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专题1.7一元一次方程的应用
【目标导航】
【知识梳理】
一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的应用——分配问题
【例1】（2019秋?厦门期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．
【变式1.1】（2019秋?弥勒市期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．
（1）这个班有多少学生？
（2）这批图书共有多少本？
【变式1.2】（2019秋?鼓楼区期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：
①5x﹣9＝4x+15
②
（1）①中的x表示　
　；②中的y表示　
　．
（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．
【变式1.3】（2020秋?犍为县期末）列方程解应用题：
全班同学准备到公园划船游玩，班长作安排时发现，若比计划少租一船则正好每船坐9人，若比计划多租一船则正好每船坐6人．问这个班共有几位同学？
【考点2】一元一次方程的应用——配套问题
【例2】（2019秋?天津期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【变式2.1】（2019秋?襄州区期末）包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？
【变式2.2】（2020秋?崇川区校级期中）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【变式2.3】（2019秋?渝北区期末）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
（2）工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？
【考点3】一元一次方程的应用——行程问题
【例3】（2020?同安区模拟）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样的时间段里，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今善行者与不善行者相距960步，两者相向而行，问，相遇时两者各行几步？
（2）今不善行者先行100步，善行者追之，不善行者再行300步，请问谁在前面，两人相隔多少步？
【变式3.1】（2020春?辉县市期末）如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB＝6．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：数轴上点B表示的数为　﹣4　，点P表示的数为　2+t　（用含t的式子表示）；
（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？
（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？
【变式3.2】（2019秋?东湖区期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，边OC长为3．
（1）数轴上点A表示的数为　4　；
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数是多少？
②设点A移动的距离AA′＝x，当S＝4时，求x的值．
【变式3.3】（2020秋?南岗区校级月考）王莉骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距24km，到中午12时，两人又相距24km．求A、B两地间的路程．（用方程求解）
【变式3.4】（2020春?嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．
（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？
【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题
【例4】（2020春?香坊区校级月考）某船顺水航行了4h，逆水航行了3h．在静水中的速度是mkm/h，水流的速度是akm/h，则轮船共航行了多少千米？
【变式4.1】（2019秋?密云区期末）列方程解应用题
十一期间，张老师从北京出发走京津高速到天津．去时在京津高速上用了1.2小时，返回时在京津高速上比去时多用18分钟，返回时平均速度降低了22千米/小时．求张老师去时在京津高速上开车的平均速度．
【变式4.2】（2019秋?崂山区期末）某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）
【变式4.3】（2019秋?江汉区期末）某船从甲码头顺流而下到达乙码头，然后再从乙码头逆流而上返回甲码头共用10小时，此船在静水中速度为25千米/时，水流速度为5千米/时．
（1）此船顺流而行的速度为　30　千米/时，逆流而行的速度为　20　千米/时；
（2）求甲乙两码头间的航程．
【考点5】一元一次方程的应用——工程问题
【例5】（2019秋?道里区校级月考）由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？
【变式5.1】（2019秋?金乡县期末）某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾．
（1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？
（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？
【变式5.2】（2019秋?遵化市期末）甲、乙两人要各自在车间加工一批数量相同的零件，甲每小时可加工25个，乙每小时可加工20个．甲由于先去参加了一个会议，比乙少工作了1小时，结果两人同时完成任务，求每人加工的总零件数量．
【变式5.3】（2019秋?凌源市期末）某项工程，如果让甲工程队单独工作需75天完成，如果让乙工程队单独工作需50天完成．如果让两个工程队一起工作15天，再由乙工程队完成剩余部分，共需多少天完成？（请列方程解应用题）
【变式5.4】（2020春?金山区期中）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
【考点6】一元一次方程的应用——积分问题
【例6】（2019秋?汉阳区期末）下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表：
队名
比赛场数
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
远大
14
m
n
22
卫星
14
4
10
a
钢铁
14
0
14
14
请根据表格提供的信息：
（1）求出a的值；
（2）请直接写出m＝　8　，n＝　6　．
【变式6.1】（2019秋?越秀区期末）某电视台组织知识竞赛，共设30道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
28
2
108
B
26
4
96
C
24
6
84
（1）每答对1题得多少分？
（2）参赛者D得54分，他答对了几道题？
【变式6.2】（2019秋?金牛区期末）2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格．
（1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由．
（2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
【变式6.3】（2019秋?东湖区期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
17
3
79
（1）参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？
（2）参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗？为什么？
【考点7】一元一次方程的应用——数字问题
【例7】（2020秋?大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
【变式7.1】（2020秋?崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：
（1）它的千位数字为2；
（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．
【变式7.2】（2019秋?福田区期末）一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x：
（1）原三位数可表示为　102x　，新三位数可表示为　201x　；
（2）列方程求解原三位数．
【变式7.3】（2020秋?浦城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．
【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题
【例8】（2020春?蓬溪县期末）今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄．
【变式8.1】（2019秋?北京期末）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
【变式8.2】（2019秋?延边州期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：
（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄．
【变式8.3】（2018秋?泰宁县期末）儿子12岁那年，父亲的年龄是37岁．
（1）经过　13　年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍．
（2）能否算出几年后父亲年龄是儿子年龄的6倍？如果能，请算出结果；如果不能请说明理由．
【考点9】一元一次方程的应用——日历问题
【例9】（2020秋?和平区期中）将连续奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表．
（1）根据规律，第3行第2列的数是35，那么第9行第5列的数是　137　；
（2）如图，用长方形框在数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．
①这九个数之和是中间数的　9　倍；
②若这九个数中，最小的数是171，则最大的数是　207　；
③若用长方形框出的的九个数之和是2043，则长方形框中最大的数是　245　．
【变式9.1】（2020秋?江阴市期中）将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．
（1）若将十字框上下左右平移，使得十字框正好框住数列中的5个数．小明发现这五个数的和总等于中间数的整数倍．若设中间的数为a，则框住的5个数字之和＝　5a　（用a的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，是否存在a的值，使得该十字框框住的5个数之和恰好等于2020？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，十字框框住的5个数之和能等于415吗？若能，分别写出十字框框住的这5个数；若不能，请说明理由．
【变式9.2】（2019秋?平谷区期末）如图是2019年11月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律．
