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专题178带电粒子在无边界磁场中做圆周运动的计算
u试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．科研人员在检测某种物质时，发现该物质发出的射线在磁场中分裂为多束（如图所示），若它们射入磁场时的速度相同，则下列说法正确的是（　　）
A．该物质发出的所有射线均带有电荷
B．a射线的粒子比b射线的粒子质量大
C．a射线的粒子比b射线的粒子带电量小
D．a射线的粒子比b射线粒子的质荷比小
【答案】D
【详解】
A．c射线保持直线运动。说明不受洛伦兹力，因此c射线不带电，故A错误；
BCD．由得粒子质荷比为
a射线的粒子比b射线的粒子轨迹半径小，得a射线的粒子比b射线的粒子的质荷比小，但质量、电荷量大小无法比较，故BC错误，D正确。
故选D。
2．匀强磁场垂直纸面向里，在磁场中某点同时释放两个带电粒子a和b，速度大小和方向均相同，运动轨迹如图所示。不计带电粒子的重力，下列判断正确的是（　　）
A．粒子a带正电，粒子b带负电
B．粒子a的比荷（）较大
C．粒子b的运动周期较小
D．粒子b的向心加速度较小
【答案】C
【详解】
A．带电粒子a做顺时针方向的圆周运动，带电粒子b做逆时针方向的圆周运动，根据左手定则判断可知，粒子a带负电，粒子b带正电，故A错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力可得
整理得
由于带电粒子a做圆周运动的半径较大，比荷（）较小，故B错误；
C．根据可知粒子b的运动周期较小，故C正确；
D．由可知粒子b的向心加速度较大，故D错误。
故选C。
3．带电粒子以初速度v0从a点垂直y轴进入匀强磁场，如图所示，运动中粒子经过b点，Oa＝Ob。若撤去磁场加一个与y轴平行的匀强电场，仍以v0从a点垂直y轴进入电场，粒子仍能过b点，粒子重力不计，那么电场强度E与磁感应强度B之比为（　　）
A．v0
B．
C．2v0
D．
【答案】C
【详解】
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O为圆心，故有
Oa＝Ob＝
带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故有
Ob＝v0t，Oa＝t2
联立以上各式，解得＝2v0。
故选C。
4．如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直水平面向上，两带电小球用长为l的绝缘细线相连，置于光滑水平面上，把A小球固定，B小球逆时针绕其做圆周运动，已知两小球质量均为m，带电量均为，静电力常量为k，若B小球的运动速率从零开始逐渐增大，则细线拉力的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
绳子的拉力、库仑力和洛伦兹力的合力提供向心力，由向心力公式得
变形得，细线拉力
由数学知识可知，细线拉力的最小值
故D正确，ABC错误。
故选D。
5．如图所示，
两个初速度大小相同的同种离子a和b，
从O点沿垂直于磁场方向进入匀强磁场，
最后打到屏P上。不计重力，
下列说法中正确的是（　　）
A．a、b均带正电
B．a在磁场中运动的轨道半径比b的长
C．a在磁场中运动的时间比b长
D．a在磁场中飞行的路程比b短
【答案】C
【详解】
AB．由于两个同种离子a和b的初速度大小相同，射入磁场后打到屏P上，轨迹如图
则根据左手定则可以判断出这两个粒子都是带负电的；a在磁场中运动的轨道半径与b的半径相同，故AB错误；
CD．由图可以看出，离子a的偏转角度比b大，而两种离子在磁场中的运行周期是相同的，故a在磁场中飞行的时间比b的长，a在磁场中飞行的路程比b的长，故C正确，D错误。
故选C。
【点睛】
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题，首先要根据题意，画出粒子的运动轨迹，正确确定圆心和半径，再利用洛伦兹力提供带电粒子做圆周运动的向心力即
得
找到几何图形与半径的关系，进而将有关物理量与涉及的图形相联系；要求带电粒子在磁场中的运动时间，则要找到粒子转过的圆心角，根据
计算。
6．在直角坐标系xOy的第一象限内，存在一垂直于xOy平面、磁感应强度大小为2T的匀强磁场，如图所示，一带电粒子(重力不计)在x轴上的A点沿着y轴正方向以大小为2m/s的速度射入第一象限，并从y轴上的B点穿出．已知A、B两点的坐标分别为(8m，0)，(0，4m)，则该粒子的比荷为
A．0.1C/kg
B．0.2C/kg
C．0.3C/kg
D．0.4C/kg
【答案】B
【详解】
粒子运动轨迹如图所示：
由几何知识得：
解得：r=5m，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：
A.0.1C/kg与计算结果不符，故A错误．
B.
0.2C/kg与计算结果相符，故B正确．
C.0.3C/kg与计算结果不符，故C错误．
D.0.4C/kg与计算结果不符，故D错误．
7．平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。则粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
、
粒子进入磁场做顺时针方向的匀速圆周运动，轨迹如图所示，
根据洛伦兹力提供向心力，有
解得
根据轨迹图知
，
∠OPQ=60°
则粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为
，
则D正确，ABC错误。
故选D。
8．两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较弱磁场区域进入到较强磁场区域后，粒子的（
）
A．轨道半径减小，运动周期减小
B．轨道半径增大，运动周期增大
C．轨道半径减小，运动周期增大
D．轨道半径增大，运动周期减小
【答案】A
【解析】
根据洛伦兹力充当向心力可知，Bqv=，解得：
；故从较弱的磁场区域进入较强的磁场区域后粒子的轨道半径减小；由于洛伦兹力不做功，因此粒子运动的速度大小不变，由v=Rω可知，因半径减小，故角速度增大，周期减小，故A正确，BCD错误．故选A．
9．如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负电子分别以相同速度沿与x轴成30°角从原点垂直射入磁场，则正、负电子在磁场中运动时间之比为（　　）
A．2：1
B．1：2
C．1：
D．1：15
【答案】A
【详解】
电子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，轨迹如图所示
可得
再有，联立上式可得
由于两个电子带电量相同，可得两个电子的运动周期相等；
正电子从y轴上射出磁场时，根据几何知识可得，速度与y轴的夹角为，其轨迹对应的圆心角为，则正电子在磁场中运动时间为
同理可知，负电子以入射时，从x轴离开磁场时，速度方向与x轴的夹角为，则轨迹对应的圆心角为，则负电子在磁场中运动时间为
所以正电子与负电子在磁场中运动时间之比为
故选A。
10．如图所示，一粒子发射源P能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电粒子，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），不考虑粒子间的相互作用和粒子重力，已知粒子做圆周运动的半径大小为d，纸面内另一点A距P的距离恰为d，则（　　）
A．磁感应强度的大小为
B．粒子在磁场中均沿顺时针方向做圆周运动
C．粒子从P出发至少经过时间到达A点
D．同一时刻发射出的带电粒子到达A点的时间差为
【答案】D
【详解】
A．根据
则
选项A错误；
B．由左手定则可知，粒子在磁场中均沿逆时针方向做圆周运动，选项B错误；
C．能经过A点且用时间最短的粒子在磁场中转过的角度为60°，则用时间
选项C错误；
D．能经过A点且用时间最长的粒子在磁场中转过的角度为300°，则用时间
则同一时刻发射出的带电粒子到达A点的时间差为
选项D正确。
故选D。
11．如图所示，边长为L的正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从a点沿ae方向射入磁场区域，从d点离开磁场，不计重力，粒子（　　）
A．圆周运动的半径为L
B．在磁场中的速率为
C．圆周运动的圆心角是
D．在磁场中的运动时间为
【答案】D
【详解】
