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专题21带电粒子在弧形边界磁场中的运动
u试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．如图，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面向里（未画出）。一群比荷为的负离子以相同速率v0（较大），由P点（PQ为水平直径）在纸平面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场（不计重力），则下列说法不正确的是（
）
A．离子在磁场中运动的半径一定相等
B．由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
C．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
D．如果入射速率v0
=，则沿各个方向射入的离子在飞离开磁场时的速度方向均竖直向下
【答案】C
【详解】
A．由
得
因离子的速率相同，比荷相同，故半径一定相同，A正确；
BC．由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为PQ，故由Q点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，此时离子一定不会沿PQ射入，B正确、C错误；
D．沿各个方向射入磁场的离子，当入射速率
则离子的轨迹半径为
入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与入射点所在的磁场半径平行，离子在飞离开磁场时的速度方向均竖直向下，D正确。
故选C。
2．如图虚线所示半径为R圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场，设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　）
A．所有粒子在磁场中运动的时间必定相同
B．若，则粒子在磁场边界的出时点不能分布在整个圆周上
C．若粒子时入的速率为，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圈周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上，则
D．若粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一器周上，粒子最大运动时间；出射点分布在三分之一圆周上，粒子最大运动时间，则t1
：
t2=
1
：
3
【答案】C
【详解】
A．由于粒子在磁场中的运动周期
相同，但沿不同方向射入的粒子，在磁场中的偏转角不同，由公式
可知，所有粒子在磁场中运动的时间不一定相同，故A错误；
B．假设粒子带正电，磁场方向垂直于纸面向里，由于
粒子的运动轨迹如图
即带电粒子的轨迹半径大于圆的半径，射出磁场边界的粒子几乎可以充满整个圆边界区，根据对称性粒子带负电也是如此，故B错误；
CD．当速度大小为v1时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M，由题意知
由几何关系得轨迹圆半径为
从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N，由题意知
由几何关系得轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力充当向心力可知
速度与半径成正比，因此
v1：v2=r1：r2=1：
由图可知运动轨迹都是整个圆，所以运动最长时间为
故C正确，D错误。
故选C。
3．如图所示，扇形区域内存在有垂直平面向内的匀强磁场，OA和OB互相垂直是扇形的两条半径，一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开，若该粒子以同样的速度从C点平行与AO方向进入磁场，则（　　）
A．粒子带负电
B．C点越靠近B点，粒子偏转角度越大
C．C点越远离B点，粒子运动时间越短
D．只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场
【答案】D
【详解】
A．带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开，那么粒子在A点向右上方偏转，则由左手定则可判定：粒子带正电，故A错误；
D．一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，那么，粒子做圆周运动在A点的径向垂直于AO；又有OA和OB互相垂直，且粒子从B点离开，则由OA、OB及圆周运动在A、B两点的半径构成的四边形为正方形，如图所示，
所以，粒子在磁场中做圆周运动的半径为扇形区域的半径R；那么只要C点在AB之间，粒子圆周运动轨迹的两条半径与扇形区域的两条半径构成菱形，那么，粒子转过的中心角一定等于∠COB，所以，粒子仍然从B点离开磁场，故D正确；
BC．粒子做圆周运动的半径、速度不变，那么粒子做圆周运动的周期不变，所以C点越靠近B点，偏转角度越小，运动时间越小，C点远离B点，偏转角变大，时间变长，故BC错误；
故选D。
4．如图所示，在半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场区域的上方有一水平放置的与磁场方向平行的感光板。从磁场区域最左端Q点垂直磁场方向射入大量的带电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子，且速度满足，最后都打在了感光板上。不考虑粒子间的相互作用和粒子的重力，关于这些粒子，以下说法正确的是（　　）
A．这些粒子都带负电
B．沿着圆心方向入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．只有沿着圆心方向入射的粒子，出射后才垂直打在感光板上
D．沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在感光板上
【答案】D
【详解】
A．因为粒子最后都打在了感光板上，说明粒子向上偏，根据左手定则知粒子带正电，A错误；
BCD．粒子所受洛伦兹力充当向心力，根据
则粒子做
匀速圆周运动，因为速度满足
所以
根据几何关系知，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在上，且沿着圆心方向入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心，BC错误D正确。
故选
D。
5．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，为圆心，一带电粒子从磁场边界圆上的点以速度沿圆的半径方向射入磁场，经磁场偏转，粒子从点射出磁场，，仅改变粒子从点射入磁场的速度大小，改变后粒子从点射出磁场，，则改变后粒子的速度（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
设圆心区域半径为，当粒子的速度为时，由题意知
则
设改变后粒子的速度大小为，由几何关系知
则
解得
所以ACD错误，B正确。
故选B。
6．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b以不同的速率从A点垂直射入一圆形匀强磁场区域，两粒子的运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　）
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．a粒子在磁场中所受到的洛伦兹力较小
C．b粒子的动能较小
D．b粒子在磁场中运动的时间较长
【答案】B
【详解】
A．粒子受力方向指向运动轨迹凹的一侧，根据左手定则可得，a粒子带负电，b粒子带正电，A项错误；
BC．由
得
根据运动轨迹可以判断出，a粒子的轨道半径小于b粒子的轨道半径，所以a粒子的速度小于b粒子的速度，则a粒子在磁场中所受洛伦兹力较小，又因为两粒子的质量相同，所以a粒子动能较小，所以B项正确、C项错误；
D．由
可知，其周期与速度无关，即两粒子的周期相同。因为a粒子运动的轨迹对应的圆心角大于b粒子运动的轨迹所对应的圆心角，所以b粒子在磁场中运动的时间较短，D项错误。
故选B。
7．如图所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率对准圆心沿着方向射入磁场，其运动轨迹如图。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（）
A．粒子动能最大
B．粒子速率最大
C．粒子在磁场中运动时间最长
D．它们做圆周运动的周期
【答案】A
【详解】
AB．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据