（1）若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整
a
　a+1　
　a+7　
a+8
（2）求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）
（3）小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日．
【变式9.3】（2019秋?广饶县期末）如图是2019年10月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹“字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4．
（1）直接写出a1＝　a﹣8　，a3＝　a+1　，（用含a的式子表示）；a4﹣a2＝　﹣5　；
（2）在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，小敏说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；
（3）若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为　21，23或29　．
【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题
【例10】（2020春?市中区校级月考）肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【变式10.1】（2020?泰州二模）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
运输工具
途中平均速度（千米/时）
运费（元/千米）
装卸费用（元）
火车
100
15
2000
汽车
80
20
900
（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．（总支出包含损耗、运费和装卸费用）
（2）如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？
【变式10.2】（2019秋?房山区期末）列方程解应用题：
为参加学校运动会，七年级一班和七年级二班准备购买运动服．下面是某服装厂给出的运动服价格表：
购买服装数量（套）
1～35
36～60
61及61以上
每套服装价格（元）
60
50
40
已知两班共有学生67人（每班学生人数都不超过60人），如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付3650元．问七年级一班和七年级二班各有学生多少人？
【变式10.3】（2019秋?彭水县期末）为了丰富老年人的晚年生活，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位退休职工共102人，其中乙单位人数少于50人，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如表：
数量（张）
1～50
51～100
101张及以上
单价（元/张）
60
50
40
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（2）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题
【例11】（2020?如皋市一模）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出甲、乙两件衣服，其中甲件盈利25%，乙件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？说明理由．
【变式11.1】（2020春?硚口区期末）某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中要有盈利，则亏本的那双皮鞋的进价必须低于　150　元．
【变式11.2】（2019秋?青山区期末）双11电商节，某商店把某种商品按进价加20%作为定价，按定价的1.5倍标价再8折出售，最终售出10件，总营业额为720元，则这次生意的盈亏情况为　盈利220　元．
【变式11.3】（2018秋?厦门期末）2019年某商场于元旦之际开展优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，其中甲种商品原价400元．
（1）请问乙种商品原价是多少元？
（2）在本次买卖中，甲种商品最终亏损m%，乙种商品最终盈利2m%，但商场不盈不亏，请问甲种商品的成本是多少元？亏损多少元？
【变式11.4】（2019秋?番禺区期末）（1）在番禺某中学举行的”弘扬祠堂文化，凝聚乡情”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【考点12】一元一次方程的应用——销售问题
【例12】（2020?两江新区模拟）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，4月8日抖音发起了“湖北重启，抖来助力﹣﹣抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品．已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
（1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动．疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面（一份里面有6包热干面），以5折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2a%，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少a%，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8a%；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%，求a的值．
【变式12.1】（2020?山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原?乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
【变式12.2】（2020?安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
　1.04（a﹣x）　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【变式12.3】（2020?肥东县二模）小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同，求每台电脑1月份的售价．
【变式12.4】（2019秋?渝中区校级期末）“乐天乐地乐巴蜀，巴蜀孩子最幸福”巴蜀中学一年一度的艺术节是孩子们最盼望的节日，不仅有各种精彩的节目表演，还有美淘街各具特色的小店，就像过年一样热闹．初二（1）班的同学们在2018年的美淘街上大放异彩，他们手工编织的小挂件非常受欢迎，当天一共卖出了40件动物挂件与50件植物挂件，其中动物挂件每件售价8元，植物挂件每件售5元．2019年他们打算继续卖手工编织的挂件．与2018年的售价相比，动物挂件的售价不变，优惠如下：买2件，首件全价，第二件半价，不单件销售：植物摆件的单价上调m%．与2018年的销售量相比，动物挂件的销量增加了5m%，植物挂件的销量下降了10件．结果2019年的销售额比2018年的销售额增加了m元，求m的值．
【考点13】一元一次方程的应用——分段计费问题
【例13】（2019秋?厦门期末）某市从2019年1月1日开始实施阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下：
档次
月用电量
电价（单位：元/度）
春秋季（3，4，5，9，10，11月）
冬夏季（1，2，6，7，8，12月）
第1档
不超过200度的部分
不超过200度的部分
0.5
第2档
超过200度但不超过350度的部分
超过200度但不超过450度的部分
0.55
第3档
超过350度的部分
超过450度的部分
0.8
例：若某用户2019年6月的用电量为300度，则需交电费为：200×0.5+（300﹣200）×0.55＝155（元）．
（1）若小辰家2019年5月的用电量为400度，则需交电费多少元？
（2）若小辰家2019年8月和9月用电量相同，共交电费660元，问小辰家8月份用多少度电？
【变式13.1】（2019秋?沙坪坝区校级期末）某商场销售A、B两种型号的扫地机器人，A型扫地机器人的销售价为每台1200元，B型扫地机器人的销售价为每台2200元，工资分配方案：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为50000元，在销售定额内，得基本工资3000元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资．奖励工资发放比例如表1所示．根据税法规定，全月工资总额不超过5000元不用缴纳个人所得税；超过5000元
的部分为“全月应纳税所得额”（不考虑减免）．表2是缴纳个人所得税税率表．
表1
销售额
奖励工资比例
超过50000元但不超过70000元的部分
5%
超过70000元但不超过100000元的部分
7%
100000元以上的部分
10%
表2
全月应纳税所得额
税率
不超过1500元
3%
超过1500元至4500元部分
10%
超过4500元至9000元部分
20%
…
…
（1）若销售员李某1月缴纳个人所得税后实际得到的工资为7265元，利用表2求1月李某的税前工资；
（2）在（1）问的条件下，销售员李某1月销售A、B两种型号的扫地机器人共65台，销售员李某1月销售A型扫地机器人多少台？
【变式13.2】（2020秋?汤阴县期中）为了加强公民的节水意识．合理利用水资源．某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
注：水费按每月结算，不足1m3的不收费．
如：若某户居民1月份用水8m3．则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
（1）若该户居民2月份收水费16元．计算该户2月份的用水量；
（2）若该户居民3月份用水12.5m3．则应收水费多少元？
【变式13.3】（2019秋?涞水县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，分为普通快车和优享型快车两种．如表是普通快车收费标准：
计费项目
起步价
里程费
时长费
远途费
计费价格
8
2.0元/公里
0.4元/分
1.0元/公里
注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分组成，其中起步价包含里程2公里，时长5分钟；里程＞2公里的部分按计价标准收取里程费；时长＞5分钟的部分按计价标准收取时长费；远途费的收取方式为：行车15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1.0元．
（1）张敏乘坐滴滴普通快车，行车里程7公里，行车时间15分钟，求张敏下车时付多少车费？
（2）王红乘坐滴滴普通快车，行车里程22公里，下车时所付车费63.4元，则这辆滴滴快车的行车时间为多少分钟？
【考点14】一元一次方程的应用——方案设计问题
【例14】（2020春?肇东市期末）公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算．
（1）如果一个月通话100分钟，甲种方式应付话费多少元？用乙种方式应付话费多少元？
（2）求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同？（列方程解）
【变式14.1】（2020秋?南岗区校级月考）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．