AC．粒子在磁场中做圆周运动的运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子轨道半径
故AC错误；
B．粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿你第二定律得
解得
故B错误；
D．粒子做圆周运动的周期
粒子在磁场中运动的时间
故D正确。
故选D。
12．在如图所示垂直于纸面的匀强磁场中，有一个电子源S，它向纸面的各个方向发射等速率的电子，已知电子质量为m、电荷量为e，纸面上S、P两点间距为L。则（　　）
A．能击中点的电子的最小速率为
B．能击中点的电子的最大速率为
C．能击中点的电子的最小速率为
D．只要磁场足够大，无论电子速率多大，总有电子可以击中点
【答案】A
【详解】
要使电子能击中P点，则电子有最小运动半径R，且
因此对应有最小速率，由
得电子的最小速率
而要击中P点电子的速率无极大值，则选项A正确，BCD错误；
故选A。
13．如图所示，在一挡板MN的上方，存在磁感应强度为B的矩形匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。MN边上O点处放置了发生光电效应的极限频率为的金属钠，现用频率为2的光去照射钠，已知电子质量为m、电荷量为e，普朗克常量为h，不计电子的重力和电子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则没有电子从磁场逸出的矩形磁场的最小面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
相同速度的粒子在磁场中的转动半径相同，则根据带电粒子的进入磁场的方向可确定圆心的位置，则可得出所有粒子能到达的最远位置，即可确定出粒子的范围。
【详解】
根据爱因斯坦光电效应方程可知：光电子的最大初动能
所以光电子进入磁场的最大速度
光电子在磁场中的运动最大半径
所有粒子在磁场中最大半径相同，由O点沿MN射入的光电子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，光电子转动的轨迹圆可认为是以2R为半径转动，如图所示
由几何图形可知，没有电子从磁场逸出的最小矩形磁场的面积
故选B。
【点睛】
确定带电粒子轨迹的范围一般应用画图的方法找出，同时可以结合选项进行分析，可以用最快的速度求出结论。
14．M点是位于圆形匀强磁场边界的一个粒子源，可以沿纸面向磁场内各个方向射出带电荷量为q、质量为m、速度大小相同的粒子，如图所示．已知磁场的方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B，所有粒子射出磁场边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的，不计粒子的重力，则此粒子速度的大小和在磁场中运动最长的时间分别为
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【详解】
所有粒子的速度大小相同，因此在磁场中做圆周运动的半径大小相同，由于所有粒子射出边界的位置均处于磁场边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆形磁场周长的，则最远出射点离M点的距离为粒子做圆周运动轨迹的直径2r，由几何关系可知，，由，解得，因为粒子是从M点沿纸面向磁场内各个方向射入，取最靠切线方向的粒子，在磁场中近似做完整一个圆周，其运动的时间最长，即，故C正确，A、B、D错误；
故选C．
15．A、B为原来都静止在同一匀强磁场中的两个放射性元素原子核的变化示意图，其中一个放出一α粒子，另一个放出一β粒子，运动方向都与磁场方向垂直，如图中a、b与c、d分别表示各粒子的运动轨迹，下列说法中不正确的是(　　)
A．由题中所给条件尚不能判断磁场垂直纸面向里还是垂直纸面向外
B．a、b旋转方向相同，c、d旋转方向相反
C．A放出的是β粒子，B放出的是α粒子
D．b为α粒子的运动轨迹，c为β粒子的运动轨迹
【答案】C
【详解】
ABC．放射性元素放出α粒子时，α粒子与反冲核的速度相反，而电性相同，则两个粒子受到的洛伦兹力方向相反，两个粒子的轨迹应为外切圆。而放射性元素放出β粒子时，β粒子与反冲核的速度相反，而电性相反，则两个粒子受到的洛伦兹力方向相同，两个粒子的轨迹应为内切圆。故B放出的是β粒子，A放出的是α粒子，由于α粒子与反冲核的速度相反，而电性相同，由左手定则可知a、b旋转方向相同，同理可知，c、d旋转方向相反，且由于α粒子和β粒子的速度方向未知，不能判断磁场的方向，故AB正确，不符合题意；C错误，符合题意；
D．带电粒子在磁场中的运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
得
其中发出的粒子与反冲核的动量相等，而反冲核的电荷量大，故轨迹半径小，故b为α粒子运动轨迹，c为β粒子运动轨迹，故D正确，不符合题意。
故选C。
16．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说法正确的是（　　）
A．粒子带负电
B．粒子在b点速率大于在a点速率
C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
【答案】D
【详解】
A．由左手定则可知，粒子带正电，故A错误；
B．粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，粒子的速率不变，则粒子在b点速率等于在a点速率，故B错误；
C．根据
可知，若仅减小磁感应强度，则粒子轨道半径增大，则粒子不可能从b点左侧射出，故C错误；
D．若仅减小入射速率，根据
可知粒子运动的半径减小，在磁场中运动的圆弧所对的圆心角变大，而粒子的周期不变，根据
则粒子在磁场中运动时间变长，故D正确。
故选D。
17．如图所示，正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从磁场边界上的a点射入、b点射出，不考虑带电粒子受到的重力，下列说法正确的是（　　）
A．粒子在a点的速率小于在b点的速率
B．粒子带正电
C．若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短
【答案】C
【详解】
A．粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，粒子在b点速率等于在a点速率，故A错误；
B．粒子向下偏转，根据左手定则可得粒子带负电，故B错误；
C．根据
得
若仅增大磁感应强度，则粒子运动的半径减小，粒子可能从b点左侧射出，故C正确；
D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动半径减小，粒子轨迹对应的圆心角有可能增大，根据可知粒子运动时间可能增加，故D错误。
故选C。
18．在同一匀强磁场中，质子和电子各自在垂直于磁场的平面内做半径相同的匀速圆周运动。质子的质量为mp，电子的质量为me。则质子与电子（　　）
A．速率之比等于
B．周期之比等于
C．动能之比等于
D．动量大小之比等于
【答案】C
【详解】
A．根据牛顿第二定律可知，洛伦兹力提供向心力有
解得
因此质子与电子的速率比等于
选项A错误；
D．根据上边公式，可转换为动量，因此质子与电子的动量比是1：1．选项D错误；
C．根据粒子的动能公式，结合上式可得
因此质子与电子的动能之比等于
选项C正确；
B．根据粒子的周期公式可得质子与电子的圆周运动周期之比等于
选项B错误。
故选C。
19．如图所示，磁场中固定一个电荷量为Q的正点电荷，一个电荷量为q，质量为m的带电粒子（重力不计）以正点电荷为圆心，在匀强磁场中做匀速圆周运动，测得以不同的绕行方向绕正电荷做半径为r的圆周运动时，周期之比为2：1，已知静电力常量为k，下列说法中正确的是（　　）
A．粒子可能带正电，以不同的绕行方向做圆周运动时，所受洛伦兹力大小相等
B．粒子一定带负电，且沿逆时针方向旋转时的线速度是沿顺时针方向时的
C．粒子顺时针旋转时，向心加速度大小为
D．粒子逆时针旋转时，向心加速度大小为
【答案】B
【详解】
A．若粒子带正电，则受到的电场力一定向外，则当顺时针转动时，合力向外，粒子不可能做圆周运动，故A错误；
B．根据A的分析可知，粒子一定带负电；根据可知，线速度之比为1：2；由于逆时针转动时，向心力较小，故线速度较小，因此沿逆时针方向旋转时的线速度是沿顺时针方向时的；故B正确；
CD．顺时针转动时，洛伦兹力向里，则有
F库+Bqv1=ma1
