子的地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含m，n的代数式表示地面的总面积；
（2）已知n＝1.5，且客厅面积是卫生间面积的8倍，如果铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么小王铺地砖的总费用为多少元？
【分析】（1）根据总面积等于四个部分矩形的面积之和列式整理即可得解；
（2）根据题意求出m的值，把m，n的值代入计算即可．
【解析】（1）地面的总面积＝2n+6m+3×4+2×3＝（6m+2n+18）平方米；
（2）当n＝1.5时，2n＝3，
根据题意，得6m＝8×3＝24，
∵铺1平方米地砖的平均费用为100元，
∴铺地砖的总费用为：100（6m+2n+18）＝100×（24+3+18）＝4500（元）．
答：铺地砖的总费用为4500元．
【变式4.1】（2020秋?河西区期中）如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形（圈中阴影部分）得到一个象“囧”字的图案，设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．
（Ⅰ）用含有x、y的代数式表示图中剪去后剩下“囧”字图案的面积；
（Ⅱ）当x＝9，y＝6时，求此时“囧”字图案的面积．
【分析】（Ⅰ）根据：“囧”字图案的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积﹣三角形的面积；
（Ⅱ）把x、y的值代入（Ⅰ）中，求值即可．
【解答】（Ⅰ）S“囧”字图案＝S正方形﹣2S三角形﹣S长方形
＝202﹣2xy﹣xy
＝400﹣2xy；
（Ⅱ）当x＝9，y＝6时，
S“囧”字图案＝400﹣2×9×6
＝400﹣108
＝292．
【变式4.2】（2020秋?永吉县期中）某村小麦种植面积是ahm2，水稻种植面积是小麦种植面积的3倍，玉米种植面积比小麦种植面积少5hm2．
（1）水稻的种植面积为　3a　hm2（用含a的式子表示）；
（2）水稻的种植面积比玉米的种植面积大　（a+5）　hm2（用含a的式子表示）；
（3）求该村小麦、水稻和玉米三种农作物种植的总面积S（单位：hm2）（用含a的式子表示），当a＝450时，求S的值．
【分析】（1）根据水稻种植面积与小麦种植面积的关系可得答案；
（2）水稻种植面积减去玉米种植面积即可；
（3）求出三种农作物种植面积的和，再代入求值即可．
【解析】（1）因为水稻种植面积是小麦种植面积的3倍，
所以水稻的种植面积为3adm2，
故答案为：3a；
（2）由题意得，玉米的种植面积为（a﹣5）dm2，
所以，3a﹣（a﹣5）＝2a+5，
故答案为：（2a+5）；
（3）由题意得，
S＝a+3a+（a﹣5）＝5a﹣5，
当a＝450时，S＝5×450﹣5＝2245（dm2），
答：该村小麦、水稻和玉米三种农作物种植的总面积S＝5a﹣5，当a＝450时，S＝2245dm2．
【变式4.3】（2020秋?锦江区校级期中）小亮房间窗户的装饰物如图1中的阴影部分，它是由两个四分之一圆组成（半径分别相同），若长方形窗户的长为a，宽为b．求：
（1）请用代数式表示房间窗户饰物的面积：　　；用代数式表示窗户能射进阳光的面积是　ab　．（窗框面积忽略不计，结果保留π）
（2）当a＝1，b时，求窗户能射进阳光的面积是多少？（取π≈3）
（3）小亮又设计了如图2的窗帘（由四个半圆组成组成，半径相同），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？（结果保留π）
【分析】（1）装饰物的面积就是半径为a的圆面积的一半，射进阳光的面积为总面积减去装饰物的面积即可；
（2）代入求值即可；
（3）图②装饰物的面积就是半径为a的圆面积的2倍，再表示射进阳光部分的面积，比较得出答案．
【解析】（1）装饰物的面积：π×（a）2，
射进阳光部分的面积：ab，
（2）当a＝1，b，π≈3时，
射进阳光部分的面积：ab，
答：窗户能射进阳光的面积是；
（3）图2中，装饰物的面积为半径为a的圆面积的2倍，即，2π×（a）2，
∵，
∴射进阳光的部分的面积变大了，
，
答：射进阳光的部分的面积变大了，大了．
【考点5】整式的应用——销售问题
【例5】（2020秋?武汉期中）某服装店某员工周一的销售量恰好为每日标准销售量m件，相比标准销售量，周二至周日销售量如下：
﹣8件，﹣4件，+12件，+20件，+10件，﹣8件．
（1）周　五　的销售量最高，这周的总销售量是　（7m+22）　件．