可得
则可知三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子速率和动能最小，c粒子速率和动能最大，故A正确，B错误；
CD．由于粒子运动的周期及可知，三粒子运动的周期相同，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，故CD错误。
故选A。
8．如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一质量为m、电荷量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，并从x轴上的b点射出磁场．此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°。下列说法中正确的是（　　）
A．电子在磁场中运动的半径为L
B．电子在磁场中运动的时间为
C．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
D．电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为
【答案】B
【详解】
A．电子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示
电子的轨道半径为R，由几何知识，电子转过的圆心角
解得
故A错误；
B．电子在磁场中做圆周运动的周期
电子在磁场中运动时间
故B正确；
CD．设磁场区域的圆心坐标为，其中
所以磁场圆心坐标为根据几何三角函数关系可得
解得
所以电子的圆周运动的圆心坐标为，故CD错误。
故选B。
【点睛】
由题意确定粒子在磁场中运动轨迹是解题的关键之处，从而求出圆磁场的圆心位置，再运用几何关系来确定电子的运动轨迹的圆心坐标。
9．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子、，以不同的速率对准圆心沿着方向射入垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域（未画出），其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重力，则下列说法正确的是（　　）
A．粒子带负电，粒子带正电
B．粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．粒子在磁场中运动时间较长
D．粒子动能较大
【答案】D
【详解】
A．根据左手定则，粒子带正电，粒子带负电，A错误；
BD．根据图像可知，根据牛顿第二定律得
因此有
根据洛伦兹力公式可得粒子在磁场中所受洛伦兹力较小，粒子动能较大，B错误，D正确；
C．带电粒子在磁场中运动的时间公式为
两粒子在磁场中运动的周期相等，由图可知粒子在磁场中偏转的角度小，所以运动时间较短，C错误。
故选D。
10．圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，三个完全相同的带电粒子，以不同的速率从点开始对准圆心沿着方向射入磁场，其运动轨迹分别如图所示。若带电粒子只受磁场力作用，则（　　）
A．c粒子速度最大
B．a粒子的周期最大
C．a粒子所受磁场力最大
D．b粒子在磁场中运动时间最长
【答案】A
【详解】
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，根据
可得
三个完全相同的带电粒子，则可知三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当
速度越大时、轨道半径越大，则由图知，a粒子速率最小，c粒子速率最大，故A正确；
B．根据
可知
可知，三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，故三带电粒子的周期相同，故
B错误；
C．三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，根据
又因为c的速率最大，所以c粒子所受磁场力最大，故C错误；
D．由于粒子运动的周期
及
可知，三粒子运动的周期相同，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，故D错误。
故选A。
11．如图所示，圆形区域圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，为圆的直径。从圆上的A点沿方向，以相同的速度先后射入甲乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N离开磁场，已知，粒子重力不计，以下说法正确的是（　　）
A．甲粒子带负电荷
B．甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙小
C．乙粒子的比荷比甲大
D．乙粒子在磁场中运动时间比甲长
【答案】C
【详解】
A．甲粒子从M点离开磁场，说明其进入磁场后向下偏转，运用左手定则可以判定，甲粒子带正电，故A错误；
B．设圆形区域的半径为R，由几何关系可解得甲粒子的运动半径
乙粒子的运动半径
即甲粒子在磁场中做圆周运动半径比乙大，故B错误；
C．由公式
得
由于v、B是相同的，r越小则比荷越大，故C正确；
D．由几何关系可解得甲乙两粒子的圆弧轨迹所对应的圆心角分别为60°和120°，所以各自的圆弧路程为
即甲粒子的运动路程更长，由于二者速度相等，所以甲粒子在磁场中运动时间更长，故D错误。
故选C。
12．如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t。若加上磁感应强度为B、垂直纸面向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出磁场时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的（　　）
①带电粒子的比荷
②带电粒子在磁场中运动的周期
③带电粒子的初速度
④带电粒子在磁场中运动的半径
A．①②
B．①③
C．②③
D．①④
【答案】A
【详解】
由带电粒子在磁场中运动的偏转角可知，带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，由几何关系得磁场宽度
由于未加磁场时：d=vt，解得
①正确；已经求出比荷，由
，②正确；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，
根据向右条件无法求出粒子的初速度，也无法求出粒子轨道半径③④错误
故选A
13．如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同速率v从P点射入磁场。这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上，PQ圆弧对应的圆心角恰好为106°。（sin53°=0.8，cos53°=0.6）不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，如图所示：
所以∠POQ=106°；结合几何关系，有
洛仑兹力充当向心力，根据牛顿第二定律，有
联立可得
故B正确，ACD错误。
故选B。
14．如图所示的圆形区域内匀强磁场方向垂直于纸面向里，有一束速率各不相同的质子自A点沿半径方向射入磁场，这些质子在磁场中（　　）
A．运动时间越长，其轨迹对应的弦长越大
B．运动时间越长，其轨迹越长
C．运动时间越短，射出磁场区域时速度越小
D．运动时间越短，射出磁场区域时速度的偏转角越小
【答案】D
【详解】
D．设磁场区域半径为，轨迹的圆心角为。根据推论得知，带电粒子在磁场中偏转角等于轨迹的圆心角，由
可知，则在磁场中运动时间越长的，偏转角越大，圆心角越大，故D正确；
A．弦长
粒子的运动时间越长，越大，弦长越小，故A错误；
B．粒子运动的轨迹为
粒子的运动时间越长，越大，根据数学知识可以证明孤长S越短；
故B错误；
C．粒子在磁场中运动的时间为而轨迹半径
当粒子的运动时间越短时，越小，则知越大，而，速度v越大，故C错误。
故选D。
【点睛】
本题关键是对公式，的熟练运用。
15．如图所示，半径为r的圆形空间内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)，从静止经电场加速后从圆形空间边缘上的A点沿半径方向垂直射入磁场，在C点射出．已知∠AOC＝120°，粒子在磁场中运动时间为t0，则加速电场的电压是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
根据几何知识可知，粒子轨迹对应的圆心角为
α＝180°－120°＝60°＝
轨迹半径为
R＝rtan
60°＝r
由
t0＝·
及
qU＝mv2
得
U＝
A.
与计算结果相符，故A正确．
B.
与计算结果不符，故B错误．
C.
与计算结果不符，故C错误．
D.