而逆时针转动时，洛伦兹力向外
F库-Bqv2=ma2
由于v1=2v2则
a1=4a2
且
则有联立解得
故C错误，D错误；
故选B。
二、多选题
20．有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍，两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅱ中运动的电子相比，Ⅰ中的电子（　　）
A．运动轨迹的半径是Ⅱ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅱ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅱ中的倍
D．做圆周运动的角速度与Ⅱ中的相等
【答案】BC
【详解】
AB．根据牛顿第二定律得
解得
，
Ⅰ中运动轨迹的半径是Ⅱ中的，Ⅰ中加速度的大小是Ⅱ中的k倍，A错误，B正确；
C．根据周期公式
Ⅰ中做圆周运动的周期是Ⅱ中的，C正确；
D．根据角速度的公式得
Ⅰ中的角速度是Ⅱ中的k倍。D错误。
故选BC。
21．某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示)，规定垂直纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹)，下列办法可行的是(粒子只受磁场力的作用，其他力不计)(　　)
A．若粒子的初始位置在a处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
B．若粒子的初始位置在f处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
C．若粒子的初始位置在e处，在t＝T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
D．若粒子的初始位置在b处，在t＝时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
【答案】AD
【详解】
A．若粒子初始位置在a处，时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度，此时磁场方向垂直纸面向里，根据左手定则判断可知，洛伦兹力向上，沿逆时针方向从a运动到b，时间后磁场方向变为垂直纸面向外，洛伦兹力方向向右，经过沿bcd圆周运动一周回到b，此时磁场方向向里，粒子沿bcf圆弧运动时间，恰好回到a点，接着周而复始，故粒子能做横“∞”字曲线运动且逆时针方向通过efab，故A正确；
B．若粒子初始位置在f处，时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度，此时磁场方向垂直纸面向外，粒子受到的洛伦兹力向左，粒子顺时针圆周运动一周，所用时间为，磁场方向变为垂直纸面向里，再沿顺时针方向运动一周，故粒子能做横“∞”字曲线运动，但沿顺时针方向通过efab，不符合题意，故B错误；
C．同理分析可知，若粒子初始位置在e处，时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度，粒子能做横“∞”字曲线运动，但沿顺时针方向通过efab，不符合题意，故C错误；
D．若粒子初始位置在b处，时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度，同理分析可知，粒子先沿逆时针方向运动一周，再沿顺时针方向一周，粒子能做横“∞”字曲线运动，故D正确。
故选AD。
22．如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向外。某时刻一个质子从点（L0，0）处沿y轴负方向进入磁场；一个α粒子同时从点（－L0，0）进入磁场，速度方向在xOy平面内。设质子的质量为m、电荷量为e，不计质子与α粒子的重力和它们之间的相互作用。如果α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，已知质子和α粒子都带正电，且α粒子的质量是质子质量的4倍，α粒子带的电荷量是质子的2倍，则（　　）
A．质子的速度大小为
B．质子的速度大小为
C．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是
D．两粒子相遇时，α粒子的运动时间可能是
【答案】BC
【详解】
AB．质子的运动轨迹如图所示。
其圆心在处，其半径，质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
故A错误，B正确；
CD．质子在磁场中做匀速圆周运动的周期
同理，α粒子的周期是质子周期的2倍；由于α粒子第一次到达原点时恰能与质子相遇，故相遇时质子可能运动了半个周期，也有可能运动了一个半周期。如果相遇时质子只运动了半个周期，则质子的运动时间为
如果质子运动了一个半周期相遇，则质子的运动时间为
两个粒子在原点相遇，则它们运动的时间一定相同，故α粒子的运动时间可能是
或
故C正确，D错误。
故选BC。
23．如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的内径大得多），在圆管的最低点有一个直径略小于细管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m，带电荷量为q，重力加速度为g。空间存在一磁感应强度大小未知（不为零），方向垂直于环形细圆管所在平面且向里的匀强磁场。某时刻，给小球一方向水平向右，大小为v0＝的初速度，则以下判断正确的是（　　）
A．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力
B．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力
C．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同
D．小球在从细圆管最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平分速度的大小一直减小
【答案】BC
【详解】
A．由左手定则可判定小球受到的洛伦兹力
始终指向圆心，另外假设小球受到管道的支持力，小球获得v0＝的初速度后，由圆周运动可得
解得
可见，只要B足够大，满足
支持力就为零，A错误；
BC．由于洛伦兹力不做功，只有重力对小球做功，故小球能不能到最高点与磁感应强度大小无关，从最低点到最高点过程中，由动能定理可得
解得
小球能到最高点，由于速度为，小球受到的向心力等于mg，故此时小球除受到重力，向下的洛伦兹力之外，一定还有轨道向上的支持力大小等于洛伦兹力，BC正确；
D．对小球的速度分解在水平和竖直方向上，小球在从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度先减小，至圆心等高处，水平分速度为零，再往上运动，水平分速度又增加，D错误。
故选BC。
24．如图所示，I、II是两带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹，轨迹I的半径大于轨迹II的半径。两粒子运动至P点时发生正碰并结合在一起，然后沿圆轨迹的切线PQ做直线运动。不计粒子重力及碰撞前两粒子间的相互作用，则下列判断正确的是（　　）
A．两粒子带等量异种电荷
B．轨迹为I的粒子带负电
C．轨迹为I的粒子速度比轨迹为II的粒子速度大
D．轨迹为I的粒子运动周期比轨迹为II的粒子运动周期大
【答案】AB
【详解】
A．两粒子运动至P点时发生正碰，且碰后结合在一起后不带电，可知绕行方向相反且两粒子带等量异种电荷，选项A正确；
B．根据
可知，半径大的粒子动量较大，即轨迹为I的粒子动量较大，由于碰后整体向下运动，可知轨迹为I的粒子绕顺时针方向绕行，可知轨迹为I的粒子带负电，选项B正确；
CD．由以上分析可知，只能判断两粒子动量大小关系，不能确定速度关系和质量关系，根据可知，不能确定周期关系，选项CD错误；
故选AB。
25．直角坐标系内，有一无界匀强磁场垂直纸面，一质量为，电荷量为的正电荷从原点沿着轴正方向以初速度出发，不计重力．要使该电荷通过第四象限的点，点坐标为，则
A．磁场方向垂直纸面向外
B．磁场方向垂直纸面向内
C．
D．
【答案】AC
【详解】
AB.粒子向右偏转，根据左手定则，磁场方向垂直纸面向外.故A正确，B错误.
CD.根据洛伦兹力提供向心力：
根据几何关系：
联立解得：
故C正确，D错误.