（2）该服装店实行每日计件工资制，每销售一件可得30元，若超额完成任务，则超过部分每件另奖10元；少一件扣5元，当m＝10时，那么该售货员这一周的工资总额是多少元？
【分析】（1）比较大小可得周五的销售量最高，再相加可求这周的总销售量；
（2）首先利用含m的代数式表示出这一周的工资总额，然后把m＝10代入即可求解．
【解析】（1）周五的销售量最高，
这周的总销售量是7m+（﹣8﹣4+12+20+10﹣8）＝（7m+22）件．
故答案为：五，（7m+22）；
（2）（7m+22）×30+（12+20+10）×10﹣（8+4+8）×5
＝210m+660+420﹣100
＝（210m+980）件，
将m＝10代入原式＝210×10+980＝3080（元）．
故该售货员这一周的工资总额是3080元．
【变式5.1】（2019秋?西岗区期末）某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价2000元，茶碗每只定价200元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款　（200x+54000）　元；若客户按方案二，需要付款　（190x+57000）　元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能是写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能说明理由．
【分析】（1）由题意分别求出两种方案购买的费用，方案一：30×2000+200（x﹣30）＝200x+54000，方案二：30×2000×0.95+200×0.95x＝190x+57000；
（2）将x＝40分别代入（1）中所求的代数式，再比较哪个更优惠即可；
（3）两种方案一起购买，按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要2000×30＝60000（元），按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×200×0.95＝1900（元），共计60000+1900＝61900（元）．
【解析】（1）方案一：30×2000+200（x﹣30）＝200x+54000，
方案二：30×2000×0.95+200×0.95x＝190x+57000，
故答案为（200x+54000）；（190x+57000）；
（2）当x＝40时，
方案一：200x+54000＝8000+54000＝62000（元），
方案二：190x+57000＝7600+57000＝64600（元），
因为62000＜64600，
所以方案一更合适；
（3）可以有更合适的购买方式，
按方案一购买30套茶具和30只茶碗，需要2000×30＝60000（元），
按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×200×0.95＝1900（元），
所以，共计60000+1900＝61900（元）．
【变式5.2】（2019秋?东方期末）商店出售甲、乙两种书包，甲种书包每个38元，乙种书包每个26元，现已售出甲种书包a个，乙种书包b个．
（1）用代数式表示销售这两种书包的总金额；
（2）当a＝2，b＝10时，求销售总金额．
【分析】（1）把销售甲种书包a个，乙种书包b个的销售额相加即可；
（2）把a、b的值代入（1）中的代数式中进行有理数的混合运算即可．
【解析】（1）销售这两种书包的总金额为（38a+26b）元；
（2）当a＝2，b＝10时，38a+26b＝38×2+26×10＝336，
所以销售总金额为336元．
【变式5.3】（2019秋?斗门区期末）今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有x辆，装运乙种土特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车运载量（吨）
4
3
6
每吨土特产获利（元）
1000
900
1600
（1）装运丙种土特产的车辆数为　（10﹣x﹣y）　辆（用含有x，y的式子表示）；
（2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量；
（3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）．
【分析】（1）根据“装运丙种土特产的车辆数＝总汽车辆数10﹣装运甲种土特产的车辆数﹣装运乙种土特产的车辆数”列式表达便可；