与计算结果不符，故D错误．
16．如图所示，在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于圆面向里的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不同的质子，这些质子在磁场里运动的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．周期相同，但运动时间不同，速率大的运动时间长
B．运动半径越大的质子运动时间越短，偏转角越小
C．质子在磁场中的运动时间均相等
D．运动半径不同，运动半径越大的质子向心加速度越小
【答案】B
【详解】
ABC．设粒子转动的半径为R，磁场圆半径为r，由
可得
则v越大，则R越大，周期，则周期与运动速度大小无关，运动时间
其中
所以v越大，则R越大、θ越小、t越小，故AC错误，B正确；
D．向心加速度
则粒子运动半径R越大v越大，所以向心加速度a也越大，故D错误。
故选B。
17．利用磁场可以屏蔽带电粒子。如图所示，真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为r和3r的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，磁感应强度大小为其横截面如图所示。一带电粒子从P点正对着圆心O沿半径方向射入磁场。已知该粒子的比荷为k，重力不计。为使该带电粒子不能进入图中实线圆围成的区域内，粒子的最大速度为（　　）
A．kBr
B．2kBr
C．3kBr
D．4kBr
【答案】D
【详解】
当速度最大时，粒子轨迹圆会和小圆相切，如下图
设轨迹圆的半径为R，在中，根据勾股定理有
解得
根据洛伦兹力提供向心力有
又知
联立以上解得最大速度为
故选D。
18．如图所示，半径为的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小，圆形磁场边界上有A、C、N三点，一个比荷为2×106C/kg、带正电的粒子（粒子重力可忽略不计），从A点以的速度垂直于直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，则（　　）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cm
B．带电粒子在磁场中运动的轨迹圆心一定不在圆形磁场的边界上
C．若带电粒子改为在圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，则粒子一定从N点射出
D．若要实现带电粒子从A点以原速度v0入射、从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为
【答案】C
【详解】
A．根据洛伦兹力提供向心力有
可得
代入数据解得
故A错误；
B．粒子运动轨迹如图所示
因为
四边形AONP为菱形，根据几何知识可得圆心P一定在圆形磁场的边界上，故B错误；
C．从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如图所示，因为
所以四边形SCON为菱形，由几何知识可知粒子一定从N点射出，故C正确；
D．当带电粒子在A点入射，从N点出射，则磁场圆以AN为直径时面积最小，最小面积
故D错误。
故选C。
19．如图所示，在虚线所包围的圆形区域内，有方向垂直于圆面向里的匀强磁场，从磁场边缘的A点沿半径方向射入一束速率不同的质子，这些粒子在磁场里运动的过程中，下列结论中正确的是（　　）
A．运动时间越长的，其轨迹越长
B．运动时间越短的，射出磁场的速率越小
C．在磁场中偏转越小的，运动时间越短
D．所有质子在磁场里运动时间均相等
【答案】C
【详解】
设磁场区域半径为，轨迹的圆心角为
A．粒子运动的轨迹为
粒子的运动时间越长，越大，根据数学知识可以证明孤长越短。故A错误；
B．粒子在磁场中运动的时间为
而轨迹半径
当粒子的运动时间越短时，越小，则知越大，而，则速度越大。故B错误；
C．根据推论得知，带电粒子在磁场中偏转角等于轨迹的圆心角，则在磁场中偏转越小的，轨迹的圆心角，由
知，运动时间越短。故C正确；
D．由上分析知道，速度越大，轨迹半径越大，而
越小，通过磁场的时间越短，故D错误。
故选C。
20．如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AOB方向射入磁场，经过t时间从C点射出磁场，OC与OB成角。现只改变带电粒子的速度大小，仍从A点沿原方向射入原磁场，不计重力，测出粒子在磁场中的运动时间变为2t、则粒子的速度大小变为（　　）
A．
v
B．2v
C．v
D．3v
【答案】C
【详解】
设圆形磁场区域的半径是R，以速度v射入时，由公式
得
根据几何关系可知
所以
运动时间
设第二次射入时的圆心角为θ，根据分析可知
则
半径
又
得
故C正确，ABD错误。
故选C。
21．如图所示，在足够长的水平线上方有方向垂直纸面向里的范围足够大的匀强磁场区域，一带负电的粒子
P
从
a
点沿
θ
＝45°方向以初速度
v
垂直磁场方向射入磁场中，经时间
t
从
b
点射出磁场．不计粒子重力，下列说法不正确的是(
)
A．粒子射出磁场时与水平线的夹角为
θ
B．若
P
的初速度增大为
2v，粒子射出磁场时与水平线的夹角为
2θ
C．若P的初速度增大为2v，则射出磁场所需时间仍为t
D．若磁场方向垂直纸面向外，粒子
P
还是从
a
点沿
θ＝45°方向以初速度
v
垂直磁场方向射入磁场中，则射出磁场所需时间为
3t
【答案】B
【详解】
根据粒子做匀速圆周运动的对称性，当负粒子从b点射出时，速度方向与水平线的夹角为θ，故A正确．若速度增大为2v，虽然负粒子做匀速圆周运动的半径加倍，但速度方向仍与水平线夹角为θ，故B不正确．若P的初速度增大为2v，粒子的偏转角度为不变，粒子射出磁场所需时间仍未t，故C正确．磁场垂直于纸面向里时，粒子的偏转角为90°，若磁场反向，负粒子逆时针方向做匀速圆周运动，由运动的对称性，当粒子从磁场射出时与边界成45°，此时粒子偏转了360°-2×45°=270°，粒子在磁场中的运动时间：t=T，粒子偏向角变为原来的3倍，则粒子运动时间为原来的3倍，为3t，故D正确．本题选不正确的，故选B．
22．如图所示，在边长为L的正方形区域abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，有一个质量为m，带电量大小为q的离子，从ad边的中点O处以速度v垂直ad边界向右射入磁场区域，并从b点离开磁场．则
A．离子在O、b两处的速度相同
B．离子在磁场中运动的时间为
C．若增大磁感应强度B，则离子在磁场中的运动时间增大
D．若磁感应强度，则该离子将从bc边射出
【答案】D
【详解】
离子在磁场中做匀速圆周运动，在离子在O、b两处的速度大小相同，但是方向不同，选项A错误；离子在磁场中的运动的半径满足：，解得，则粒子在磁场中运动的弧长所对的圆心角的正弦值为，即θ=53°，运动的时间，选项B错误；若增大磁感应强度B，由
则离子在磁场中的运动半径减小，粒子将从ab边射出，此时粒子在磁场中运动对应的圆心角减小，则运动时间减小，选项C错误；若离子从bc边射出，则，即，选项D正确.