26．如图所示，空间存在方向垂直于纸面向里的分界磁场．其中在MN左侧区域的磁感应强度大小为B；在MN右侧区域的磁感应强度大小为3B．一质量为m、电荷量为q、重力不计的带电粒子以平行纸面的速度ν从MN上的O点垂直M射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次与入射方向相同时，下列说法正确的是
A．粒子运动的时间是
B．粒子运动的时间是
C．粒子与O点间的距离为
D．粒子与O点间的距离为
【答案】AC
【详解】
粒子在MN右侧运动半个周期后回到MN左侧，在运动半个周期后的速度将与入射方向相同，在MN右侧运动的时间，在MN左侧运动的时间,因此粒子的速度再次与入射速度相同时需要的总时间为，故A对B错；在MN右侧粒子运动的距离为，在MN左侧粒子运动的距离为，粒子与O点的距离，故C对D错．
27．如图所示，截面为正方形的容器在匀强磁场中，一束电子从a孔垂直于磁场射入容器中，其中一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，忽略电子间的作用，下列说法不正确的是（　　）
A．从cd两孔射出的电子速度之比为v1：v2=2：1
B．从cd两孔射出的电子在容器中运动所用的时间之比为t1：t2=1：2
C．从cd两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为a1：a2=2：1
D．从cd两孔射出电子在容器中运动时的加速度大小之比为a1：a2=：1
【答案】ABC
【详解】
A．设磁场边长为a，如图所示，粒子从c点离开，其半径为rc，粒子从d点离开，其半径为rd
由
得出半径公式
又由运动轨迹知rc=2rd
则有vc：vd=2：1，A正确；
B．由
根据圆心角求出运行时间
运行时间，tc=，则tc：td=1：2，B正确；
CD．向心加速度
则ac：ad=2：1，C正确，D错误。
故选ABC。
28．如图所示，匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第I象限内，磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷暈绝对值为q、不计重力的粒子，以某速度从0点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场，运动到A点时，粒子速度沿x轴正方向，下列判断正确的是
A．粒子带正电
B．粒子由O到A经历的时间为
C．若已知A到x轴的距离为d，则粒子速度大小为
D．离开第I象限时，粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为60°
【答案】CD
【详解】
根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示，根据左手定则判断知，此粒子带负电，故A错误；
根据几何知识可知，从O点到A点轨迹的圆心角为60°，，B错误；由图可得：，所以．而粒子的轨迹半径为，联立可得，C正确；
粒子在O点时速度与x轴正方向的夹角为60°，x轴是直线，根据圆的对称性可知，离开第一象限时，粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，故D正确；
【点睛】
带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力充当向心力，从而得出半径公式，周期公式，运动时间公式，知道粒子在磁场中运动半径和速度有关，运动周期和速度无关，画轨迹，定圆心，找半径，结合几何知识分析解题，
29．如图所示，有一对平行金属板相距d=10cm，两板间有匀强磁场，磁感应强度的大小B=0.1T，方向与垂直纸面向里。左板A处有一粒子源A，以速度v=1×106m/s不断地在纸面内向各个方向发射比荷=1×108C/kg的带负电粒子，不计粒子的重力，能打在右侧金属板上且经历时间最短的粒子的偏转角和最短时间分别为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
劣弧弦长越短圆心角越小，时间就越短，由此可知最短弦长为板间距离d，根据
得
带入数据得：半径为10cm，作图知偏转角等于圆心角为，由周期公式
带入数据得
经历时间为
故AC错误，BD正确。
故选BD。
30．如下图，静止的核发生衰变后生成反冲核，两个产物都在垂直于它们的速度方向的匀强磁场中做匀速圆周运动，下列说法正确的是（
）
A．衰变方程可表示为
B．核和粒子的圆周轨道半径之比为1:45
C．核和粒子的动能之比为1:45
D．核和粒子在匀强磁场中旋转的方向相反
【答案】AB
【详解】
A．已知α粒子为，则由电荷守恒及质量守恒可知，衰变方程为：
，故A正确；
B．粒子在磁场中运动，洛伦兹力作向心力，所以有，，则；所以，Th核和α粒子的圆周轨道半径之比，故B正确；
C．由动量守恒可得衰变后，所以，Th核和α粒子的动能之比，故C错误；
D．Th核和α粒子都带正电荷，所以，在图示匀强磁场中都是逆时针旋转，故D错误；
【点睛】
求衰变方程时要注意电荷、质量都要守恒即反应前后各粒子的质子数总和不变，相对原子质量总数不变，但前后结合能一般发生改变．
31．如图所示，在上方的空间充满垂直于平面向里的匀强磁场，有两个粒子A、B以相同的速度，与成从点射入磁场，然后分别从、点射出磁场，且，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．A粒子带负电，B粒子带正电
B．A、B粒子在磁场中的轨道半径相等
C．A、B粒子的比荷相等
D．A、B粒子在磁场中的运动时间之比为
【答案】BC
【详解】
A．由左手定则可以判断，粒子带正电，粒子带负电，故A错误；
B．用作图法作出、粒子轨迹的圆心如图，，、分别为、中点，有
得
所以、粒子在磁场中的轨道半径相等，故B正确；
C．由
得
、粒子速度大小相等，在同一磁场中，轨道半径相等，所以比荷也相等，故C正确；
D．、粒子在磁场中的运动周期，周期相同，粒子在磁场中的运动时间
粒子在磁场中的运动时间
所以运动时间之比为，故D错误。
32．如图所示，在半径为R的半圆和长为2R、宽为R的矩形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。一束质量为m、电量为q的粒子（不计粒子间相互作用）以不同的速率从边界AC的中点垂直于AC射入磁场，所有粒子从磁场的EF圆弧区域射出（包括E、F点），其中EO与FO（O为圆心）之间夹角为60°。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．粒子的速率越大，在磁场中运动的时间越长
B．粒子在磁场中运动的时间可能为
C．粒子在磁场中运动的时间可能为
D．粒子的最小速率为
【答案】BD
【详解】
AD．
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示（只画出E、F两点的运动轨迹）
根据带电粒子在磁场中运动的半径公式和周期公式
，
由图可知，周期小的半径大，则粒子的速率越小，最小速度为
A错误，D正确；
BC．有几何关系可得
，
解得
，
由三角函数计算可得
，
则粒子在磁场中运动的时间，有
B正确，C错误。
故选BD。
33．如图所示，直角坐标系xoy平面内有、、三点，第一象限内有垂直xoy平面的匀强磁场。电子1以速度从点垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场；电子2从点以速度垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场。若电子重力不计，不考虑电子之间的相互作用，则（　　）
A．磁场垂直xoy平面向里
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】
A．因为电子以速度从点垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场，则受到的洛伦兹力的方向沿y轴负方向，根据左手定则，磁场垂直xoy平面向里，A正确；
B．电子1以从点垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场时，运动轨迹如图，圆心在坐标原点