（2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量×装运甲种土特产的车辆数+装运乙种土特产的每辆车运载重量×装运乙种土特产的车辆数+装运丙种土特产的每辆车运载重量×装运丙种土特产的车辆数＝10辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可；
（3）根据“甲种土特产每吨利润×甲种土特产的总吨数+乙种土特产每吨利润×乙种土特产的总吨数+丙种土特产每吨利润×丙种土特产的总吨数＝总利润”列出代数式，并化简便可．
【解析】（1）由题意得，
装运丙种土特产的车辆数为：10﹣x﹣y（辆）
故答案为：（10﹣x﹣y）；
（2）根据题意得，
4x+3y+6（10﹣x﹣y）
＝4x+3y+60﹣6x﹣6y
＝60﹣2x﹣3y，
答：这10辆汽车共装运土特产的数量为（60﹣2x﹣3y）吨；
（3）根据题意得，
1000×4x+900×3y+1600×6（10﹣x﹣y）
＝4000x+2700y+96000﹣9600x﹣9600y
＝96000﹣5600x﹣6900y
答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为（96000﹣5600x﹣6900y）元．
【考点6】整式的应用——方案比较问题
【例6】（2020秋?灌阳县期中）学校需要购买一批乒乓球拍，经了解情况如下：甲、乙两家体育用品店出售同样品牌的乒乓球拍，每副定价为30元，甲店优惠活动方案为购满10副超过的部分按8折出售；乙店优惠活动方案为全场一律9折．
（1）设学校需购买乒乓球拍的数量x副，请用含x字母的代数式分别表示在甲、乙两家体育用品店购买所需支付的购买价款；
（2）当学校分别购买18副、21副乒乓球拍时，应该选择去哪家体育用品店购买较便宜，为什么？
【分析】（1）根据两家的收费标准分别表示出费用即可；
（2）根据各商店优惠条件计算出所需款数确定去哪家商店购买合算．
【解析】（1）在甲家体育用品店购买的价款：当x≤10时，价款为30x元；
当x＞10时，价款为30×10+30×0.8×（x﹣10）＝300+24x﹣240＝（24x+60）（元）；
在乙家体育用品店购买的价款为30×0.90x＝27x（元）；
（2）当购买18副乒乓球拍时，
因为18＞10，
甲价款为24×18+60＝492（元），
乙价款为27×18＝486（元），
492＞486，
所以应该选择去乙家体育用品店购买；
当购买21副乒乓球拍时，
因为21＞10，
甲价款为24×21+60＝564（元），
乙价款为27×21＝567（元），
564＜567，
所以应该选择去甲家体育用品店购买．
【变式6.1】（2020秋?永春县期中）有一个公司要设置一个会议室，需要购买办公桌和椅子，办公桌要x张，椅子的数量是办公桌数量的3倍多5把．办事员小王在兴旺家具城找到了合适的桌椅并要在这里购买，小王看中的办公桌每张标价1000元，椅子每把标价60元，在“双十一”促销期间这个家具城提供了两种优惠方案：
①办公桌和椅子都按标价的9折付款；
②每买1张办公桌送2把椅子．
（1）若小王分别按方案①，②购买，则各需付款多少元？（用含x的代数式表示）
方案①需付款　（1062x+270）　元；
方案②需付款　（1060x+300）　元．
（2）若x＝10，只能选择一种方案来购买，通过计算按哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝10时，你能给出一种更省钱的购买方案吗？若能，请写出你的购买方案，并算出需要的总金额，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据方案①和方案②列出代数式即可；
（2）把x＝10代入（1）中的代数式，求出钱数后比较即可；
（3）先按方案①购买办公桌10张，再按方案②购买椅子（x+5）把更为省钱，通过计算说明即可．
【解析】（1）方案①需付款0.9[1000x+60（3x+5）]＝（1062x+270）元；
方案②需付款1000x+60（3x+5﹣2x）＝（1060x+300）元．
故答案为：（1062x+270），（1060x+300）；
（2）当x＝10，
按方案①购买所需费用＝1062×10+270＝10620+270＝10890（元）；
按方案②购买所需费用＝1060×10+300＝10600+300＝10900（元），
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买办公桌10张，再按方案②购买椅子15把更为省钱，理由如下：