23．空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直横截面．一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°．不计重力，该磁场的磁感应强度大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
带正电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，画出轨迹如图，根据几何知识得知，轨迹的圆心角等于速度的偏向角60°，且轨迹的半径为
r=Rcot30°=R
根据牛顿第二定律得
得
A．，与结论相符，选项A正确；
B．，与结论不相符，选项B错误；
C．，与结论不相符，选项C错误；
D．，与结论不相符，选项D错误；
故选A．
【名师点睛】
本题是带电粒子在匀强磁场中运动的问题，画轨迹是关键，是几何知识和动力学知识的综合应用，常规问题．
二、多选题
24．如图所示，M、N为两个同心金属圆环，半径分别为和，两圆环之间存在着沿金属环半径方向的电场，N环内存在着垂直于环面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，N环上有均匀分布的6个小孔，从M环的内侧边缘由静止释放一质量为m，电荷量为的粒子（不计重力），经电场加速后通过小孔射入磁场，经过一段时间，粒子再次回到出发点，全程与金属环无碰撞。则M。N间电压U满足的条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
带电粒子由M内侧边缘运动到N环，由动能定理有
带电粒子进入N环内磁场，与金属环无碰撞，故粒子进入磁场后，应偏转或离开磁场，由几何关系可知，轨迹半径为
或
则根据
解得
联立解得
或
故选BD。
25．如图所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一粒子源，沿半径方向射出速率为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则（　　）
A．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动半径的比为1∶2
B．带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷的比为3∶1
C．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动周期的比为1∶1
D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为2∶3
【答案】BD
【详解】
A．设磁场的半径为，粒子在磁场中做圆周运动，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可知，粒子做圆周运动转过的圆心角分别是，，设粒子的运动轨道半径为，，则
故
故A错误；
B．由洛伦兹力提供向心力，得
联立解得
故B正确；
C．由周期公式得
联立解得
故C错误；
D．带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间的比为
故D正确。
故选BD。
26．如图虚线所示的半径为R圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场，设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为r，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则（　　）
A．若r=R，则粒子离开磁场时，速度是彼此平行的
B．若，则粒子从P关于圆心的对称点离开时的运动时间是最长的
C．若粒子射入的速率为时，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为，相应的出射点分布在三分之一圆周上，则
D．若粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上，打在磁场边界最远位置粒子的运动时间为；若粒子在磁场边界的出射点分布在三分之一圆周上，打在磁场边界最远位置粒子的运动时间为，则
【答案】ABC
【详解】
A．设粒子带正电，磁场方向垂直于纸面向外，若r=R，则粒子离开磁场时，可画出某个从P点射入磁场中粒子的运动轨迹如图1所示
由几何关系可判断平行四边形
为菱形。则有
，所以速度方向竖直向下，同理也可判断出：若满足r=R，正电荷从P点其它方向射入磁场中粒子的速度方向也是竖直向下的，即速度方向都是彼此平行的。
同理也可得到若粒子带负电，磁场垂直纸面向里，且满足r=R时，粒子离开磁场边界时，速度方向也是彼此平行的，故A正确；
B．假设粒子带正电，磁场方向垂直于纸面向外，由于，粒子的运动轨迹如图2
即带电粒子的轨迹半径大于圆的半径时，射出磁场边界的粒子几乎可以充满整个圆边界区，所有的弧都是略弧，所以最长的弧对应最长的弦长，所以从直径射出去粒子的时间最长。根据对称性，粒子带负电也是如此，故B正确；
C．当速度大小为v1时，从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为M，如图3所示，由题意知
由几何关系得轨迹圆半径为
从P点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N，如图4所示，由题意知
由几何关系得轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力充当向心力可知
速度与半径成正比，因此
v1：v2=r1：r2=1:
故C正确；
D．由图3，图4可知粒子运动轨迹都是半个圆周，根据粒子在磁场中运动的周期公式
所以是粒子在磁场中运动的时间均为，所以，故D错误。
故选ABC。
27．两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．a粒子带负电，b粒子带正电
B．a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b粒子动能较大
D．b粒子在磁场中运动时间较长
【答案】AC
【详解】
A．粒子向右运动，根据左手定则，b向上偏转，应当带正电；a向下偏转，应当带负电，故A正确。
BC．洛伦兹力提供向心力，即
得
故半径较大的b粒子速度大，动能也大；由公式f=qvB，故速度大的b受洛伦兹力较大。故B错误，C正确。
D．根据
可知，两粒子的周期相同，磁场中偏转角大的运动的时间也长；a粒子的偏转角大，因此运动的时间就长。故D错误。
故选AC。
28．如图所示，两个横截面分别为圆形和正方形、磁感应强度相同的匀强磁场，圆的直径等于正方形的边长，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直。进入圆形区域的电子速度方向正对圆心，进入正方形区域的电子是沿一边的中心且垂直于边界线进入的，则（　　）
A．进入圆形区域的电子一定先飞离磁场
B．进入圆形区域的电子有可能先飞离磁场
C．两个电子在磁场中运动的轨迹半径一定不同
D．两个电子在磁场中运动的时间有可能相同
【答案】BD
【详解】
电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
得
两过程电子速度v相同，所以半径相同，粒子在磁场中的可能运动情况如图所示
电子从O点水平进入，由于它们进入圆形磁场和矩形磁场的轨道半径、速度是相同的，我们把圆形磁场和矩形磁场的边界放到同一位置如图所示，由图可以看出进入磁场区域的电子的轨迹1，先出圆形磁场，再出矩形磁场；进入磁场区域的电子的轨迹2，同时从圆形与矩形边界处磁场；进入磁场区域的电子的轨迹3，先出圆形磁场，再出矩形磁场；所以电子不会先出矩形的磁场
故选BD。
29．在xOy平面内以O为圆心，半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，从原点O以初速度v沿y轴正方向开始运动，经时间t通过x轴上的P点，此时速度与x轴正方向成θ角，如图所示。不计粒子的重力，下列说法正确的是（　　）
A．若，则θ=
B．若，则θ=
C．若，则
D．若θ=，则
【答案】BC
【详解】
粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，得
所以粒子在磁场中运动的半径
粒子运动的周期
ABD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示
若，由几何知识得
解得
若，由几何知识得
解得
若，粒子偏转角为，则粒子在磁场中运动的时间为
粒子出磁场后做匀速直线运动到达P点，所以粒子运运到P点的时间大于，
故AD错误，B正确；
C．若即
粒子的运动轨迹如图所示
所以粒子在第一象限中运动的时间是半个周期，所以
故C正确。
故选BC。
30．如图，以为直径的半圆内有垂直纸面向外的磁感应强度大小为B的匀强磁场，半径与半径夹角为60°。一对正、负电子从P点沿方向射入磁场中，一个从A点离开磁场，另一个从B点离开磁场。已知电子的质量为m、电荷量为e，电子重力及电子间的相互作用力均不计，则（　　）