电子1在磁场中运动的半径，根据几何关系得
根据
则电子1在磁场中运动的速度
电子2从点以速度垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场时，运动轨迹如图
电子2在磁场中运动的半径，根据几何关系得
根据
则电子2在磁场中运动的速度
则
B错误；
CD．电子1以从点垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场时，根据几何关系得转过的圆心角为
，电子2从点以速度垂直y轴射入磁场，经时间从点射出磁场时，转过的圆心角为，在磁场中的周期为
在磁场中的时间
则在磁场中运动的时间之比
C错误D正确。
故选AD。
34．如图所示的匀强磁场中，从O点沿OA方向垂直磁场发射两个比荷相同的带电粒子，一粒子经时间t1到达直线OC上的P点，其速率为v1；另一粒子经时间t2到达直线OC上的Q点，其速率为v2.不计粒子重力和粒子间的相互作用，则（　　）
A．v1>v2
B．v1C．t1D．t1=t2
【答案】BD
【详解】
从O点沿OA方向垂直磁场发射两个比荷相同的带电粒子，粒子都做匀速圆周运动，如图所示：
根据轨迹对称性可知，两粒子做匀速圆周运动的圆心角相等，到达P点的粒子半径小于到达Q点粒子的半径，即
r1根据洛伦兹力提供向心力得
解得
因为比荷相等，则半径大的速度大，即
v1又周期
因为比荷相等，则周期相同，而圆心角相等，所以运动时间相等，即
t1=t2
选项BD正确，AC错误。
故选BD。
35．如图所示，在一匀强磁场中有三个带电粒子，其中1和2为质子，3为α粒子（）的径迹．它们在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，三者轨道半径并相切于P点，设T、v、a、t分别表示它们做圆周运动的周期、线速度、向心加速度以及各自从经过P点算起到第一次通过图中虚线MN所经历的时间，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】
A．设带电粒子的质量和电量分别为m、q，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时周期为，T与比荷成反比，质子与粒子的比荷之比为2：1，则有，A正确；
B．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时半径为
粒子的速度
1、2都是质子，q、m相等，已知：，则，质子的荷质比是粒子荷质比的2倍，如果2的轨道半径是3的两倍，则质子2的速度与粒子的速度相等，由图示可知，题目中没有说明2的半径小于3的半径的两倍，所以不能判断v2与v3的关系，B错误；
C．粒子的加速度为
因为，则，r3最小，同时粒子的最小，所以可以判断a3最小，C错误；
D．由图看出，质子2的速度偏向角大于质子1的速度偏向角，根据轨迹所对的圆心角等于速度偏向角，则知，质子2轨迹的圆心角大于质子1轨迹的圆心角，所以质子2的运动时间大于质子1的运动时间，即有，同理可得，粒子的速度偏向角大于质子2的偏向角，根据轨迹所对的圆心角等于速度偏向角，则知，粒子轨迹的圆心角大于质子2轨迹的圆心角，同时由于，所以粒子的运动时间大于质子2的运动时间，即有，故，故D正确。
故选AD。
36．在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个原来静止的原子核，由于发生了一次衰变放射出某种粒子，放射出的粒子与生成的新核在与磁场垂直的平面内做圆周运动，得到一张两个相切圆的径迹照片如图所示。以m、q分别表示放出的粒子的质量和电荷量，放出的粒子运动的轨迹圆半径为R。则（　　）
A．放出的是α粒子且其轨迹对应着大圆，绕行方向为顺时针
B．放出的是β粒子且其轨迹对应着大圆，绕行方向为逆时针
C．若测得新核与放出的粒子的半径之比为1：60，则Z=122
D．若衰变过程中释放的核能全都转化为粒子和新核的动能，则衰变过程中的质量亏损为
【答案】CD
【详解】
AB．原来静止的原子核带正电荷，衰变后，由于两个运动轨迹相外切，根据左手定则可知，放出的粒子也一定带正电荷，因此放出的是粒子，而且都做逆时针方向旋转，AB错误；
C．由于粒子在磁场中运动的轨道半径
粒子带两个单位正电荷，根据动量守恒，可知新核与粒子动量大小相等，因此
可得
C正确；
D．放出的粒子的轨道光径
可得粒子动能
由于动量守恒，剩余新核动能
总动能
根据
质量亏损为
D正确。
故选CD。
37．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面方向的匀强磁场。一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率沿着相同的方向，对准圆心O射入匀强磁场，又都从该磁场射出。这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短。带电粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用。下列说法正确的是（　　）
A．运动时间较长的粒子，在磁场中偏转的角度一定较大
B．速度较大的粒子，在磁场中偏转的角度一定较大
C．不管射入的速度多大，粒子在磁场中运动轨迹的长度都相同
D．无论射入的速度多大，粒子射出的速度大小都和射入的速度大小相同
【答案】AD
【详解】
AB．因为粒子做圆周运动的周期公式为
由于带电粒子们的B、q、m均相同，所以周期T相同，根据
可知在磁场中运动时间越长的带电粒子，圆心角越大，半径越小，由
知速率一定越小，故B错误，A正确；
C．由
可知半径与速度有关，通过的路程即圆弧的长度，由
可知粒子在磁场中运动轨迹的长度与半径和圆心角有关，故射入的速度不同，粒子在磁场中运动轨迹的长度可能不同，故C错误；
D．洛伦兹力对运动的带电粒子不做功，故粒子穿过磁场前后速度大小不变，故D正确。
故选AD。
38．如图所示，在圆形区域中有一垂直纸面向里的匀强磁场（未画出）。质量、电荷量大小均相等的带电粒子1、2、3，不同的速率从A点沿半径AO的方向射入磁场，图中实线是它们的轨迹。已知∠AOC=60°，∠AOD=120°，∠AOE=30°，不计粒子重力且忽略粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）
A．粒子1带负电，粒子2、3带正电
B．射入磁场时，粒子1、2的半径之比为1:2
C．射入磁场时，粒子1、2的动量之比为1:3
D．粒子1、2、3在磁场中运动的时间之比为4:2:5
【答案】CD
【详解】
A．由图可知，1向左偏，2、3向右偏，根据左手定则知粒子1带正电，粒子2、3带负电，选项A错误；
B．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，如图
由图中几何关系可知
所以粒子1、2的半径之比为1:3，选项B错误；
C．由洛伦兹力提供向心力有
解得
可知，射入磁场时，粒子1、2的动量之比为1:3，选项C正确；
D.粒子在磁场中做圆周运动的周期
粒子在磁场中的运动时间
由于q、m相同，则粒子在磁场中的运动时间之比等于圆心角之比，由图中几何关系可知粒子1、2、3在磁场中运动的时间之比为
选项D正确。
故选CD。
39．如图，半径为R的四分之一圆内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，半径OA水平。在圆的最低点C有一粒子源，它正以相同速率在纸面内向各个方向发射质量为m、带电量为q（q＞0）的粒子，速率大小为。在圆弧上AC有粒子射出，B为圆弧上一点，∠AOB等于60°，不计粒子所受重力，下列说法正确的是（　　）
A．所有从圆弧上出来的粒子的速度方向都平行
B．所有从圆弧上出来的粒子在磁场中运动时间都相等
C．从A处射出的粒子与从B处射出的粒子在磁场中运动时间之比3∶1
D．从A处射出的粒子与从B处射出的粒子在磁场中的速度偏转角之比为3∶2
【答案】AC
【详解】
A．粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
r=R
粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径与磁场半径相等；
粒子沿CO方向入射其运动轨迹如图所示，则OCO2A是正方形，是菱形，粒子偏转角为为90°；粒子沿其它方向入射，由于C点不变，OC不变，四边形的四个边相等，四边形永远是菱形，则O2B一定平行与OC，速度一定沿水平方向射出，故A正确；
B．沿不同方向射入的粒子在磁场中的偏转角度θ不同，粒子在磁场中的运动时间
不同，故B错误；
CD．由题意可知：∠AOB=60°，则：∠BO2C=30°，两粒子偏转角之比为
90°：30°=3：1
粒子在磁场中的运动时间，粒子在磁场中的运动时间之比等于粒子的偏转角之比，则粒子运动时间之比为3：1，故C正确，D错误；
故选AC。
40．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场中，静止的铀U发生α衰变，生成新原子核X，已知α粒子和新核X在纸面内做匀速圆周运动，则（　　）
A．原子核X的电荷数为91，质量数为236
B．α粒子做顺时针圆周运动
C．α粒子和原子核X的周期之比为10∶13
D．α粒子和原子核X的半径之比为45∶1
【答案】CD
【详解】
A．根据核反应的质量数和电荷数守恒可知，原子核X的电荷数为
质量数为
故A错误；
B．α粒子带正电，由左手定则可知，α粒子做逆时针圆周运动，故B错误；
C．根据可知，α粒子和原子核X的周期之比
故C正确；
D．根据动量守恒定律，α粒子和原子核X的动量大小相同，且有
得
可知，α粒子和原子核X的半径之比为
故D正确。
故选CD。
三、选择题
41．如图所示，在边长为L的正三角形磁场区域内，分布着垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B。在距B点的P点处，大量正、负带电粒子以相同速率射入磁场，所有粒子均从、两边出射。已知粒子质量均为，电荷量均为，不考虑重力影响，下列说法正确的是（
）
A．从同一点出射的正电粒子与负电粒子在磁场中运动时间相同
B．粒子在磁场运动的最长时间为
C．在磁场中运动时间最长的粒子带正电
D．在磁场中运动时间最长与最短的粒子出射点间距为L
【答案】ABC
【详解】
A.所有粒子入射速率相同，所以圆周运动半径同为，直径大于l，所以三角形区域所截得轨迹必为劣弧。从同一点出射粒子弦长相同，圆心角相同，运动时间相同，故A正确；
B.粒子在磁场中运动最长时间即从A点出射，由几何关系得，从A点出射弦长PA=，对应圆心角为60°，运动时间为，故B正确;
C.能从A点出射粒子出射方向与PA夹角30°，所以粒子必做逆时针圆周运动，粒子必带正电，故选项C正确；
D.从A点出射粒子运动时间最长，从P向AB做垂线，垂足为D，从D点出射粒子运动时间最短。在磁场中运动时间最长与最短的粒子出射点间距小于L，故选项D错误。
故选ABC。
第II卷（非选择题）
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四、解答题
42．如图所示，在等腰直角三角形区域内有垂直纸面向里的磁场，，在长为宽为d的矩形区域内有垂直纸面向外的磁场，两个磁场的磁感应强度大小均为B。在A处有一放射源，沿不同方向不断向磁场中放出质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子的速度大小都相同，沿方向入射的粒子第一次经过边时，恰好过的中点，重力忽略不计。试求：（角度可用反三角函数表示，若，则）
(1)带电粒子运动的速度；
(2)从边上出射的、未进入矩形磁场区域的粒子运动的最长时间；
(3)沿方向入射的粒子离开磁场的可能位置。
【答案】(1)；(2)；(3)见解析
【详解】
(1)带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力
由题意可得，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为
得
(2)如图1所示，当运动轨迹与相切时，从边上出射的粒子运动的时间最长。
所以
带电粒子在磁场中的偏转角为
得
(3)若粒子从出射，（当，如图2，当，如图3）则由几何关系可得，出射点到F点的距离为
（或）
若，则粒子从边出射，如图4所示，由几何关系可得，出射点到C点的距离为。
43．如图所示，在xoy坐标系的第一象限内存在着垂直于平面的匀强磁场，一质量为m带电荷量为+q的小球，以速度v沿x轴正方向射入磁场，恰好在磁场里做匀速直线运动。求：
（1）磁场的方向?
（2）磁场的磁感强度的大小?
【答案】（1）磁场的方向垂直于xoy平面向里；（2）
【详解】
（1）小球恰好做匀速直线运动，所以受到的洛伦兹力方向向上，根据左手定则，磁场的方向垂直于xoy平面向里。
（2）洛伦兹力与重力平衡，所以有
mg=qBv
得
44．如图所示，在坐标系xoy的第一、二象限内有一磁感应强度大小B=0.075T的有界匀强磁场区域，边界Ⅰ为圆形，其圆心Р坐标为（0，0.08m）、半径R=0.1m，边界Ⅱ形状未知。在磁场左侧存在宽度为0.18m的线状粒子源MN(最下端N位于x轴)，以平行于x正方向均匀地发射速度大小v=6×105m/s的带正电粒子，经有界磁场偏转后，全部会聚于坐标原点O。已知粒子的比荷=10C/kg、不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）粒子在磁场中的运动半径r；
（2）从最上端M点发射的粒子恰好进入有界磁场，求粒子在磁场中的运动时间（保留两位有效数字）；
（3）有界磁场边界Ⅱ的轨迹方程。
【答案】（1）0.08m；（2）；（3）
【详解】
（1）粒子在匀强磁场中做圆周运动，洛仑兹力提供向心力，即
解得
（2）从M点发出的粒子，经边界Ⅰ从Q点进入磁场，从边界Ⅱ的R点飞出磁场，做匀速直线运动通过原点O，三角形OCR为直角三角形，如下图所示
则有
即，则粒子在磁场中圆周运动的圆心角为∠QCR=143°，所以该粒子在磁场中的运动时间为
（3）因所有粒子均水平向右射入，由平移可画出所有粒子的圆心轨迹：是以O为圆心，半径为0.1m的圆，画出其中一条运动轨迹，设内边界上任意一点为（x，y），如下图所示
由几何关系得
解得
边界Ⅱ是以O为圆心，半径为3cm的x轴正上方的半圆。
45．如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)求带电粒子在磁场中的最大偏转角。
【答案】(1)
；
(2)60°
【详解】
(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
则
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图所示，
通过“动态圆”可以观察到粒子在磁场中的运动轨迹均为劣弧，弧长越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹弧的弦长等于磁场直径时，粒子运动的时间最长，由几何关系知
即φm＝60°。
46．如图，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP=3r。一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。已知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求
(1)画出轨迹图并求出粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
【答案】(1)图见解析；；
(2)
【详解】
(1)根据题意作出粒子的轨迹图，如图所示
设粒子在磁场中运动半径为R，由几何关系得
易得
(2)设进入磁场时速度的大小为v，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
进入圆形区域，带电粒子做匀速直线运动，则
联立解得
47．在高能物理实验研究中，经常要通过磁场对粒子进行控制，使其能够按照要求运动。如图所示，在垂直纸面向里、磁感应强度B=2.0T的匀强磁场中，有一长度L=4.0m的细杆，其一端固定在O点且可绕该点旋转，另一端有一粒子源S，能连续不断相对于粒子源沿杆方向向外发射速度为v0=500m/s的带正电粒子。已知带电粒子的电荷量q=2.5×10-6C，质量m=3×10-8kg，不计粒子间的相互作用及粒子的重力，打在杆上的粒子均被吸收。