3×10+5﹣2×10＝15（把），
先按方案①购买办公桌10张所需费用＝10000（元），按方案②购买椅子15把的费用＝60×0.9×15＝810（元），
所以总费用为10000+810＝10810（元），
所以此种购买方案更为省钱．
【变式6.2】（2020秋?红桥区期中）七年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元，现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费．若有m名学生去公园秋游．
（1）用含m的代数式表示两种优惠方案各需多少元？
（2）当m＝70时，采用哪种方案优惠？请说明理由．
【分析】（1）根据两种优惠方案列出代数式即可求解；
（2）代入数据计算即可求解．
【解析】（1）甲方案：30m×0.8＝24m，
乙方案：30（m+5）×0.75＝22.5m+112.5；
（2）当m＝70时，
甲方案：24×70＝1680（元），
乙方案：22.5×70+112.5＝1687.5（元），
因为1680＜1687.5，
所以采用甲方案优惠．
【变式6.3】（2020秋?朝阳区校级期中）某服装厂生产一种裤子和T恤，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案，
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买裤子30件，T恤x件（x＞30）．
（1）按方案一，购买裤子和T恤共需付款　（1500+50x）　元（用含x的式子表示）；
按方案二，购买裤子和T恤共需付款　（2400+40x）　元（用含x的式子表示）；
（2）计算一下，当x＝50时，按哪种方案购买较为合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当x＝50时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？若能，请写出你的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）根据题意按照优惠方案列代数式即可；
（2）把x＝50代入计算即可得到结论；
（3）因为两种优惠方案可同时使用，所以可以先按方案一购买裤子30件，再按方案二只需购买T恤20件，即可得到结论．
【解析】（1）方案一：30×100+50（x﹣30）＝（1500+50x）元，
方案二：30×100×0.8+50×0.8x＝（2400+40x）元．
故答案为：（1500+50x）；（2400+40x）；
（2）当x＝50时，
1500+50x＝1500+2500＝4000，
2400+40x＝2400+2000＝4400，
4000＜4400，
答：当x＝50时，方案一购买较为合算；
（3）当x＝50，
按方案一购买30件裤子：30×100＝3000（元）；
按方案二购买20件T恤：20×50×0.8＝800（元）；
总费用：3000+800＝3800（元）；
因为3800＜4000；
所以比较省钱的购买方案：可以先按方案一购买裤子30件，再按方案二只需购买T恤20件．
【考点7】探索规律——数字变化问题
【例7】（2020秋?汉阳区期中）下列三行数：
﹣3，9，﹣27，81，……．
6，﹣18，54，﹣162，……
﹣1，11，﹣25，83，……
（1）直接写出第一行的第n个数是　（﹣3）n　；（用含n的式子表示）
（2）在第二行中，存在三个连续数其和为﹣126，这三个数分别是　﹣18　，　54　，　﹣162　．
（3）设x，y，z分别为每一行的第2020个数，求x+y+z的值．
【分析】（1）根据题目中第一行的数据可以发现数字的变化规律：后一个数是前一个数的（﹣3）倍，进而可得结论；
（2）根据第二行数的变化规律发现：后一个数是前一个数的（﹣3）倍，可以设三个连续数分别为：x，﹣3x，9x，列出方程即可解决问题；
（3）结合（1）发现的规律，第一行的每个数都乘以﹣2即可得第二行数，即可用第一行的数分别表示第二、三行的数，进而可得n＝2020时，每一行对应的数据，从而可以解答本题．
【解析】（1）第一行的第n个数是（﹣3）n；
故答案为：（﹣3）n；
（2）设第二行中三个连续数分别为：x，﹣3x，9x，
根据题意可知：
x﹣3x+9x＝﹣126，
解得x＝﹣18，
所以﹣3x＝54，9x＝﹣162．
这三个数分别是：﹣18，54，﹣162；
故答案为：﹣18，54，﹣162；
（3）因为第一行的第n个数是（﹣3）n；