（1）求这个小区共有多少间房间？
（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？
（3）经开发商研究制定如下方案：
方案一：由甲工程队单独完成；
方案二：由乙工程队单独完成；
方案三：按（2）问方式完成：
请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．
【变式14.2】（2019秋?道外区期末）有A、B两家复印社，A4纸复印计费方式如表：
A4纸复印计费方式
A复印社
复印页数不超过20页时，每页0.12元；复印页数超过20
页时，超过部分每页收费0.09元．
B复印社
不论复印多少页，每页收费0.1元．
（1）若要用A4纸复印30页，选哪家复印社划算？能便宜多少钱？
（2）用A4纸复印多少页时，两家复印社收费相同？
【变式14.3】（2020春?丽水期末）某班级想购买若干个篮球和排球，某文具店篮球和排球的单价之和为35元，篮球的单价比排球的单价的2倍少10元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少元；
（2）该文具店有两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．方案一：所有商品打7.5折销售；方案二：全场购物每满100元，返购物券30元（不足100元不返券），购物券全场通用，若该班级需要购买15个篮球和10个排球，则哪一种方案更省钱，并说明理由．
【变式14.4】（2020春?南安市期中）（用列方程或方程组解答本题）元旦期间某商店进行促销活动，活动方式有如下两种：
方式一：购物每满200元减60元；
方式二：标价不超过400元的商品，打8折：标价超过400元的商品，不超过400元的部分打8折，超出400元的部分打5折．
设某一商品的标价为x元．
（1）当x＝300元，则按方式一应该付的钱为　240　元；则按方式二应该付的钱为　240　元；
（2）当400＜x＜600时，x取何值两种方式的实际支出的费用相同？
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专题1.7一元一次方程的应用
【目标导航】
【知识梳理】
一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价-进价，；
（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
【典例剖析】
【考点1】一元一次方程的应用——分配问题
【例1】（2019秋?厦门期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？请你用一元一次方程的知识解决．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x（x+4.5）＝1，
解得x＝6.5．
答：木头长6.5尺．
【变式1.1】（2019秋?弥勒市期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．
（1）这个班有多少学生？
（2）这批图书共有多少本？
【分析】（1）设这个班有x名学生．根据这个班人数一定，可得：3x+20＝4x﹣25，解方程即可；
（2）代入方程的左边或右边的代数式即可．
【解析】（1）设这个班有x名学生．
依题意有：3x+20＝4x﹣25
解得：x＝45
（2）3x+20＝3×45+20＝155
答：这个班有45名学生，这批图书共有155本．
【变式1.2】（2019秋?鼓楼区期末）某小组计划做一批“中国结”如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？小明和小红在认真思考后，根据题意分别列出了以下两个不同的方程：
①5x﹣9＝4x+15
②
（1）①中的x表示　小组人数　；②中的y表示　计划做“中国结”数　．
（2）请选择其中一种方法，写出完整的解答过程．
【分析】（1）根据已知方程得出x，y所代表的意义；
（2）利用计划做“中国结”的个数解方程得出答案．
【解析】（1）由题意可得，①中的x表示小组人数；
②中的y表示计划做“中国结”数；
故答案为：小组人数；计划做“中国结”数；
（2）设小组共有x人，根据题意可得：
5x﹣9＝4x+15，
解得：x＝24，
故5x﹣9＝111，
答：小组共有24人，计划做111个“中国结”．
【变式1.3】（2020秋?犍为县期末）列方程解应用题：
全班同学准备到公园划船游玩，班长作安排时发现，若比计划少租一船则正好每船坐9人，若比计划多租一船则正好每船坐6人．问这个班共有几位同学？
【分析】设计划租用x艘船，根据比计划少租一船则正好每船坐9人，若比计划多租一船则正好每船坐6人可列方程求解．
【解析】设计划租用x艘船，则
9（x﹣1）＝6（x+1），
x＝5．
9×（5﹣1）＝36（人）．
故这个班共有36位同学．
【考点2】一元一次方程的应用——配套问题
【例2】（2019秋?天津期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是（2x﹣10）人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，（44﹣y）名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量×2＝螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是（2x﹣10）人，则
x+（2x﹣10）＝44．
解得x＝18
则2x﹣10＝26．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，（44﹣y）名工人生产螺母，由题意得：
120（44﹣y）＝50y×2
解得：y＝24，
44﹣y＝20
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【变式2.1】（2019秋?襄州区期末）包装厂有工人42人，每个工人平均每小时可以生产圆形铁片120片，或长方形铁片80片，两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶，问每天如何安排工人生产圆形和长方形铁片能合理地将铁片配套？
【分析】可设安排x人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42﹣x）人，根据两张圆形铁片与一张长方形铁片可配套成一个密封圆桶可列出关于x的方程，求解即可．
【解析】设安排x人生产长方形铁片，则生产圆形铁片的人数为（42﹣x）人，由题意得：
120（42﹣x）＝2×80x，
去括号，得5040﹣120x＝160x，
移项、合并得280x＝5040，
系数化为1，得x＝18，
42﹣18＝24（人）；
答：安排24人生产圆形铁片，18人生产长方形铁片能合理地将铁片配套．
【变式2.2】（2020秋?崇川区校级期中）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【分析】首先设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，再利用2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套得出方程求出答案．
【解析】设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，依题意有
3×16x＝2×10（68﹣x），
解得x＝20，
68﹣x＝68﹣20＝48．
故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮．
【变式2.3】（2019秋?渝北区期末）某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
（2）工厂补充40名新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内能完成总任务吗？
【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数＝每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可求出结论；
（2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值，再将其代入中即可求出补充新工人后每天能配套生产的套数，进而可求出20天生产的总数，与1200比较即可得出结论．
【解析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，
依题意，得：，
解得：x＝32，
∴48．
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）设安排y名工人生产H型装置，则安排（80﹣y）名工人及40名新工人生产G型装置，
依题意，得：，
解得：y＝64，
∴y＝64．
∵64×20＝1280＞1200，
∴补充新工人后20天内能完成总任务．
答：补充新工人后每天能配套生产64套产品，补充新工人后20天内能完成总任务．
【考点3】一元一次方程的应用——行程问题
【例3】（2020?同安区模拟）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样的时间段里，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今善行者与不善行者相距960步，两者相向而行，问，相遇时两者各行几步？
（2）今不善行者先行100步，善行者追之，不善行者再行300步，请问谁在前面，两人相隔多少步？
【分析】（1）设两者相遇时行走的时间为t，根据两者行走的步数和为960列出方程，求得t，进而便可求得各自行走的步数；
（2）通过列式求出两者各自行走的步数，便可解决问题．
【解析】（1）设两者相遇时行走的时间为t，根据题意得，
100t+60t＝960，
解得，t＝6，
100t＝600，
60t＝360，
答：相遇时，善行者走了600步，不善行者走了360步；
（2）不善行者一共走了100+300＝400（步），
善行者行走了（步）＞400步，
∴善行者在前面，
两人相距：500﹣400＝100（步），
答：善行者在前面，两人相隔100步．
【变式3.1】（2020春?辉县市期末）如图，数轴上有两点A，B，点A表示的数为2，点B在点A的左侧，且AB＝6．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：数轴上点B表示的数为　﹣4　，点P表示的数为　2+t　（用含t的式子表示）；
（2）经过多长时间，P、B两点之间相距8个单位长度？
（3）动点R从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．若点P，R同时出发，经过多长时间，P，R之间的距离为2个单位长度？
【分析】（1）B点表示的数为2﹣6＝﹣4；点P表示的数为2+t；
（2）根据P、B两点之间相距8个单位长度，建立方程2+t﹣（﹣4）＝8，解方程即可求解；
（3）分类讨论：①当点R追上P前；②当点R追上P后；根据P，R之间的距离为2个单位长度，列出方程计算即可求解．
【解析】（1）数轴上点B表示的数为2﹣6＝﹣4，点P表示的数为2+t（用含t的式子表示）；
（2）依题意有2+t﹣（﹣4）＝8，
解得t＝2．
故经过2秒长时间，P、B两点之间相距8个单位长度；
（3）①当点R追上P前，
依题意有2+t﹣（﹣4+2t）＝2，
解得t＝4；
②当点R追上P后，
依题意有﹣4+2t﹣（2+t）＝2，
解得t＝8．
故经过4秒或8秒长时间，P，R之间的距离为2个单位长度．
故答案为：﹣4，2+t．
【变式3.2】（2019秋?东湖区期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，边OC长为3．
（1）数轴上点A表示的数为　4　；
（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数是多少？
②设点A移动的距离AA′＝x，当S＝4时，求x的值．