(1)若细杆不动，试求粒子离O点的最近距离。
(2)若细杆绕O点在纸面内沿逆时针方向匀速转动，要求发射出的粒子均能打中O点，试求细杆角速度ω的大小。
【答案】(1)2.0m；(2)rad/s
【分析】
本题考查考生的理解能力和应用数学解决物理问题的能力，需要考生灵活应用牛顿第二定律和带电粒子在磁场中的圆周运动知识解题，体现科学思维这一核心素养。
【详解】
(1)若细杆不动，根据牛顿第二定律有
解得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径
R0=3.0m
轨迹如图所示：
根据勾股定理得
所以粒子离O点的最近距离为
OO1-R0=2.0m
(2)细杆绕O点在纸面内沿逆时针方向转动时，粒子随细杆做圆周运动，如图
垂直细杆方向的速度为ωL，故粒子的合速度为
设粒子合速度与垂直细杆方向的速度间的夹角为θ，则
根据牛顿第二定律有
解得
由几何关系可得
解得
而由速度关系可得
所以
48．一个带电荷量为+q，质量为m的粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中以初速度v0垂直于磁场自A点开始运动，如图所示，经时间t，粒子到达C点，试求：
（1）画出粒子轨迹示意图；
（2）粒子在磁场中运动的周期和加速度大小a；
（3）连接AC与v0所在直线间的夹角。
【答案】（1）见解析；（2），；（3）
【详解】
（1）轨迹示意图如下所示
（2）设电荷运动的周期为T，轨道半径为r，则有
根据圆周运动规律有
联立解得
根据牛顿第二定律可得
解得
（3）由题意可知
解得
49．如图所示，一质量为m、电荷量为的带正电粒子从O点以初速度v0水平射出．若该带电粒子运动的区域内有一方向竖直向下的匀强电场，则粒子恰好能通过该区域中的A点；若撤去电场，加一垂直纸面向外的匀强磁场，仍将该粒子从O点以初速度v0水平射出，则粒子恰好能经A点到达该区域中的B点．已知OA之间的距离为d，B点在O点的正下方，∠BOA=60°，粒子重力不计．求：
(1)磁场磁感应强度的大小B；
(2)粒子在电场时运动中到达A点速度的大小v．
【答案】(1)
(2)
【详解】
（1）如图所示，撤去电场加上磁场后，粒子恰好能经A点到达B点，由此可知，OB为该粒子做圆周运动的直径，则粒子在磁场中做圆周运动的半径为：
由于
得：
（2）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子从O点运动到A点所需要的时间为t，则：
由动能定理有：
联解得：
50．如图所示，有宽为L、长为2L的磁场区域Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度均为B，其方向垂直于纸面。Ⅰ、Ⅱ之间有宽度为d的很小狭缝，狭缝之间有电压一定的交流电源产生的电场。在电磁场边界O处粒子源能不断产生质量为m、电量为q的粒子，初速度可以忽略，重力不计。它们在狭缝中被电场若干次加速，粒子每次经过狭缝均做匀加速直线运动。当粒子达到最大速度时，在Ⅰ或Ⅱ磁场中以L为半径继续做半个周期的运动，从磁场与电场交界处的特殊装置x1或x2处射出。设交流电源的周期与粒子在磁场中运动的周期相等，不考虑粒子间的相互作用。求：
（1）粒子获得的最大动能EK；
（2）粒子在磁场中和电场中运动时间之比K；
（3）粒子在磁场中运动时，相邻轨道半径之差△r的变化情况，并推理证明。
【答案】（1）；（2）；（3）随着粒子的不断加速，相邻轨道半径之差△r逐渐减小.
【详解】
（1）粒子在磁场中运动的最大半径为
Rm=L
由
可知
最大动能
（2）设粒子在电场中被加速了n次，则在电场中运动的时间
在磁场中运动的时间
粒子在磁场中和电场中运动时间之比
；
（3）根据
知
则
则n越大，半径之差?r越小。
51．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，匀强电场方向水平向右，直角坐标系xoy的原点O处有一能向各个方向发射带电粒子（不计重力）的放射源。当带电粒子以某一初速度沿y轴正方向射入该区域时，恰好能沿y轴做匀速直线运动。若撤去磁场只保留电场，粒子以相同的速度从O点射入，经过一段时间后通过第一象限的P点，P点坐标为（L，）。若撤去电场，只保留磁场，让粒子以相同速率从O点射入，求：
(1)粒子在磁场中运动的半径；
(2)若要使粒子射出后仍能通过P点，求粒子从O点射出时的速度方向。
【答案】(1)；(2)
与x轴正方向所成夹角为或者
【详解】
(1)电磁场同时存在时，由粒子做匀速直线运动，设入射速度大小为v0得：
①
撤去磁场后，粒子在电场中做曲线运动
②
③
只保留磁场时，粒子在磁场中做圆周运动
④
联立以上各式解得
⑤
(2)连接OP，作OP的中垂线交OP于O3点，若粒子沿v1方向射出，圆心为O1，据已知条件有
⑥
⑦
据几何关系有
⑧
因v1与垂直，因此v1与x轴正方向所成夹角为，即
⑨
若粒子沿v2方向射出，同理可解得
因v2与垂直，因此v2与x轴正方向所成夹角为，即⑩
52．在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场，第四象限存在垂直于坐标平面的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q的带负电的粒子从y轴正半轴上的a点以速度垂直于y轴射入电场，经x轴上的b点与x轴正方向成角射入磁场，最后从y轴负半轴上的c点垂直于y轴射出磁场，且粒子在磁场中的运动轨迹的半径为R。（不计粒子重力，，）求：
（1）Oc、Ob的距离大小以及磁场B的大小与方向；
（2）粒子从a运动到c所用时间t；
（3）电场强度E的大小。
【答案】（1），，，垂直直面向里；（2）；（3）
【详解】
（1）带电粒子在磁场中轨迹如图
Oc的距离
Ob的距离
粒子在电场中做类平抛运动，到达b点时的速度为
根据
解得磁场B的大小
根据左手定则，磁场的方向垂直直面向里
（2）粒子在电场中做类平抛运动，在垂直电场方向上做匀速直线运动，运动时间为
解得
在磁场中运动的周期为
在磁场中运动的时间
粒子从a运动到c所用时间t
（3）到达b点时在沿磁场方向上的速度
而
解得
53．如图所示，在xOy坐标系中，x轴上的N点到O点的距离是12cm，虚线NP与x轴负方向的夹角是30°，第Ⅰ限内NP的上方有匀强磁场，第Ⅳ象限内有匀强电场，电场强度E=5×103V/m，方向沿y轴正方向。将一质量m=8×10-10kg、电荷量q=1×10-4C带正电粒子。从电场中M（12，-8）点由静止释放，经电场加速后从N点进入磁场，又从y轴上P点穿出磁场，不计粒子重力。求：
(1)粒子在磁场中运动的速度v；
(2)匀强磁场的磁感应强度B；
(3)粒子从M点到P点运动的时间t。
【答案】(1)
1×104m/s；(2)
1T；(3)
3.3×10-5s
【详解】
(1)粒子从M到N，在电场力作用下加速，据动能定理
得
(2)粒子在磁场中的轨迹如图，设粒子做圆周运动的轨道半径为R，由几何关系得
解得
由
得
(3)粒子在电场中的运动时有
得
由几何关系得：粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为120°，有
得
所以粒子从M点到P点运动的时间
54．钍核弹发生衰变生成镭核并放出一个粒子，设该粒子的质量为仇、电荷量为q，它进入电势差为U的、带窄缝的、平行的平板电极S1和S2间的电场时，其速度为v0，经电场加速后，沿Ox方向进入磁感应强度为B，方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，Ox垂直于平板电极S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ=60o，如右图所示，整个装置处于真空中．
(1)写出钍核衰变的方程；
(2)求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径R；
(3)求粒子在磁场中运动所用的时间t．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
(1)钍核衰变的方程为?