所以第二行的第n个数是﹣2（﹣3）n；
第三行的第n个数是（﹣3）n+2．
所以当n＝2020时，
x+y+z＝（﹣3）2020﹣2（﹣3）2020+（﹣3）n+2＝2．
【变式7.1】（2020秋?郫都区期中）观察下列等式：
1，，．
将以上三个等式两边分别相加，得11．
（1）猜想并写出：　　．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①　　；
②　　．
（3）探究并计算．
【分析】（1）利用题中的等式写出结果；
（2）①利用（1）中的结论得到原式＝＝1，然后合并即可；
②同理可得结论；
（3）先将分母中的数字相加得：1，然后除第一个和最后一个外，每两个一组相加，得结果，再根据（1）中的结论拆项，合并即可．
【解析】（1）；
故答案为：；
（2）①原式＝1
＝1
；
②原式＝1
＝1
；
故答案为：①；②；
（3）
＝1
＝1+（）+（）+（）+…+（）
＝1
＝1
＝2
．
【变式7.2】（2020秋?杏花岭区校级期中）定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是，
已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，回答下列问题：
（1）a2＝　　，a3＝　4　，a4＝　　；
（2）求a1+a2+a3+…+a2019的值．
【分析】（1）根据题意，可以计算出，a2、a3、a4的值；
（2）根据（1）中的计算结果，可以发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值．
【解析】（1）由题意可得，
当a1时，a2，a34，a4，
故答案为：，4，；
（2）由（1）知这列数以，，4为一个循环，循环出现，
∵4，2019÷3＝673，
∴a1+a2+a3+…+a2019
＝（a1+a2+a3）+…+（a2017+a2018+a2019）
673
．
【变式7.3】（2020秋?武汉期中）观察下列的三行单项式：
2x、4x2、8x3、16x4、32x5、64x6、……①
﹣4x、8x2、﹣16x3、32x4、﹣64x5、128x6、……②
2x2、﹣3x3、5x4、﹣9x5、17x6、﹣33x7、……③
（1）根据你发现的规律，第①行第8个单项式为　256x8　；
（2）第②行的第8个单项式为　﹣1024x9　，第③行的第8个单项式为　128x9　．
（3）取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为M，计算当x时，512（M）的值．
【分析】（1）根据题目中数据的变化情况寻找规律即可求解；
（2）根据题目中数据的变化情况寻找规律即可求解；
（3）根据（1）、（2）中所得规律列代数式代入值即可．
【解析】（1）2x，4x2，8x3，16x4，32x5、64x6、……①
所以第8个单项式为28x8＝256x8．
故答案为256x8．
（2）﹣4x、8x2、﹣16x3、32x4、﹣64x5、128x6、……②
∴第n个单项式为（﹣1）n2n+1xn，
所以第9个单项式为﹣210x9＝﹣1024x9．
2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…；③
（20+1）x2，﹣（21+1）x3，（22+1）x4，﹣（23+1）x5，（24+1）x6，﹣（25+1）x7，…（﹣1）n+1（2n﹣1+1）xn+1；③
所以第8个单项式为（﹣1）9（27+1）x9＝﹣128x9．
故答案为﹣1024x9．128x9；
（3）第①行第9个单项式为29x9，第②行第9个单项式为﹣210x9，第③行的第9个单项式为（28+1）x10，
M＝29x9﹣210x9+（28+1）x10．
当x时，M＝1﹣2+（128+1）1，
512（M）＝512（）＝1．
【考点8】探索规律——图形变化问题
【例8】（2020秋?苏州期中）用黑白两种颜色的瓷砖按如图所示的方式铺设地面，第1层为1块白色瓷砖，第2层为3块黑色瓷砖，第3层为5块白色瓷砖……
（1）第7层共有　13　块瓷砖，第n（n为正整数）层共有　（2n﹣1）　块瓷砖；
（2）若按图示方式铺设n（n为正整数）层瓷砖，求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
【分析】（1）根据题意即可得第7层共有2×7﹣1＝13块瓷砖；第n层共有（2n﹣1）块瓷砖；
（2）根据第n层有（2n+1）块黑色瓷砖，第n层有（2n﹣1）块白色瓷砖，即可求黑白两种颜色瓷砖的数量差．