A．从A点射出磁场的是正电子
B．正电子运动的速率为
C．正、负电子在磁场中运动的时间之比为2：1
D．正、负电子在磁场中运动的向心加速度大小之比为3：1
【答案】BD
【详解】
A．根据左手定则判断知从A点射出磁场的是负电子，A错误；
B．圆弧所对的圆心角
如图所示
则正电子运动轨迹的半径
由
得正电子运动的速率
B正确；
C．同理，负电子运动轨迹的半径
轨迹所对的圆心角
正、负电子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期均为
由
可得，正、负电子在磁场中运动的时间之比
C错误；
D．由
可得，正、负电子在磁场中运动的向心加速度大小之比
D正确。
故选BD。
31．如图所示，环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场（b区域），圆形a区域内无磁场。设环形区域的内半径，外半径，磁场的磁感应强度。a区域内有一放射源，可向各个方向放射氘核、氚核、氦核三种带电粒子。已知氘核的比荷为，若a区域中沿半径方向射入磁场的速度大小相同三种带电粒子都不能穿越磁场，则粒子的速度可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】
要使沿方向运动的粒子不能穿越磁场，则其在环形区域磁场内的运动轨迹圆中最大者与磁场外边界圆相切，如图所示。设轨迹圆的半径为，则有
代入数据解得
设沿该轨迹圆运动的粒子速度为v，则有
解得
由于三种粒子中比荷最小是氚核（约为氘核的），代入数据得
故AB正确，CD错误。
故选AB。
32．如图为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子（不计重力）第一次以速度v1（沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的（　　）
A．半径之比为
B．半径之比为
C．时间之比为2：3
D．时间之比为3：2
【答案】AC
【详解】
AB．设圆柱形区域为R，粒子运动轨迹如图所示
由几何知识可知
轨道半径之比
B错误A正确；
CD．粒子在磁场中做圆周运动的周期
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角
粒子在磁场中的运动时间
粒子的运动时间之比
D错误C正确。
故选AC。
33．如图所示，半径为R的圆的扇形区域Oab（包括边界）内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一带电粒子（重力不计）从圆心O点沿Oa方向以速度v0射入磁场区域，恰好从垂直于Oa的方向离开磁场，若一群该带电粒子（不计粒子间相互作用）以相同速率v0在扇形平面内从O点沿不同方向依次射入磁场，下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子的比荷为
B．所有带电粒子在磁场中运动的速度偏转角均为
C．所有从ab圆弧边射出的带电粒子的速度偏转角均为
D．从Ob边射出的带电粒子在磁场中的运动时间t≤
【答案】AC
【详解】
A．带电粒子沿Oa方向射入磁场时，沿垂直于Oa方向射出磁场，则速度的偏转角为，粒子从圆弧ab上射出磁场，轨迹圆弧对应的弦长为R，因此带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径
r＝R
又
Bqv0＝m
解得比荷
故A正确；
BC．带电粒子在同一磁场中运动，轨迹圆弧对应的弦长相等，则偏转角相等，所以只有从ab圆弧边射出的带电粒子的速度偏转角为，故B错误，C正确；
D．从Ob边射出的带电粒子的速度偏转角φ满足
0≤φ≤
则带电粒子在磁场中的运动时间t满足
0≤t≤＝
故D错误。
故选AC。
34．如图所示为一圆形区域，O为圆心，半径为R，P为边界上的一点，区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B，电荷量均为q、质量均为m的相同带电粒子a、b（不计重力）从P点先后以大小相同的速度射入磁场，粒子a正对圆心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入时的速度方向成θ角，已知它们在磁场中运动的时间之比为1：2，离开磁场的位置相同，下列说法正确的是（　　）
A．θ＝60°
B．θ＝30°
C．粒子的速度大小为
D．粒子的速度大小为
【答案】AD
【详解】
AB．根据题意，两粒子在磁场中运动的半径和周期都相同，它们离开磁场的位置相同，可知两段圆弧之和应该为一个圆周，因为它们在磁场中运动的时间之比为1：2，则两段圆弧所对圆心角之比为1:2，则a粒子所对应的圆弧的圆心角为120°，b粒子所对应的圆弧的圆心角为240°，则
θ＝60°
选项A正确，B错误；
CD．粒子做圆周运动的轨道半径为
而
可得
选项C错误，D正确。故选AD。
35．如图所示，在一个半径为R的圆形区域（圆心为O）内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个比荷为的带负电粒子，从A点沿AO方向射入匀强磁场区域，最终从C点沿OC方向离开磁场。若粒子在运动过程中只受洛伦兹力作用，则下列说法正确的是（　　）
A．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为
B．带电粒子的速度大小为
C．带电粒子在磁场中运动的时间为
D．带电粒子在磁场中运动的时间为
【答案】AC
【详解】
A．根据几何关系可得
解得
A正确；
B．由向心力公式
解得
B错误；
CD．转过圆心角
C正确，D错误。
故选AC。
36．如图所示，虚线所示的区域内，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，从边缘A处有一束速度各不相同的质子沿半径方向射入磁场，这些质子在磁场区运动过程中:
A．运动时间越长，其轨迹越长
B．运动时间越长，其轨迹对应的圆心角越大
C．运动时间越长，射出的速率越大
D．运动时间越长，射出磁场时速度方向偏转角越大
【答案】BD
【详解】
设磁场区域半径为，轨迹的圆心角为
粒子在磁场中运动的时间为
①
轨迹半径为：
②
洛伦兹力提供向心力，故
解得：
③
粒子的速度越小，根据③式，轨道半径越小；对应的圆心角越大，根据①式，运动时间越长；而速度偏转角等于，故也是速度越大，则速度偏转角越小；
故粒子的运动时间越长，轨迹越短，轨迹对应的圆心角越大，速率越小，速度偏转角越大；
故AC错误，BD正确；
故选BD。
37．如图所示，两个横截面分别为圆形和正方形的区域内有磁感应强度相同的匀强磁场，圆的直径和正方形的边长相等，两个电子以相同的速度分别飞入两个磁场区域，速度方向均与磁场方向垂直，进入圆形磁场的电子初速度方向对准圆心；进入正方形磁场的电子初速度方向垂直于边界，从中点进入。则下面判断正确的是（　　）
A．两电子在两磁场中运动时，其半径一定相同
B．两电子在磁场中运动的时间一定不相同
C．进入圆形磁场区域的电子一定先飞离磁场
D．进入圆形磁场区域的电子一定不会后飞离磁场
【答案】AD
【详解】
A．两个电子以相同的速度分别飞入两个磁感应强度相同的磁场区域，两电子在两磁场中运动时，其半径一定相同，选项A正确；
BCD．电子在磁场中的可能运动情况如图所示
电子从O点水平进入由于它们进入圆形磁场和正方形磁场的轨道半径、速度是相同的，把圆形磁场和矩形磁场的边界放到同一位置如图所示，由图可以看出进入磁场区域的电子的轨迹1，先出圆形磁场，再出正方形磁场；进入磁场区域的电子的轨迹2，同时从圆形与正方形边界处磁场；进入磁场区域的电子的轨迹3，先出圆形磁场，再出正方形磁场；所以电子不会先出正方形的磁场，即进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场。如图轨迹2所示，粒子转过的圆心角是相等的，则运动时间相等。故BC错误D正确。
故选AD。
第II卷（非选择题）
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三、解答题
38．在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其速度选择器底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
【答案】(1)，；(2)（，0）；(3)（0，）；(4)见解析
【详解】
(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为
由得
(2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离
离开电场后，离子在x方向偏移的距离
位置坐标为(，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
经过磁场后，离子在y方向偏转距离
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
则
位置坐标为(0，)