(2)设粒子离开电场时的速度为v，由动能定理得：
?
粒子在磁场中有：
??
所以：
(3)粒子做圆周运动的周期
，由几何关系知粒子在磁场中转过的角度为600，则粒子在磁场中运动的时间为
所以
55．如图所示，从粒子源射出的正粒子初速度不计，进入一个电压为u的加速电场，离开电场后沿直径方向进入一个半径为R的圆形有界匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，粒子最终离开磁场时偏离原来方向60?角，求：
(1)入射粒子的比荷；
(2)粒子在磁场中的运动时间t。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)设带电粒子质量为m，带电量为q，经过电场加速后速度是，在经过电场的过程中
＝①
经过圆形有界匀强磁场时做匀速圆周运动，设圆周半径为r，由向心力公式可得
＝②
根据几何知识，则有
＝Rcot30?＝R③
由①②③式可得
＝
(2)若带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为Ｔ，则
T＝④
带电粒子运动方向在磁场中偏转了60?角，对应的圆心角也为60?角，因而在磁场中的运动时间为
t＝Ｔ⑤
由以上各式可得
t＝
56．如图所示，在某电子设备中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。AC、AD两块挡板垂直纸面放置，夹角为90°。一束电荷量为十q、质量为m的相同粒子，从AD板上距A点为L的小孔P处以不同速率垂直于磁场方向射入，速度方向与AD板的夹角为60°，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。求：
(1)直接打在AD板上Q点的粒子距离A点L，该粒子运动过程中距离AD最远距离为多少？
(2)直接垂直打在AC板上的粒子，其运动速率是多大？
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)如图所示，根据已知条件画出粒子的运动轨迹，粒子打在AD板上的Q点，圆心为，设粒子运动的轨迹半径为
由几何关系可知
解得
该粒子运动过程中距离AD最远距离为
(2)
粒子垂直打到AC板，运动轨迹如图所示，圆心为，设粒子运动的轨迹半径为，根据几何关系可得
解得
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
57．如图所示直角坐标系xOy，P（a，?b）为第四象限内的一点，一质量为m、电量大小为q的带负电粒子（重力不计）从原点O以初速度v0沿y轴正方向射入，在整个坐标系内加垂直纸面向里的匀强磁场，该电荷恰好能通过P点。求：
（1）该匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）若将该带电粒子的速度改为沿+x方向，并把磁场换为竖直向上的匀强电场，该带电粒子恰好也经过P点，求该匀强电场的电场强度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）第一次在整个坐标系内加垂直纸面向内的匀强磁场，该电荷恰好能通过P点，粒子做匀速圆周运动，如图所示，由几何关系得
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，则
联立解得，匀强磁场的磁感应强度
（2）如图所示，若改为匀强电场，运动为类平抛，则
由牛顿第二定律得
联立解得，匀强电场的电场强度
58．如图甲所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从O点以初速度v0水平抛出。若在该带电粒子运动的区域内加一方向竖直向下的匀强电场，则粒子恰好能通过该区域中的A点；若撤去电场，加一垂直纸面向外的匀强磁场，仍将该粒子从O点以初速度v0水平抛出，则粒子恰好能经A点到达该区域中的B点。已知OA之间的距离为d，B点在O点的正下方，，粒子重力不计。求：
(1)粒子在电场中运动，到达A点时的动能EkA；
(2)匀强电场的场强大小E与磁场的磁感应强度大小B的比值。
【答案】(1)；(2)
【详解】
（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子从O点运动到A点所需要的时间为t，则
dsin60°=v0t
对粒子，由动能定理得
解得
（2）如图所示，撤去电场加上磁场后，粒子恰好能经A点到达B点，由此可知，OB为该粒子做圆周运动的直径，
则粒子在磁场中做圆周运动的半径
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得
则
59．1897年，汤姆孙根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况断定，它的本质是带负电的粒子流，并求出了这种粒子的比荷，他的研究装置如图所示。真空管内的阴极K发出的电子经加速后，穿过A、B中心的小孔沿直线进入到两块水平正对放置的平行金属板D1、D2的区域。金属板D1、D2之间未加电场时，射线不偏转，射在屏上P1点。按图示方式施加电场强度为E的电场之后，射线发生偏转并射到屏上P2点。为了抵消阴极射线的偏转，使它从P2点回到P1，需要在两块金属板之间的区域再施加一个大小合适、方向垂直于纸面的匀强磁场。
(1)判断匀强磁场的方向；
(2)若施加的匀强磁场磁感应强度为B，求出阴极射线的速度v的表达式；
(3)去掉D1、D2间的电场，只保留(2)中的匀强磁场B。由于磁场方向与射线运动方向垂直，阴极射线在D1、D2之间有磁场的区域内会形成一个半径为r的圆弧，使得阴极射线落在屏上P3点。根据题目所有信息推导电子比荷的表达式。
【答案】(1)方向垂直纸面向里；(2)；(3)
【详解】
(1)电场力的方向向上，加上磁场后电子不发生偏转，电子做匀速直线运动，所以洛伦兹力方向向下，根据左手定则可知，磁场方向垂直纸面向里
(2)
电子做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件得
①
解得阴极射线的速度②
(3)去掉D1、D2间的电场，只保留(2)中的匀强磁场B，电子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
③
由②③式解得
60．如图所示，一个质量为m、带负电粒子的电荷量为q、不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度沿与x轴成30°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度B的大小；
(2)带电粒子穿过第一象限所用的时间t；
(3)只改变入射速度大小，其他条件不变，若要使带电粒子从x轴正半轴某处射出，带点粒子从P点射入的速度至多是多少?
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)由几何关系知：
解得
(2)根据公式可知
(3)由几何关系知：
61．如图是两个共轴圆筒M、N的横截面，N筒的半径为L，M筒半径远小于L，M、N以相同的角速度顺时针匀速转动。在筒的右侧有一边长为2L的正方形匀强磁场区域abcd，磁感应强度大小为B、方向平行圆筒的轴线。两筒边缘开有两个正对着的小孔S1、S2，当S1、S2的连线垂直ad时，M筒内部便通过S1向ad中点o射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，该粒子进入磁场后从b点射出。粒子重力不计，求：
(1)该粒子的速度大小；
(2)圆筒的角速度大小。
【答案】(1)；(2)，（n=1，2，3……）
【详解】
(1)设粒子的速度为v，在磁场做圆周运动的半径R，
如图，由几何关系
得
由洛伦兹力提供向心力
得
(2)设圆筒的角速度为，粒子从射出到到达S2的时间为t，由题意得
又解得
(n=1，2，3……)
五、填空题
62．如图所示，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。已知粒子质量为m、电荷量为q，粒子速度大小为v、受到的洛伦兹力大小为F，不计粒子重力，则匀强磁场的磁感应强度的大小B=_______粒子的运动周期T=_______。
【答案】
【详解】
[1]由洛伦兹力公式可知
F=qvB
解得，匀强磁场的磁感应强度的大小
B=
[2]由带电粒子在磁场中圆周运动周期公式
可得
T=

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