【分析】（1）根据长方形的面积OA的长即可得到结果；
（2）①根据向左和向右平移两种情况求出线段OA′的长度，进而可求出A′点表示的数；
②根据长方形的面积列出一元一次方程求解即可．
【解析】（1）∵OC＝3，S长方形OABC＝OC?OA＝12，
∴OA＝4，即点A表示的数是4，
故答案为4．
（2）如图3，
∵S＝6，即数轴上阴影部分的边长刚好为原来边长的一半，
所以，当长方形OABC向左移动时，如图3，
OA′OA＝2，
∴点A′表示的数为2；
如图4，当长方形OABC向右移动时，
O′AOA＝4，O′A′＝OA＝4，
∴OA′＝6，
∴点A′表示的数为6，
故数轴上点A′表示的数为2或6；
②∵S＝O′A?AB＝（O′A′﹣A′A）?OC＝3×（4﹣x）＝4，
∴x．
【变式3.3】（2020秋?南岗区校级月考）王莉骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距24km，到中午12时，两人又相距24km．求A、B两地间的路程．（用方程求解）
【分析】设A、B两地间的路程为xkm，根据速度＝路程÷时间结合两人的速度之和不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设A、B两地间的路程为xkm，
依题意，得：，
解得：x＝72．
答：A、B两地间的路程为72km．
【变式3.4】（2020春?嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．
（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．
①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？
②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？
【分析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；
②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：300x+220x＝400，
解得：x．
答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．
（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，
依题意，得：300y﹣220y＝100，
解得：y．
答：出发分钟后，小明、小杰第一次相遇．
②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，
依题意，得：300z﹣220z+20＝100，
解得：z＝1．
答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．
【考点4】一元一次方程的应用——顺水逆水问题
【例4】（2020春?香坊区校级月考）某船顺水航行了4h，逆水航行了3h．在静水中的速度是mkm/h，水流的速度是akm/h，则轮船共航行了多少千米？
【分析】直接根据顺水速度＝静水速度+水速，逆水速度＝静水速度﹣水速，进而将顺水航行和逆水航行的距离相加得出答案．
【解析】4（m+a）+3（m﹣a）＝（7m+a）千米．
故轮船共航行了（7m+a）千米．
【变式4.1】（2019秋?密云区期末）列方程解应用题
十一期间，张老师从北京出发走京津高速到天津．去时在京津高速上用了1.2小时，返回时在京津高速上比去时多用18分钟，返回时平均速度降低了22千米/小时．求张老师去时在京津高速上开车的平均速度．
【分析】设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，根据路程＝速度×时间结合往返路程相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设张老师去时在京津高速上开车的平均速度是x千米/小时，则返回时在京津高速上开车的平均速度是（x﹣22）千米/小时，
依题意，得：1.2x＝（1.2）（x﹣22），
解得：x＝110．
答：张老师去时在京津高速上开车的平均速度是110千米/小时．
【变式4.2】（2019秋?崂山区期末）某人乘船由A地顺流而下到达B地，然后又逆流而上到C地，共用了3小时．已知船在静水中速度为每小时8千米，水流速度是每小时2千米．已知A、B、C三地在一条直线上，若AC两地距离是2千米，则AB两地距离多少千米？（C在A、B之间）
【分析】根据路程、速度、时间之间的关系列出方程即可解答．
【解析】设AB两地距离为x千米，则CB两地距离为（x﹣2）千米．
根据题意，得
3
解得
x．
答：AB两地距离为千米．
【变式4.3】（2019秋?江汉区期末）某船从甲码头顺流而下到达乙码头，然后再从乙码头逆流而上返回甲码头共用10小时，此船在静水中速度为25千米/时，水流速度为5千米/时．
（1）此船顺流而行的速度为　30　千米/时，逆流而行的速度为　20　千米/时；
（2）求甲乙两码头间的航程．
【分析】（1）根据船速与水流速即可求出答案．
（2）设甲乙两码头间的航程为x千米，根据题意列出方程即可求出答案．
【解析】（1）由题意可知：顺流速度为：25+5＝30千米/时，
逆流速度为：25﹣5＝20千米/时，
故答案为：30，20；
（2）设甲乙两码头间的航程为x千米，
∴10，
∴解得：x＝120，
答：甲乙两码头之间的航程为120千米
故答案为：（1）30，20
【考点5】一元一次方程的应用——工程问题
【例5】（2019秋?道里区校级月考）由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独做要用30小时完成，现先安排一部分人用1小时整理，随后又增加6人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先按排整理的人员有多少？
【分析】设先安排整理的人员有x人，根据工作效率×工作时间×工作人数＝工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设先安排整理的人员有x人，
根据题意得：x2（x+6）＝1，
解得：x＝6．
答：先安排整理的人员有6人．
【变式5.1】（2019秋?金乡县期末）某建筑工地计划租用甲、乙两辆车清理建筑垃圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天．甲车先运了3天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾．
（1）甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？
（2）已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地共需支付租金3950元．则甲、乙车每天的租金分别为多少元？
【分析】（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，根据甲车完成的工作量+乙车完成的工作量＝总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，根据总租金＝每天的租车×租车的时间结合总租金为3950元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设甲、乙两车合作还需要x天运完垃圾，
依题意，得：1，
解得：x＝8．
答：甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾．
（2）设乙车每天的租金为y元，则甲车每天的租金为（y+100）元，
依题意，得：（8+3）（y+100）+8y＝3950，
解得：y＝150，
∴y+100＝250．
答：甲车每天的租金为250元，乙车每天的租金为150元．
【变式5.2】（2019秋?遵化市期末）甲、乙两人要各自在车间加工一批数量相同的零件，甲每小时可加工25个，乙每小时可加工20个．甲由于先去参加了一个会议，比乙少工作了1小时，结果两人同时完成任务，求每人加工的总零件数量．
【分析】根据题意可以得到相等关系：乙用时﹣1＝甲用时，据此列出方程求解即可．
【解析】设每人加工x个零件，
1
解得：x＝100
答：甲加工了100个，乙加工了100个．
【变式5.3】（2019秋?凌源市期末）某项工程，如果让甲工程队单独工作需75天完成，如果让乙工程队单独工作需50天完成．如果让两个工程队一起工作15天，再由乙工程队完成剩余部分，共需多少天完成？（请列方程解应用题）
【分析】设共需x天完成，找出等量关系：甲15天的工作量+乙的工作量＝1，列方程求解即可．
【解析】设共需x天完成，根据题意，得．
解这个方程得：x＝25．
答：共需25天完成．
【变式5.4】（2020春?金山区期中）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：
方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；
方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？
【分析】（1）设甲队每天施工x米，则乙队每天施工米，根据甲、乙两队合作12天共施工1000米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求出结论；
（2）根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可求出结论．
【解析】（1）设甲队每天施工x米，则乙队每天施工米，
依题意，得：12x+121000，
解得：x＝50，
∴，
∴1000÷50＝20（天），100030（天）．
答：甲队单独完成此项工程需要20天，则乙队单独完成此项工程需要30天．
（2）50×12＝600（米），12＝400（米）．
答：方案一中，甲队实际施工了600米，乙队实际施工了400米．
【考点6】一元一次方程的应用——积分问题
【例6】（2019秋?汉阳区期末）下面表格是某次篮球联赛部分球队不完整的积分表：
队名
比赛场数
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
远大
14
m
n
22
卫星
14
4
10
a
钢铁
14
0
14
14
请根据表格提供的信息：
（1）求出a的值；
（2）请直接写出m＝　8　，n＝　6　．
【分析】（1）根据表格中钢铁队的积分，可以得到负一场积几分，再根据前进队的积分，可以得到胜一场积几分，然后即可计算出a的值；
（2）根据（1）中得到胜场积分和负场积分，可以得到相应的二元一次方程，再根据m+n＝14，可以转化为一元一次方程，从而可以得到m和n的值．
【解析】（1）由钢铁队可知，负一场积14÷14＝1（分），
由前进队可知，胜一场积（24﹣4×1）÷10＝2（分），
则a＝4×2+10×1＝18，
即a的值是18；
（2）2m+n＝22，
则n＝22﹣2m，
又∵m+n＝14，
∴n＝14﹣m，
∴22﹣2m＝14﹣m，
解得，m＝8，
∴n＝6，
故答案为：8，6．
【变式6.1】（2019秋?越秀区期末）某电视台组织知识竞赛，共设30道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
28
2
108
B
26
4
96
C
24
6
84
（1）每答对1题得多少分？
（2）参赛者D得54分，他答对了几道题？
【分析】（1）设答对一道题得x分，则答错一道题得（54﹣14x）分，根据参赛者A，B答对题目数及得分情况，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出答错一题得﹣2分，设参赛者D答对了m道题，则答错（30﹣m）道题，根据参赛者D得54分，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设答对一道题得x分，则答错一道题得（54﹣14x）分，
依题意，得：26x+4（54﹣14x）＝96，
解得：x＝4．
∴54﹣14x＝﹣2．
答：每答对1题得4分．
（2）由（1）可得，答错一道题得54﹣14x＝﹣2（分）．
设参赛者D答对了m道题，则答错（30﹣m）道题，