(4)注入晶圆的位置坐标为(，),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。
39．如图所示，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度B，圆形区域右侧有一竖直感光板，质量为m，电量为q重力不计的带正电的粒子以速率从圆弧顶点P平行于纸面进入磁场，PO与感光板平行，P到感光板的距离为2R。
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为，求它打到感光板上的位置距离P点的竖直距离。
【答案】(1)
；(2)
【详解】
(1)粒子在磁场中运动的半径r
解得
带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r=R
，带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图所示
则
(2)当时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为，其运动轨迹如图所示
由图可知
所以带电粒子离开磁场时与水平方向成30°，由几何关系得
解得
40．如图所示，板间距离为h的平行板电容器间在在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。在平行板的右下方与下板延长线相切、以O点为圆心的圆形区域内存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1。一质量为m、带电荷量为+q的粒子（重力不计），从上板边缘P点以水平速度v0射入板间，恰好沿直线从板间通过（粒子运动过程与平行板不接触）。如果撤去板间磁场，该粒子仍然从P点以水平速度v0射入，恰好从下板边缘M点沿MO方向射出平行板，已知MO与竖直方向的夹角为30°，粒子进入磁场后从N点水平射出磁场。求：
(1)粒子到达M点时的速度大小和平行板的板长L；
(2)板间电场的电场强度大小E和板间磁场的磁感应强度的大小B；
(3)圆形磁场区域的半径R；
(4)带电粒子从P点运动到N点的时间t。
【答案】(1)，；(2)，；(3)；(4)
【详解】
(1)粒子经过M点时的速度大小
撤去磁场后，带电粒子在两板间做类平抛运动，设运动时间为t1，则
联立解得
，
(2)根据
解得
磁场和电场同时存在时，粒子在两板间做匀速直线运动
解得
(3)粒子进入磁场后由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，根据牛顿第二定律
由几何关系得
(4)粒子在无场区做匀速直线运动，设运动时间为t2，由几何关系有
解得
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动时间为t3
从P点到N点的时间
41．如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面。有一带正电粒子（质量为m、电荷量为q，重力忽略不计）从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小及方向；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1)、磁场方向垂直纸面向外
；(2)
【详解】
(1)过B点作粒子出射速度方向的垂线交y轴于C点，则C点为电子在磁场中运动轨迹的圆心，画出电子的运动轨迹。由几何知识得
设电子在磁场中运动的轨迹半径为R，
则
得
又由洛伦兹力提供向心力，得
则得
由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外。
(2)粒子在磁场中飞行的周期
qvB
=
mR，
在磁场中飞行时间
带入解得
42．如图所示，在xOy平面坐标系内，以原点O为圆心，R为半径的圆内有磁感应强度为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆外有磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，A点坐标为（0，-R）。
(1)一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以某一速率沿纸面从A点沿y轴正方向射入圆形磁场。求：
Ⅰ．若粒子入射速率为，画出粒子在磁场中运动的轨迹；
Ⅱ．若粒子再次回到A点的时间为（n＞2且n为整数），求粒子入射速度vn满足的关系；
(2)若一中性微粒原本静止在A点，某时刻突然分裂为P、Q两带电微粒，质量分别为m、2m。其中P微粒电荷量为q（q＞0），速度沿y轴正向。判断P、Q能否相撞，若相撞求经过多久相撞，及撞击点位置坐标（不计粒子重力和粒子间的相互作用）。
【答案】(1)Ⅰ.见解析；Ⅱ.（且n为整数）；(2)见解析
【详解】
(1)Ⅰ．由牛顿第二定律可得
联立可得得
轨迹如图所示
Ⅱ．
（取正整数）
代入得
可得
（且n为整数）
(2)对P有
，
由动量守恒有
对Q有
运动半径相同，可画出运动轨迹
可知必然相碰
得
由几何关系可知相遇点坐标为
43．空间存在间距为L的两边界PQ，MN，MN为一收集板，在PQ上有一点O，可同时向右侧平面内沿各个方向均匀发射n个速度大小为v0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子。现有以下两种情况∶①如图甲所示，在边界间加一个方向垂直PQ的匀强电场，两板间电压为；②在边界间加一以O为圆心、半径为L的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，如图乙所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为，其中某个粒子A出磁场时的速度方向恰好平行于收集板MN。不考虑粒子重力和粒子间的相互作用。
(1)①情况下，要使所有粒子都被MN收集到，收集板MN至少有多长；
(2)②情况下，收集板足够大，求先于粒子A飞出磁场的粒子个数以及收集板MN上的收集效率；
(3)②情况下，仅改变磁感应强度大小，收集板足够大，求收集板MN上的收集效率η与磁感应强度B的关系式。
【答案】(1)；(2)33.3%；(3)若，；若，
【详解】
(1)粒子从O点在180°范围内沿不同方向进入匀强电场，其中沿OP和OQ方向进入电场的粒子在电场中做类平抛运动，且打在收集板上的位置最远。
由类平抛知识得
联立解得
故收集板MN的长度至少为
(2)出磁场时的速度方向恰好平行于收集板MN的粒子A的轨迹如图所示
设粒子A射入时与OQ间的夹角为θ，由几何知识可得，粒子A轨迹所对圆心角为α=120°，故粒子A入射方向与OQ成θ=60°角斜向下。经分析可知，从PQ边界上O、P间离开的粒子将早于粒子A离开磁场，而其余的粒子在磁场中运动的时间与粒子A运动的时间相同。
根据几何知识可知从O点进入、从P点射出时，粒子入射方向与OP边所成的夹角为β=60°，故满足题目要求的粒子个数为
人射方向在OQ方向和粒子A入射方向之间的粒子会打到收集板MN上，故此时收集板MN上的收集效率
(3)当沿OQ方向射入磁场的粒子刚好打到MN上，则由几何关系可知该粒子轨迹半径
由牛顿第二定律有
解得
(i)若，即半径，粒子均不能打到MN上，；
(ii)若，即半径，设从磁场边界圆弧上射出的粒子在磁场中运动圆弧对应的圆心角为γ，由几何关系可知
MN上的收集效率
44．如图所示，在一个半径为R、圆心为O的圆形区域内分布着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为q的带正电荷的粒子从磁场的边缘A点沿AO方向射入磁场，从磁场边缘的另一点D离开磁场。已知A、D两点间的距离为R，不计粒子重力，求：
（1）粒子做圆周运动的半径r；
（2）粒子射入磁场时的速度大小v；
（3）粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】（1）R；（2）；（3）
【详解】
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示
由图可知轨迹的半径，圆心为
,根据几何关系可得
(2)粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，即
结合(1)中结果，得
(3)根据几何关系，粒子做圆周运动的圆弧所对应的圆心角=60°
设粒子做圆周运动的周期为T，则有
联立解得粒子的运动时间
45．如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图。在以O为圆心，OH为对称轴，夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点，CM垂直磁场左边界于M，且OM＝d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出，这些离子在CM方向上的分速度均为v0。若该离子束中比荷为的离子都能汇聚到D，试求：
(1)磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；