【解析】（1）根据题意可知：
第1层为2×1﹣1＝1块白色瓷砖；
第2层为2×2﹣1＝3块黑色瓷砖；
第3层为2×3﹣1＝5块白色瓷砖；
……
第7层共有2×7﹣1＝13块瓷砖；
所以第n层共有（2n﹣1）块瓷砖；
故答案为：13；（2n﹣1）；
（2）因为第n层有（2n+1）块黑色瓷砖，有（2n﹣1）块白色瓷砖，
所以黑白两种颜色瓷砖的数量差是：（2n+1）﹣（2n﹣1）＝2n+1﹣2n+1＝2．
【变式8.1】（2020秋?顺德区期中）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索：
（1）某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折．
（ⅰ）部分④的面积是　　；
（ⅱ）请你利用图形求的值；
（ⅲ）受此启发，请求出的值；
（2）请你利用备用图，再设计一个能求的值的几何图形．
【分析】（1）（i）根据题目中的图形和题意，可以得到部分④的面积
（ii）根据图形，可以写出所求式子的值；
（iii）根据（2）中的结果，可以直接写出所求式子的值；
（2）将长方形分成两个全等的三角形，然后继续分割两个小一点的全等三角形，依次继续分割即可，本题答案不唯一，只要合理即可．
【解析】（1）（i）由题意可得，
部分④的面积是，
故答案为：；
（ii）由题意可得，
11；
（iii）1；
（2）设计的图形如右图所示．
【变式8.2】（2020春?抚州期末）阅读下面的材料，解决有关问题：
在下列数据中，我们可以发现其中某些数之间满足一定的规律，如图1所选择的两组七个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减．
（1）计算：12×26﹣10×28＝　32　，24×38﹣22×40＝　32　，不难发现，结果都是　32　；
（2）图2是从图1中截出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为x，则A、B、C、D所对应的数分别为　x﹣9　，　x+7　，　x+9　，　x﹣7　（用含x的代数式表示），请你利用整式的运算，对（1）中的规律进行证明；
（3）若把图2中“H”升高，如图3，这组数中相对的数分别设为a、c与b、d，则bd﹣ac＝　64　．
【分析】（1）根据每组数中相对的两数相乘，再相减即可进行计算；
（2）根据图中数据设中心数为x，则可得A、B、C、D所对应的数分别为：x﹣9，x+7，x+9，x﹣7，进而进行整式运算即可证明；
（3）在（2）的基础上设中心数为x，则可得a、b、c、d所对应的数分别为：x﹣17，x+15，x+17，x﹣15，进而进行整式运算即可．
【解析】（1）12×26﹣10×28＝32，
24×38﹣22×40＝32，
发现结果都是32．
故答案为：32，32，32；
（2）设中心数为x，则A、B、C、D所对应的数分别为：x﹣9，x+7，x+9，x﹣7，
∴B×D﹣A×C
＝（x+7）（
x﹣7）﹣（x﹣9）（
x+9）
＝x2﹣49﹣x2+81
＝32；
故答案为：x﹣9，x+7，x+9，x﹣7；
（3）设中心数为x，则a、b、c、d所对应的数分别为：x﹣17，x+15，x+17，x﹣15，
∴bd﹣ac＝（x+15）（
x﹣15）﹣（x﹣17）（
x+17）
＝x2﹣225﹣x2+289
＝64；
故答案为：64．
【变式8.3】（2020?浙江自主招生）如图，将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2011；（2）2016．这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．
【分析】根据题意可以设正方形框中最小的自然数为k，则这9个数分别为：k，k+1，k+2，k+7，k+8，k+9，k+14，k+15，k+16，这9个数之和为：M＝9k+72．然后根据题意列出方程即可说明．
【解析】设正方形框中最小的自然数为k，则这9个数分别为：
k，k+1，k+2，k+7，k+8，k+9，k+14，k+15，k+16，
这9个数之和为：M＝9k+72．
（1）当M＝2011，即9k+72＝2011时，
自然数k不存在，即框中9个数之和不可能为2011；
（2）当M＝2016，即9k+72＝2016时，
k＝216，k+16＝232，
由于216在正方形框的第6列，其后只有第7列，共两列，
因此这样的三列数不存在，即不可能．
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