依题意，得：4m﹣2（30﹣m）＝54，
解得：m＝19．
答：参赛者D答对了19道题．
【变式6.2】（2019秋?金牛区期末）2019年11月，我区组织了一次职工篮球联赛，比赛分初赛阶段和决赛阶段，在初赛阶段中，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，输一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格．
（1）若乙队初赛获得4场胜利，问乙队是否有资格参加决赛？请说明理由．
（2）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
【分析】（1）用胜的场数×胜场积分+负的场数×负场积分列式计算可得；
（2）设甲队初赛阶段胜x场，则负了（10﹣x）场，根据以上数量关系列出方程，解之可得．
【解析】（1）没有资格参加决赛．因为积分为4×2+（10﹣4）×1＝14＜15．
（2）设甲队初赛阶段胜x场，则负了（10﹣x）场，
由题意，得：2x+1×（10﹣x）＝18，
解得：x＝8，
所以，10﹣x＝10﹣8＝2，
答：甲队初赛阶段胜8场，负2场．
【变式6.3】（2019秋?东湖区期末）12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中2名参赛学生的得分情况．
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
17
3
79
（1）参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？
（2）参赛学生D说他可以得88分，你认为可能吗？为什么？
【分析】（1）设参赛学生C答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝72分建立方程求出其解即可；
（2）假设他得88分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝88分建立方程求出其解即可．
【解析】根据表格得出答对一题得5分，再算出错一题扣2分，
（1）设参赛学生C答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得，
5x﹣2（20﹣x）＝72，
解得：x＝16，
20﹣x＝20﹣16＝4．
答：参赛学生C答对了16道题，答错了4道题；
（2）假设他得88分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意，得，
5y﹣2（20﹣y）＝88，
解得：y，
∵y为整数，
∴参赛学生D说他可以得88分，是不可能的．
【考点7】一元一次方程的应用——数字问题
【例7】（2020秋?大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．
【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10×2x+x）中即可求出结论．
【解析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），
依题意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，
解得：x＝3，
∴2x＝6，
∴10×2x+x＝63．
答：这个两位数为63．
【变式7.1】（2020秋?崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：
（1）它的千位数字为2；
（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．
【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决．
【解析】设原来数字为x，
2x﹣1478＝（x﹣2000）×10+2
解得，x＝2315
答：小明的考场号是2315．
【变式7.2】（2019秋?福田区期末）一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x：
（1）原三位数可表示为　102x　，新三位数可表示为　201x　；
（2）列方程求解原三位数．
【分析】（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，根据三位数＝百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；
（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可．
【解析】（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，
又∵十位数字是0，
∴原三位数可表示为100x+2x＝102x．
∵新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，十位数字是0，
∴新三位数可表示为100?2x+x＝201x．
故答案为102x，201x；
（2）由题意，得201x＝2?102x﹣9，
解得x＝3．
则102×3＝306．
答：原三位数为306．
【变式7.3】（2020秋?浦城县期末）一个两位数的十位数字和个位数字之和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调之后组成的两位数．求这个两位数．
【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7﹣x，根据题意列出方程，求出这个两位数．
【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为7﹣x，
由题意列方程得，10x+7﹣x+45＝10（7﹣x）+x，
解得x＝1，
∴7﹣x＝7﹣1＝6，
∴这个两位数为16．
【考点8】一元一次方程的应用——年龄问题
【例8】（2020春?蓬溪县期末）今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄．
【分析】设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是x岁，根据12年之后小李的年龄变成爷爷的年龄三分之一，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是x岁，
依题意，得：x+12（x+12），
解得：x＝60．
答：爷爷今年60岁．
【变式8.1】（2019秋?北京期末）今年，小楠和哥哥的年龄之和是21岁，小楠的年龄只有哥哥的一半，小楠和哥哥各多少岁？（用方程解）
【分析】首先根据题意，设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为x岁，然后根据：哥哥的年龄+小楠的年龄＝21，列出方程，求出x的值是多少，再用哥哥的年龄减去14，求出小楠的年龄即可．
【解析】设哥哥的年龄为x岁，则小楠的年龄为x岁，
则xx＝21，
解得x＝14．
21﹣14＝7（岁）
答：今年小楠7岁，哥哥14岁．
【变式8.2】（2019秋?延边州期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：
（1）丢番图的寿命；
（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；
（3）儿子死时丢番图的年龄．
【分析】设丢番图的寿命为x岁，则根据题中的描述他的年龄x的童年+生命的xx+5年+儿子的年龄+4年，可列出方程，即可求解．
【解析】设丢番图的寿命为x岁，
由题意得：xxx+5x+4＝x，
解得：x＝84，
而848484+5＝38，即他38岁时有了儿子．
他儿子活了x＝42岁．
84﹣4＝80岁．
答：丢番图的寿命是84岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是38；儿子死时丢番图的年龄是80岁．
【变式8.3】（2018秋?泰宁县期末）儿子12岁那年，父亲的年龄是37岁．
（1）经过　13　年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍．
（2）能否算出几年后父亲年龄是儿子年龄的6倍？如果能，请算出结果；如果不能请说明理由．
【分析】（1）设经过x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，根据题意列出方程，解方程得到答案；
（2）设经过y年后父亲的年龄是儿子年龄的6倍，列方程求出y，判断即可．
【解析】（1）设经过x年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，
由题意得，37+x＝2（12+x）
解得，x＝13，
答：经过13年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，
故答案为：13；
（2）设经过y年后父亲的年龄是儿子年龄的6倍，
由题意得，37+y＝6（12+y）
解得，y＝﹣7，
y＝﹣7不合题意，
∴不能算出几年后父亲年龄是儿子年龄的6倍．
【考点9】一元一次方程的应用——日历问题
【例9】（2020秋?和平区期中）将连续奇数1，3，5，7，9…排成如图所示的数表．
（1）根据规律，第3行第2列的数是35，那么第9行第5列的数是　137　；
（2）如图，用长方形框在数表中任意框出九个数，将长方形框上下左右移动，可框住另外九个数．
①这九个数之和是中间数的　9　倍；
②若这九个数中，最小的数是171，则最大的数是　207　；
③若用长方形框出的的九个数之和是2043，则长方形框中最大的数是　245　．
【分析】（1）根据图示得到，每行8个奇数，第3行第2列的数35＝8×2×（3﹣1）﹣1+2×2列，据此可以公式可算8×2×（9﹣1）﹣1+2×5＝137；
（2）①设中间数是x，则这九个数分别是：x﹣18，x﹣16，x﹣14，x﹣2，x，x+2，x+14，x+16，x+18，
则9个数的和为x﹣18+x﹣16+x﹣14+x﹣2+x+x+2+x+14+x+16+x+18＝9x；
②最小值为x﹣18，则x﹣18＝171，x＝189，最大的数x+18＝207；
③最大值为x+18，则9x＝2043，x＝227，x+18＝245．
【解析】（1）依题意得，8
2
（9﹣1）﹣1+2
5＝137，
故答案是：137；
（2）①依题意设中间数是x，则这九个数分别是：x﹣18，x﹣16，x﹣14，x﹣2，x，x+2，x+14，x+16，x+18，
这9个数的和是：x﹣18+x﹣16+x﹣14+x﹣2+x+x+2+x+14+x+16+x+18＝9x，
故答案是：9；
②由①得最小值为x﹣18，
则x﹣18＝171，
x＝189，
最大的数x+18＝207，
故答案是：207；
③由①设中间数是x，则最大的数x+18，
则9x＝2043，
x＝227，
x+18＝245
则长方形框中最大的数是245，
故答案是：245．
本题考查了一元一次方程的应用．此题注意结合数的排列规律发现左右和上下相邻两个数之间的大小关系，从而完成解答．
【变式9.1】（2020秋?江阴市期中）将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）．
（1）若将十字框上下左右平移，使得十字框正好框住数列中的5个数．小明发现这五个数的和总等于中间数的整数倍．若设中间的数为a，则框住的5个数字之和＝　5a　（用a的代数式表示）．
（2）在（1）的条件下，是否存在a的值，使得该十字框框住的5个数之和恰好等于2020？若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，十字框框住的5个数之和能等于415吗？若能，分别写出十字框框住的这5个数；若不能，请说明理由．
【分析】（1）从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，这5个数的和可用a来表示；
（2）代入2020看看求出的结果是奇数就可以，不是奇数就不可以．
（3）代入415看看求出的结果是整数就可以，再考虑中间数的位置，即可得出答案．