(2)离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间。
【答案】(1)，垂直纸面向外；(2)；
【详解】
(1)设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R。由
qv0B＝
R＝d
得
B＝
磁场方向垂直纸面向外。
(2)设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，运动时间为t。如图分析有
得
方法一：设弧长为s
s=2（θ+α）×R′
方法二：离子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T=
归纳总结：粒子在有界磁场中运动的常见问题：①粒子圆心的确定，根据半径一定过圆心，并且半径和运动方向垂直，所以入射速度和出射速度的垂线或者入射点和出射点连线的中垂线即为半径。②粒子在磁场中的运动时间等于在磁场中的圆心角和圆周角的比值和周期的乘积。
46．如图所示，在以O为圆心的圆形区域内，有一个方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.1T，圆半径cm，竖直平行放置的金属板连接在如图所示的电路中，电源电动势E=120V，内阻r=5Ω，定值电阻R1=5Ω，滑动变阻器R2的最大阻值为50Ω；两金属板上的小孔S1、S2跟O点在垂直于极板的同一直线上，另有一水平放置的足够长的荧光屏D，O点跟荧光屏D之间的距离m，现有比荷的正离子由小孔S1进入电场加速后，从小孔S2穿出，通过磁场后打在荧光屏D上，不计离子的重力和离子在小孔S1处的初速度，问：
(1)若离子能垂直打在荧光屏上，则此时滑线变阻器接入电路中的阻值R2=？
(2)调节滑动变阻器滑片P的位置不同，离子在磁场中运动的时间也不同，当离子在磁场中运动的时间最长时，求此种情况下打在荧光屏上的位置到屏中心O′点的距离x=？
【答案】(1)
10Ω；(2)20cm
【详解】
解：(1)若离子由电场射出进入磁场后垂直打在荧光屏上，则离子在磁场中速度方向偏转了90°，离子在磁场中做圆周运动的径迹如图所示∶
由几何知识可知，离子在磁场中做圆
周运动的圆半径
设离子进入磁场时的速度为v1，洛伦兹力提供离子做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得∶
解得
设两金属板间的电压为U，离子在电场中加速，由动能定理有
解得
解得
U1=30V
由闭合电路欧姆定律
解得
R2=10Ω
(2)两金属板间的电压越小，离子经电场加速后速度也越小，离子在磁场中作圆周运动的半径越小，射出电场时的偏转角越大，在磁场中运动的时间越长，所以滑片在变阻器R2的右端时，离子在磁场中运动的时间最长。
由闭合电路欧姆定律有
两金属板间电压
由动能定理得
离子轨道半径
解得
r2=0.1m
粒子进入磁场后的径迹如图所示，O1为径迹圆的圆心。
由图可得
所以
α=60°
在△OO′A中，θ=30°，所以A、O′间距离为
x=Htanθ=20cm
47．以O为坐标原点建立平面直角坐标系，坐标系第二象限内的虚线与x轴平行，在与x轴之间存在平行于纸面且沿x轴正方向的匀强电场，第三、四象限内有一中心轴经过y轴、垂直于纸面且横截面如图所示的圆筒，筒内有方向与筒的轴线平行、垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，图中截面圆上有一个小孔P。一带正电的粒子以初速度垂直射入电场，经过一段时间后恰好从P点（此时P与O重合）进入磁场，且运动方向与y轴成角。已知粒子的比荷为k，与x轴之间的距离为d。粒子重力不计。求：
(1)匀强电场的电场强度；
(2)若粒子进入磁场的同时，圆筒绕其中心轴顺时针匀速转动，当筒转过时，该粒子恰好又从小孔P飞出圆筒，已知粒子未与筒壁发生碰撞，求圆筒的直径D以及圆筒转动的角速度。
【答案】(1)；(2)
，
【详解】
(1)粒子在电场中做类平抛运动，从P点进入磁场，且运动方向与y轴成，所以有
又
解得
(2)画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示。由几何知识可得，轨迹的圆心角，由(1)可得，粒子进入磁场时的速度
由洛伦兹力提供向心力，有
得
由几何关系可得
解得
粒子在磁场中做圆周运动的周期
由题意知，圆筒的角速度与粒子在磁场中做圆周运动的角速度大小相等，即
解得
48．如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一电荷量为q，质量为m的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力.求：
(1)粒子在磁场中运动的时间；
(2)圆形区域中匀强磁场的半径。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)粒子运动轨迹如图所示
根据洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力有
解得
周期公式为
联立得
由几何关系可得粒子在磁场中偏转60°，则在磁场中运动的时间为，即
(2)由几何关系可得四边形ODO′E是菱形，则圆形区域中匀强磁场的半径R与粒子运动的轨迹半径r相等，即
49．如图所示，圆形区域半径为R，区域内有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，P为磁场边界上的一点。大量质量均为m，电荷量绝对值均为q的带负电粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向。粒子的轨道半径为2R，粒子重力不计，空气阻力不计。求：
(1)粒子射入磁场的速度大小；
(2)粒子在磁场中运动的最长时间。（要求画图）
【答案】(1)
；(2)
【详解】
(1)由洛仑兹力提供向心力
其中
r=2R
?解得
(2)如图所示，要使带电粒子在圆形磁场中的时间最长，则是以磁场圆直径为弦的轨迹时间最长。由几何系知，此轨迹在磁场的偏转角为?60°
所以最长时间
联立解得
50．如图所示，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，坐标原点O处有一离子源，在关于y轴对称的两虚线范围内，向平面发射速率均为v的离子。在x轴上放置一长为L的收集板，其右端点与坐标原点的距离为，当磁感应强度为时（未知），从O点射出的所有离子均恰好全部被收集板接收。已知离子质量为m，电荷量为，不计重力，整个装置处于真空中，不考虑离子间的碰撞和相互作用。
(1)求磁感应强度的大小和图中虚线与y轴间的夹角；
(2)在所有发射出的离子中，沿哪一方向射出的离子在磁场中运动时间最长？求该最长时间；
【答案】(1)
(2)出射方向与y轴成60度角，指向左上方，
【详解】
(1)洛伦兹力提供向心力
圆周运动的半径
R=L
解得
如图所示
当以最大角θm入射时，有
2Rcosθm=L
解得
(2)由上图可知1轨迹时间最长，出射方向与y轴成60度角，指向左上方，根据几何关系可知对应的圆心角为
粒子运动的最长时间为
51．如图所示，在，内某一区域存在一匀强磁场，方向垂直纸面向里。在直线的上方，直线与之间的区域内，另有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为m、电荷量为的粒子以速度从点垂直于磁场方向射入磁场，当速度方向沿轴正方向时，粒子恰好从（的位置）点正上方的A点沿y轴正方向射出磁场，不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小；
(2)若粒子以速度从点垂直于磁场方向射入磁场，速度方向沿x轴正方向成角（，其中粒子射入第一象限，取正：粒子射入第四象限，取负），为使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，写出磁场边界的轨迹方程。
(3)磁场的边界如题(2)所求，若粒子以速度从点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿轴正方向的夹角时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)当粒子速度沿x轴方向入射，从A点射出磁场时，几何关系知
r=a
由牛顿第二定律得
解得
(2)要使这些粒子射出磁场后在电场中运动的时间相同且最长，则要求进入电场时的速度与电场线平行，设与y轴正方向成θ角的粒子从磁场边界某点P（x，y）射出，由题可知，粒子运动的轨迹对应的圆心角刚好为
，如图，由几何关系可知P点的坐标为
消掉θ1可得边界的曲线方程为
即所加磁场在以（a，0）为圆心，半径为a的圆内，如图中圆所示。
(3)粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO1PO2构成菱形，
故粒子从P点的出射方向与OO1垂直，即与y轴平行；轨迹如图所示；则粒子从O到P所对应的圆心角为θ1=60°，粒子从O到P用时
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离
粒子在电场中做匀变速运动的时间
粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间
粒子由P点第2次进入磁场，从Q点射出，PO1QO3构成菱形；由几何知识可知Q点在x轴上，即为（2a，0）点；粒子由P到Q所对应的圆心角θ2=120°，粒子从P到Q用时
粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间
52．如图甲所示，在直角坐标系xOy平面内，以O点为中心的正方形abcd与半径为3L的圆形之间的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在y轴上有一挡板PQ，挡板长为L，挡板的放置关于x轴对称。a处有一个质子源，，可以向y轴负方向发射出速度从零开始的一系列质子。已知质子的质量为m，电量为q，不计质子的重力、质子间的相互作用，质子碰到档板立即吸收。求：
(1)要使质子不离开圆形区域的最大速度；
(2)质子第一次回到a点的最长时间。
(3)如图乙，如果整个圆内都充满磁感应强度为B的匀强磁场，挡板长度增为2L，挡板的放置仍关于x轴对称，而且a点能在xOy平面内向四周均匀发射的质子，那么，从a点发射出的所有带电粒子中击中挡板左面粒子与击中挡板右面粒子的比。
【答案】(1)
；
(2)
；(3)
由几何关系得，打到挡板左面的粒子所对应的角度为90°，打到挡板右面的粒子所对应的角度也为90°，所以从a点发射出的所有带电粒子中击中挡板左面粒子与击中挡板右面粒子的比为。
【详解】
(1)由洛伦兹力提供向心力得
由题意得到最大的半径
因此得到
(2)计算得到质子做一个完整圆周运动的周期
质子经过a点的最长时间，是以半径为运动的质子，如图所示，在磁场中运动的时间正好为一个圆周运动时间
在没有磁场的区域正好做匀速直线运动，时间
(3)由几何关系得，打到挡板左面的粒子所对应的角度为，打到挡板右面的粒子所对应的角度也为。所以，从a点发射出的所有带电粒子中击中挡板左面粒子与击中挡板右面粒子的比为。如下图所示
【点睛】
本题考查带电粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，并由牛顿第二定律与几何关系相综合解题，注意运动轨迹的半径与圆形磁场半径的区别。
53．如图所示，一带电微粒质量为m=2.0×10-11kg、电荷量q=+1.0×10－5C，从静止开始经电压为U1=100V的电场加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中，微粒射出电场时的偏转角θ=，并接着沿半径方向进入一个垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，微粒射出磁场时的偏转角也为θ=。已知偏转电场中金属板长L=2cm，圆形匀强磁场的半径R=10cm，重力忽略不计。求：
(1)带电微粒经U=100V的电场加速后的速率；
(2)两金属板间偏转电场的电场强度E；
(3)匀强磁场的磁感应强度的大小。
【答案】(1)1.0×104m/s；(2)10000V/m；(3)
【详解】
(1)带电微粒经加速电场加速后速度为v1，根据动能定理
得
=1.0×104m/s
(2)带电微粒在偏转电场中只受电场力作用，做类平抛运动。在水平方向微粒做匀速直线运动。水平方向
带电微粒在竖直方向做匀加速直线运动，加速度为a，出电场时竖直方向速度为
v2=at
竖直方向
由几何关系
联立解得
E=10000V/m
(3)设带电粒子进磁场时的速度大小为v，则
由粒子运动的对称性可知，入射速度方向过磁场区域圆心，则出射速度反向延长线过磁场区域圆心，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示
则轨迹半径为
由
得
54．如图所示，在半径为的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度B，圆形区域右侧有一竖直感光板，质量为m，电量为q重力不计的带正电的粒子以速率从圆弧顶点P平行于纸面进入磁场，PO与感光板平行，P到感光板的距离为2R。
(1)粒子在磁场中运动的半径；
(2)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(3)若粒子对准圆心射入，且速率为，求它打到感光板上的位置距离P点的竖直距离。
【答案】(1)；(2)
；(3)
【详解】
(1)粒子在磁场中运动的半径r
解得
(2)带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r=R
，带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为
，如图所示
则
(3)当
时，带电粒子在磁场中运动的轨道半径为
,其运动轨迹如图所示
由图可知
所以带电粒子离开磁场时与水平方向成30°
解得
55．如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各个方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)求带电粒子在磁场中的最大偏转角。
【答案】(1)
；
(2)60°
【详解】
(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得
则
(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图所示，
通过“动态圆”可以观察到粒子在磁场中的运动轨迹均为劣弧，弧长越长，弧所对应的圆心角越大，则运动时间越长，当粒子的轨迹弧的弦长等于磁场直径时，粒子运动的时间最长，由几何关系知
即φm＝60°。
56．如图所示平面直角坐标系xOy，在（R＞0）区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B，在（2R，0）处有一粒子源，有一质量为m，带电量为+q的粒子以初速度v0方向与x轴负方向夹角为从粒子源射出，若粒子刚好通过（0，0）点，求
(1)发射速率v与夹角应满足的关系
(2)若粒子通过（0，0）点时速度方向沿y轴负方向，则发射角应为多少？（可以用某一三角函数值表示）
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)设粒子在磁场中运动的半径为r，粒子经过(0，0)必有如下几何关系
中由正弦定理
即
中
联立解得
由牛顿第二定律
得
(2)若要使粒子通过(0，0)且速度沿y轴负方向，必在x轴上，如图
中有
得
上式两边同计算余弦，并由诱导公式得
即
联立解得
57．电子质量为
m、电量为
e，从坐标原点
O
处沿
xOy
平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为
v0，如图所示。现在某一区域加方向向外且垂直于
xOy
平面的匀强磁场，磁感应强度为
B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏
MN
上，荧光屏与
y
轴平行，求：
(1)电子在磁场中的运动半径大小；
(2)荧光屏上光斑的长度；
(3)所加磁场范围的最小面积。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【详解】
(1)设粒子在磁场中运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
解得，电子在磁场中的运动半径大小
(2)如图所示，初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点，初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点，由几何知识可得
(3)取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x，y)，因其射出后能垂直打到荧光屏MN上，故有：
x=-Rsinθ
y=R+Rcosθ
即
x2+(y-R)2=R2
又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：
58．如图所示，一个正离子，从A点正对着圆心O以速度v0射入半径为R的绝缘圆筒中，圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，要使带电粒子与圆筒内壁碰撞两次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间ｔ，设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
【答案】
【详解】
由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示
每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为120°。由几何知识可知，离子运动的半径为
离子运动的周期为
又
所以离子在磁场中运动的时间为

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