【解析】（1）从表格知道中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，
a+（a﹣2）+（a+2）+（a﹣12）+（a+12）＝5a．
故答案为：5a；
（2）依题意有5a＝2020，
解得a＝404，
∵404是偶数，
∴不存在；
（3）依题意有5a＝415，
解得a＝83，
∵83位于一行的最右边，
∴十字框框住的5个数之和不能等于415．
【变式9.2】（2019秋?平谷区期末）如图是2019年11月份的日历，用一个正方形任意圈住4个数（如图），仔细观察这4个数，不改变正方形的大小，任意移动方框的位置，找出规律．
（1）若把第一行第一列的那个数表示为a，其余各数分别用含a的代数式表示，请把表格补充完整
a
　a+1　
　a+7　
a+8
（2）求这四个数的和（用含a的代数式表示，要求合并同类项化简）
（3）小明妈妈的生日快到了，小明想送妈妈一个生日礼物，可是却不知道妈妈的生日是几号，于是就问妈妈，可妈妈说我的生日那天在本月日历上横竖列相邻的四个数字的和68的四个数字里面，并且这四个数中最大的数字那天就是我的生日．请你帮助小明确定妈妈的生日．
【分析】（1）利用已知数字分布进而得出答案；
（2）表示出各数进而得出关系式；
（3）利用（2）中所求进而得出a的值，求出答案．
【解析】（1）
a
a+1
a+7
a+8
故答案为：a+1，a+7；
（2）由题意可得：a+a+1+a+7+a+8＝4a+16；
（3）由题意可得：4a+16＝68，
解得：a＝13，
∴a+8＝21，
答：小明妈妈的生日是11月21日．
【变式9.3】（2019秋?广饶县期末）如图是2019年10月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹“字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4．
（1）直接写出a1＝　a﹣8　，a3＝　a+1　，（用含a的式子表示）；a4﹣a2＝　﹣5　；
（2）在移动“凹”字型框过程中，小明说被框住的5个数字之和可能为106，小敏说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由；
（3）若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为　21，23或29　．
【分析】（1）由5个数的位置关系，可用含a的代数式表示出a1，a2，a，a3，a4，再将其代入a4﹣a2中即可求出结论；
（2）令由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，结合图形可得出结论；
（3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b＝2a+1可确定b值．
【解析】（1）∵a1＝a﹣8，a2＝a﹣1，a3＝a+1，a4＝a﹣6，
∴a4﹣a2＝a﹣6﹣（a﹣1）＝﹣5．
故答案为：a﹣8；a+1；﹣5．
（2）小明：（a﹣8）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a﹣6）＝5a﹣14＝106，
解得：a＝24；
小敏：（a﹣8）+（a﹣1）+a+（a+1）+（a﹣6）＝5a﹣14＝90，
解得：a＝20.8（不符合题意，舍去）．
∴小明的说法对，小敏的说法不对．
（3）a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，
∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61．
∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b＝2a+1，
∴b的值可以为：21，23，29．
故答案为：21，23或29．
【考点10】一元一次方程的应用——二元关联问题
【例10】（2020春?市中区校级月考）肖坝社区惠民水果店第一次用615元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的重量比乙种苹果重量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/千克）
5
8
售价（元/千克）
10
15
（1）惠民水果店第一次购进的甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）惠民水果店第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果按原价销售，乙种苹果打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
【分析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，根据总利润＝每千克的利润×销售数量（购进数量），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设惠民水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，
依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，
解得：x＝30，
∴2x+15＝75．
答：惠民水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．
（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，
依题意，得：（10﹣5）×75+（158）×30×3＝735，
解得：y＝8．
答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．
【变式10.1】（2020?泰州二模）某市水果批发欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：
运输工具
途中平均速度（千米/时）
运费（元/千米）
装卸费用（元）
火车
100
15
2000
汽车
80
20
900
（1）如果汽车的总支出费用比火车费用多1100元，你知道本市与A市之间的路程是多少千米吗？请你列方程解答．（总支出包含损耗、运费和装卸费用）
（2）如果A市与B市之间的距离为S千米，你若是A市水果批发部门的经理，要想将这种水果运往B市销售，试分析以上两种运输工具中选择哪种运输方式比较合算呢？
【分析】（1）设本市与A市之间的路程是x千米，由汽车的总支出费用比火车费用多1100元，列出方程可求解；
（2）分别求出火车和汽车的运费，求出两者运费相等时，S的值，即可求解．
【解析】（1）设本市与A市之间的路程是x千米，
由题意可得：，
解得x＝400，
答：本市与A市之间的路程是400千米，
（2）火车的运输费用为200+15S+2000＝17S+2000，
汽车运输的费用为20S+900＝22.5S+900，
当17S+2000＝22.5S+900，
解得S＝200，
答：当S＞200时，选择火车运输，
当S＜200时，选择汽车运输，
当S＝200时，两种方式都一样．
【变式10.2】（2019秋?房山区期末）列方程解应用题：
为参加学校运动会，七年级一班和七年级二班准备购买运动服．下面是某服装厂给出的运动服价格表：
购买服装数量（套）
1～35
36～60
61及61以上
每套服装价格（元）
60
50
40
已知两班共有学生67人（每班学生人数都不超过60人），如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付3650元．问七年级一班和七年级二班各有学生多少人？
【分析】先求出两班人数均不超过35人时购买服装所需总费用，比较后可得出一定有一个班的人数大于35人，设大于35人的班有学生x人，则另一班有学生（67﹣x）人，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】∵67×60＝4020（元），4020＞3650，
∴一定有一个班的人数大于35人．
设大于35人的班有学生x人，则另一班有学生（67﹣x）人，
依题意，得：50x+60（67﹣x）＝3650，
解得：x＝37，
∴67﹣x＝30．
答：七年级一班有37人，七年级二班有30人；或者七年级一班有30人，七年级二班有37人．
【变式10.3】（2019秋?彭水县期末）为了丰富老年人的晚年生活，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位退休职工共102人，其中乙单位人数少于50人，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如表：
数量（张）
1～50
51～100
101张及以上
单价（元/张）
60
50
40
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．
（1）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
（2）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【分析】（1）设甲单位有x名退休职工准备参加游玩，则乙单位有（102﹣x）名退休职工准备参加游玩，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）结合（1）的结论可得出甲单位参加游玩的职工数，根据该风景区的门票价格表，可找出4种购票方案，利用总价＝单价×数量可求出4种购票方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设甲单位有x名退休职工准备参加游玩，则乙单位有（102﹣x）名退休职工准备参加游玩，
依题意，得：50x+60（102﹣x）＝5500，
解得：x＝62，
∴102﹣x＝40．
答：甲单位有62名退休职工准备参加游玩，乙单位有40名退休职工准备参加游玩．
（2）∵62﹣12＝50（名），50+40＝90（名），
∴有4种购买方案，方案1：甲、乙两单位分开购票，甲单位购买50张门票、乙单位购买40张门票；方案2：甲、乙两单位分开购票，甲单位购买51张门票、乙单位购买40张门票；方案3：甲、乙两单位联合购票，购买90张门票；方案4：甲、乙两单位联合购票，购买101张门票．
方案1所需费用为60×50+60×40＝5400（元）；
方案2所需费用为50×51+60×40＝4950（元）；
方案3所需费用为50×90＝4500（元）；
方案4所需费用为40×101＝4040（元）．
∵5400＞4950＞4500＞4040，
∴甲、乙两单位联合购票，购买101张门票最省钱．
【考点11】一元一次方程的应用——盈亏问题
【例11】（2020?如皋市一模）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出甲、乙两件衣服，其中甲件盈利25%，乙件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？说明理由．
【分析】已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏．
【解析】设甲件衣服的进价是x元，依题意有
x+25%x＝60，
解得：x＝48，
设乙件衣服的进价为y元，依题意有
y﹣25%y＝60，
解得：y＝80．
这两件衣服的进价是x+y＝128元，而两件衣服的售价为120元．
120﹣128＝﹣8（元）．
故这两件衣服亏损8元．
【变式11.1】（2020春?硚口区期末）某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中要有盈利，则亏本的那双皮鞋的进价必须低于　150　元．
【分析】设亏本的那双皮鞋的进价为x元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1﹣10%）x元，盈利的那双皮鞋的售价为[200﹣（1﹣10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为元，根据商贩在这次销售中要有盈利，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解析】设亏本的那双皮鞋的进价为x元，则亏本的那双皮鞋的售价为（1﹣10%）x元，盈利的那双皮鞋的售价为[200﹣（1﹣10%）x]元，盈利的那双皮鞋的进价为元，
依题意，得：（1﹣10%）x﹣x+[200﹣（1﹣10%）x]0，
解得：x＜150．
故答案为：150．
【变式11.2】（2019秋?青山区期末）双11电商节，某商店把某种商品按进价加20%作为定价，按定价的1.5倍标价再8折出售，最终售出10件，总营业额为720元，则这次生意的盈亏情况为　盈利220　元．
【分析】“有一个商店把某件商品按进价加20%作为定价”中可设未知进价为x，即可得：定价＝x（1+20%）．“按定价的1.5倍标价再8折出售”中又可得根据题意可得关于x的方程式，求解可得现价，比较可得答案．
【解析】设进价为x，
根据题意得，x?（1+20%）×1.5×80%×10＝720，
解得：x＝50；
∵720÷10＝72，
∴每件盈利72﹣50＝22（元），
故这次生意共盈利22×10＝220（元）．
故答案为：盈利220．
【变式11.3】（2018秋?厦门期末）2019年某商场于元旦之际开展优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，其中甲种商品原价400元．
（1）请问乙种商品原价是多少元？
（2）在本次买卖中，甲种商品最终亏损m%，乙种商品最终盈利2m%，但商场不盈不亏，请问甲种商品的成本是多少元？亏损多少元？
【分析】（1）设乙商品原价为x元，根据购买甲、乙两种商品，分别抽到六折（按原价的60%支付）和八折（按原价的80%支付），共支付408元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设甲商品的成本是y元，则乙商品的成本是（408﹣y）元，根据甲、乙商品的盈亏情况，即可得到m%y＝2m%（408﹣y），通过解方程求得答案．
【解析】（1）设乙商品原价为x元，
由题意，得
400×0.6+0.8x＝408
解得：x＝210
答：原价为210元；
（2）设甲商品的成本是y元，则乙商品的成本是（408﹣y）元．
由题意，得
m%y＝2m%（408﹣y）
解得：y＝272
272﹣240＝32（元）
答：甲商品的成本是272元，亏损32元．
【变式11.4】（2019秋?番禺区期末）（1）在番禺某中学举行的”弘扬祠堂文化，凝聚乡情”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以求出两件衣服的进价，然后与售价比较大小即可解答本题．
【解析】（1）设八年级收到的征文有x篇，
（2）+x＝118，
解得，x＝80，
∴2＝38，
答：七年级收到的征文有38篇；
（2）设盈利那件衣服的进价为a元，亏损那件衣服的进价为b元，
a（1+20%）＝480，
解得，a＝400，
b（1﹣20%）＝480，
解得，b＝600，
∵400+600＞480×2，
∴卖这两件衣服亏损．
（2）一商店在某时间以每件480元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，卖这两件衣服是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
【考点12】一元一次方程的应用——销售问题
【例12】（2020?两江新区模拟）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，4月8日抖音发起了“湖北重启，抖来助力﹣﹣抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品．已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，其中周黑鸭的销量是热干面的3.5倍．
（1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动．疫情前，疫情期间售价均为100元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以6折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为60元一份的热干面（一份里面有6包热干面），以5折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少2a%，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了680万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少a%，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了8a%；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%，求a的值．
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，根据当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售18万份，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入3.5x中即可求出结论；
（2）根据总日销售额＝销售单价×日销售数量结合疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少5a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）设当天的直播活动中销售了x万份热干面，则销售了3.5x万份周黑鸭，
依题意，得：x+3.5x＝18，
解得：x＝4，
∴3.5x＝14．
答：当天的直播活动中销售了14万份周黑鸭；
（2）依题意，得：[100×14×（1﹣2a%）﹣680]+60×4×（1a%）×（1﹣8a%）＝（100×0.6×14+60×0.5×4）×（1﹣5a%），
整理，得：4a2﹣45a＝0，
解得：a1，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为．
【变式12.1】（2020?山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原?乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．
【分析】设该电饭煲的进价为x元，则售价为80%×（1+50%）x元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．
【解析】设该电饭煲的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，售价为80%×（1+50%）x元，
根据题意，得80%×（1+50%）x﹣128＝568，
解得x＝580．
答：该电饭煲的进价为580元．
【变式12.2】（2020?安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．
（1）设2019年4月份的销售总额为a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
时间
销售总额（元）
线上销售额（元）
线下销售额（元）
2019年4月份
a
x
a﹣x
2020年4月份
1.1a
1.43x
　1.04（a﹣x）　
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a，x的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；
（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入中即可求出结论．
【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．
故答案为：1.04（a﹣x）．
（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），
解得：xa，
∴0.2．
答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．
【变式12.3】（2020?肥东县二模）小王离岗创业，销售某品牌电脑，1月份的销售量为100台，每台电脑售价相同，2月份的销售量比1月份增加10%，每台售价比1月份降低了400元，2月份与1月份的销售总额相同，求每台电脑1月份的售价．
【分析】设1月份每台电脑售价为x元，则2月份每台电脑的售价为（x﹣400）元，依据“2月份的销售量比1月份增加10%，每台电脑的售价比1月份降低了400元．2月份与1月份的销售总额相同”列出方程并解答．
【解析】设每台电脑1月份的售价为x元，
根据题意得，100（1+10%）（x﹣400）＝100x，
解得：x＝4400，
答：每台电脑1月份的售价为4400元．
【变式12.4】（2019秋?渝中区校级期末）“乐天乐地乐巴蜀，巴蜀孩子最幸福”巴蜀中学一年一度的艺术节是孩子们最盼望的节日，不仅有各种精彩的节目表演，还有美淘街各具特色的小店，就像过年一样热闹．初二（1）班的同学们在2018年的美淘街上大放异彩，他们手工编织的小挂件非常受欢迎，当天一共卖出了40件动物挂件与50件植物挂件，其中动物挂件每件售价8元，植物挂件每件售5元．2019年他们打算继续卖手工编织的挂件．与2018年的售价相比，动物挂件的售价不变，优惠如下：买2件，首件全价，第二件半价，不单件销售：植物摆件的单价上调m%．与2018年的销售量相比，动物挂件的销量增加了5m%，植物挂件的销量下降了10件．结果2019年的销售额比2018年的销售额增加了m元，求m的值．
【分析】根据销售额＝销售单价×数量，以及2019年的销售额比2018年的销售额增加了m元列出方程，求解即可．
【解析】根据题意得：40（1+5m%）+5（1+m%）×（50﹣10）＝8×40+5×50+m，
240+12m+200+2m＝320+250+m，
整理得，13m＝130，
解得m＝10．
故m的值为10．
【考点13】一元一次方程的应用——分段计费问题
【例13】（2019秋?厦门期末）某市从2019年1月1日开始实施阶梯电价制，居民生活用电价格方案如下：
档次
月用电量
电价（单位：元/度）
春秋季（3，4，5，9，10，11月）
冬夏季（1，2，6，7，8，12月）
第1档
不超过200度的部分
不超过200度的部分
0.5
第2档
超过200度但不超过350度的部分
超过200度但不超过450度的部分
0.55
第3档
超过350度的部分
超过450度的部分
0.8
例：若某用户2019年6月的用电量为300度，则需交电费为：200×0.5+（300﹣200）×0.55＝155（元）．
（1）若小辰家2019年5月的用电量为400度，则需交电费多少元？
（2）若小辰家2019年8月和9月用电量相同，共交电费660元，问小辰家8月份用多少度电？
【分析】（1）根据400度在第3档列式计算即可得解；
（2）根据第3档的电费求法列方程计算即可得解．
【解析】（1）200×0.5+（350﹣200）×0.55+（400﹣350）×0.8＝222.5（元）．
故需交电费222.5元．
（2）月用电量为200度时，需交电费200×0.5＝100（元），
月用电量为350度时，需交电费200×0.5+（350﹣200）×0.55＝182.5（元），
月用电量为450度时，8月需交电费200×0.5+（450﹣200）×0.55＝237.5（元），9月需交电费200×0.5+（350﹣200）×0.55+（450﹣350）×0.8＝262.5（元），
所以小辰家2019年8月和9月用电量相同，共交电费660元的用电量在第3档．
设小辰家8月份用的用电量为x度，
则237.5+262.5+2（x﹣450）×0.8＝660，
解得x＝550．
答：小辰家8月份用550度电．
【变式13.1】（2019秋?沙坪坝区校级期末）某商场销售A、B两种型号的扫地机器人，A型扫地机器人的销售价为每台1200元，B型扫地机器人的销售价为每台2200元，工资分配方案：每位销售人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为50000元，在销售定额内，得基本工资3000元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资．奖励工资发放比例如表1所示．根据税法规定，全月工资总额不超过5000元不用缴纳个人所得税；超过5000元
的部分为“全月应纳税所得额”（不考虑减免）．表2是缴纳个人所得税税率表．
表1
销售额
奖励工资比例
超过50000元但不超过70000元的部分
5%
超过70000元但不超过100000元的部分
7%
100000元以上的部分
10%
表2
全月应纳税所得额
税率
不超过1500元
3%
超过1500元至4500元部分
10%
超过4500元至9000元部分
20%
…
…
（1）若销售员李某1月缴纳个人所得税后实际得到的工资为7265元，利用表2求1月李某的税前工资；
（2）在（1）问的条件下，销售员李某1月销售A、B两种型号的扫地机器人共65台，销售员李某1月销售A型扫地机器人多少台？
【分析】（1）设1月李某的税前工资为x元，根据销售员李某1月缴纳个人所得税后实际得到的工资为7265元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设销售员李某1月的销售额为y元，根据（1）的结论结合工资总额＝基本工资+奖励工资，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再设销售员李某1月销售A型扫地机器人m台，则销售B型扫地机器人（65﹣m）台，根据销售总额＝销售单价×销售数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）设1月李某的税前工资为x元，
依题意，得：5000+1500×（1﹣3%）+（x﹣5000﹣1500）×（1﹣10%）＝7265，
解得：x＝7400．
答：1月李某的税前工资为7400元．
（2）设销售员李某1月的销售额为y元，
依题意，得：3000+（70000﹣50000）×5%+（100000﹣70000）×7%+（y﹣100000）×10%＝7400，
解得：y＝113000．
设销售员李某1月销售A型扫地机器人m台，则销售B型扫地机器人（65﹣m）台，
依题意，得：1200m+2200（65﹣m）＝113000，
解得：m＝30．
答：销售员李某1月销售A型扫地机器人30台．
【变式13.2】（2020秋?汤阴县期中）为了加强公民的节水意识．合理利用水资源．某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量
单价
不超出6m3的部分
2元/m3
超出6m3不超出10m3的部分
4元/m3
超出10m3的部分
8元/m3
注：水费按每月结算，不足1m3的不收费．
如：若某户居民1月份用水8m3．则应收水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
（1）若该户居民2月份收水费16元．计算该户2月份的用水量；
（2）若该户居民3月份用水12.5m3．则应收水费多少元？
【分析】（1）不超过6m3，单价为2元，超出超出6m3不超出10m3的部分，单价为4元/m3，超出10m3的部分，单价为8元/m3，根据水费＝单价×数量即可求得应收水费；
（2）先根据该户居民3月份收水费16元求得该用户用水量的大致范围，然后设该用户用水xm3，然后根据水费为16元列方程求解即可．
【解析】（1）2×6+4×（10﹣6）＝28＞16，
∴该用户用水量不超过10m3．
设用户用水xm3，根据题意得：12+4（x﹣6）＝16．
解得：x＝7．
答：该用户用水7m3．
（2）应收水费2×6+4×（10﹣6）+8×（12﹣10）＝44（元）．
即应收水费44元．
【变式13.3】（2019秋?涞水县期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，分为普通快车和优享型快车两种．如表是普通快车收费标准：
计费项目
起步价
里程费
时长费
远途费
计费价格
8
2.0元/公里
0.4元/分
1.0元/公里
注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分组成，其中起步价包含里程2公里，时长5分钟；里程＞2公里的部分按计价标准收取里程费；时长＞5分钟的部分按计价标准收取时长费；远途费的收取方式为：行车15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1.0元．
（1）张敏乘坐滴滴普通快车，行车里程7公里，行车时间15分钟，求张敏下车时付多少车费？
（2）王红乘坐滴滴普通快车，行车里程22公里，下车时所付车费63.4元，则这辆滴滴快车的行车时间为多少分钟？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出张敏下车时付多少车费；
（2）根据题意，可以设这辆滴滴快车的行车时间为x分钟，然后即可列出关于x的方程，从而可以解答本题．
【解析】（1）由题意可得，
8+（7﹣2）×2+（15﹣5）×0.4＝22（元），
答：张敏下车时付22元车费；
（2）设这辆滴滴快车的行车时间为x分钟，
8+（22﹣2）×2+（x﹣5）×0.4+（22﹣15）×1＝63.4，
解得，x＝26
答：这辆滴滴快车的行车时间为26分钟．
【考点14】一元一次方程的应用——方案设计问题
【例14】（2020春?肇东市期末）公司推出两种手机付费方式：甲种方式不交月租费，每通话1分钟付费0.15元；乙种方式需交18元的月租费，每通话1分钟付费0.10元，两种方式不足1分钟均按1分钟计算．
（1）如果一个月通话100分钟，甲种方式应付话费多少元？用乙种方式应付话费多少元？
（2）求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同？（列方程解）
【分析】（1）甲：0.15元/分钟×时间；乙：18+0.10元/分×时间；
（2）根据题意可得方程18+0.10x＝0.15x．
【解析】（1）甲：0.15×100＝15（元）；
乙：18+0.10×100＝28（元）；
答：甲种方式付话费15元，乙种方式付话费28元．
（2）设一个月通话x分钟时两种方式的费用相同，
由题意得：18+0.10x＝0.15x，
解得x＝360．
答：一个月通话360分钟时两种方式的费用相同．
【变式14.1】（2020秋?南岗区校级月考）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．
（1）求这个小区共有多少间房间？
（2）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？
（3）经开发商研究制定如下方案：
方案一：由甲工程队单独完成；
方案二：由乙工程队单独完成；
方案三：按（2）问方式完成：
请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．
【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程，再解即可；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，根据两队共粉刷9600间房间列出方程，再解即可；
（3）分别计算出三种方案的花费和时间，然后进行比较即可．
【解析】（1）设乙工程队要刷x天，由题意得：
240x＝160（x+20），
解得：x＝40，
240×40＝9600（间），
答：这个小区共有9600间房间；
（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，由题意得：
160y+240y+240（1+25%）×（2y+4﹣y）＝9600，
解得：y＝12，
2y+4＝2×12+4＝28（天），
答：乙工程队共粉刷28天；
（3）方案一：由甲工程队单独完成，
时间：40+20＝60（天），
60×1600＝96000（元）；
方案二：由乙工程队单独完成需要40天，
费用：40×2600＝104000（元）；
方案三：按（2）问方式完成，
时间：28天，
费用：12×（1600+2600）+（28﹣12）×2600＝92000（元），
∵28＜40＜60，且92000＜96000＜104000，
∴方案三最合适，
答：选择方案三既省时又省钱的粉刷方案．
【变式14.2】（2019秋?道外区期末）有A、B两家复印社，A4纸复印计费方式如表：
A4纸复印计费方式
A复印社
复印页数不超过20页时，每页0.12元；复印页数超过20
页时，超过部分每页收费0.09元．
B复印社
不论复印多少页，每页收费0.1元．
（1）若要用A4纸复印30页，选哪家复印社划算？能便宜多少钱？
（2）用A4纸复印多少页时，两家复印社收费相同？
【分析】（1）根据题意得出两种复印社的代数式解答即可；
（2）复印x页时两家复印社收费相同．根据题意列出方程解答即可．
【解析】（1）A复印社：20×0.12+0.09×（30﹣20）＝3.3（元），
B复印社：30×0.1＝3（元），
3＜3.3，3.3﹣3＝0.3（元），
答：选B复印社划算，能便宜0.3元．
（2）设：复印x页时两家复印社收费相同．
可得：20×0.12+0.09×（x﹣20）＝0.1x，
解得：x＝60，
答：复印60页时两家复印社收费相同．
【变式14.3】（2020春?丽水期末）某班级想购买若干个篮球和排球，某文具店篮球和排球的单价之和为35元，篮球的单价比排球的单价的2倍少10元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少元；
（2）该文具店有两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．方案一：所有商品打7.5折销售；方案二：全场购物每满100元，返购物券30元（不足100元不返券），购物券全场通用，若该班级需要购买15个篮球和10个排球，则哪一种方案更省钱，并说明理由．
【分析】（1）设排球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣10）元，根据篮球和排球的单价之和为35元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）分别求出选择方案一所需费用及选择方案二所需最低费用，比较后即可得出结论．
【解析】（1）设排球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣10）元，
依题意，得：x+2x﹣10＝35，
解得：x＝15，
∴2x﹣10＝20．
答：篮球的单价是20元，排球的单价是15元．
（2）选择方案一更省钱，理由如下：
选择方案一所需费用为（20×15+15×10）337.5（元）；
选择方案二所需最低费用为20×15+15×1030＝360（元）．
∵337.5＜360，
∴选择方案一更省钱．
【变式14.4】（2020春?南安市期中）（用列方程或方程组解答本题）元旦期间某商店进行促销活动，活动方式有如下两种：
方式一：购物每满200元减60元；
方式二：标价不超过400元的商品，打8折：标价超过400元的商品，不超过400元的部分打8折，超出400元的部分打5折．
设某一商品的标价为x元．
（1）当x＝300元，则按方式一应该付的钱为　240　元；则按方式二应该付的钱为　240　元；
（2）当400＜x＜600时，x取何值两种方式的实际支出的费用相同？
【分析】（1）根据两种促销活动方式分别列出算式式进行解答即可；
（2）当400＜x＜600时，根据两种方式实际支出的费用相同列出方程进行解答即可．
【解析】（1）当x＝300元，
按方式一应该付的钱为：300﹣60＝240（元），
按方式二应该付的钱为：300×0.8＝240（元）．
故答案为：240；240；
（2）当400＜x＜600时，
400×0.8+0.5（x﹣400）＝x﹣120，
解得x＝480．
故当400＜x＜600时，x取480时，两种方式的优惠相同．
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