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绝密★启用前
专题24磁场方向的不确定形成的多解
u试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、多选题
1．如图所示，一粒子源S可向外发射质量为m，电荷量为q带正电的粒子，不计粒子重力，空间充满一水平方向的匀强磁场，磁感应强度方向如图所示，S与M在同一水平线上，某时刻，从粒子源发射一束粒子，速度大小为v，方向与水平方向夹角为θ，SM与v方向在同一竖直面内，经时间t，粒子到达N处，已知N与S、M在同一水平面上，且SM长度为L，NM与SM垂直，匀强磁场的磁感应强度大小可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】
带电粒子与磁感应强度方向成一定角度进入磁场，它的运动是沿磁场方向的匀速直线运动与垂直于磁场方向的匀速圆周运动的合运动，由等时性有
而
T圆＝
联立两式得
B＝?
显然当n=2时
B＝?
；
或者
?，
当n=1时
所以选项AC正确，选项BD错误．
故选AC．
点睛：本题的关键点是带电粒子速度方向与磁场方向不垂直而是成一定夹角，所以带电粒子的运动是匀速直线运动和匀速圆周运动两种运动的合运动，根据运动的独立性和等时性，以及粒子做匀速圆周运动的周期公式（与粒子本身和磁场有关），联立就能求得磁感应强度大小，当然要考虑多解情况．
2．如图甲所示，在平行虚线MN、PQ间有垂直于纸面的交变磁场，两虚线间的距离为d，磁场的磁感应强度随时间变化的规律如图乙所示，磁场变化的周期为T.一质量为m、电荷量为q的带电粒子在虚线MN上的A点以垂直于MN向右射入两虚线间，若磁场的磁感应强度，不计粒子的重力，则下列说法正确的是
A．粒子在磁场中做圆周运动的周期也为T
B．粒子在t=时刻射入，粒子会从虚线MN射出
C．要使粒子在两虚线间能做一个完整的圆周运动，粒子的速度最大可以为
D．要使粒子在两虚线间能做两个完整的圆周运动，粒子的速度最大可以为
【答案】CD
【详解】
A．粒子在磁场中做圆周运动的周期为
选项A错误；
B．粒子在t=T/8时刻射入，在T/8-T/4时间粒子会沿直线向右运动；在T/4-T/2时间内做一个完整的圆周运动回到虚线上；在T/2-3T/4时间粒子又沿直线向右运动，不会从虚线MN射出，选项B错误；
C．要使粒子在两虚线间能做一个完整的圆周运动，粒子的半径为
，则粒子的速度最大为
选项C正确；
D．要使粒子在两虚线间能做两个完整的圆周运动，则粒子在两虚线间的运动满足
其中；解得
选项D正确；
故选CD.
3．如图甲所示，是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场的正方向，图中，一质量为、电荷量为的带正电粒子以速度在时从点沿方向垂直磁场射入，粒子重力不计.则下列说法中正确的是（
）
A．若粒子经时间恰好垂直打在上，则磁场的磁感应强度
B．若粒子经时间恰好垂直打在上，则粒子运动的加速度大小
C．若要使粒子恰能沿方向通过点，则磁场的磁感应强度的大小
D．若要使粒子恰能沿方向通过点，磁场变化的周期
【答案】AD
【详解】
A．若粒子经时间恰好垂直打在CD上，则粒子运动的半径为
R=L
根据
解得磁场的磁感应强度
选项A正确；
B．若粒子经时间t=T0恰好垂直打在CD上，粒子的轨迹必定为3个四分之一圆周，如图，
由几何关系得，运动半径为
r=L
运动中的加速度为
选项B错误；
CD．若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，如图；根据运动的对称性可得，轨道半径满足
2L=2nr′
即
(n=1、2、3、…..)
由洛伦兹力提供向心力得
得
(n=0、1、2、3、….)
粒子圆周运动周期为
磁感应强度变化的周期
T0=T
得
T0=??
(n=0、1、2、3、….)
选项C错误，D正确；
故选AD.
点睛：带电粒子在磁场中的运动的问题，重点就是运动过程的分析，要着重掌握圆周运动的规律，还有相应的数学知识，做到能准确找出原点，明确运动的轨迹．
第II卷（非选择题）
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二、解答题
4．如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。求：
（1）磁感应强度B0的大小；
（2）要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【答案】（1），（2）(n=1，2，3…)。
【详解】
(1)正离子射入磁场，由洛伦兹力提供向心力，即：
qv0B0=
做匀速圆周运动的周期：
T0=
联立两式得磁感应强度：B0=；
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，v0的方向应如图所示，有：
r=
当在两板之间正离子共运动n个周期，即nT0时，有
r=(n=1，2，3…)
联立方程求解，得正离子的速度的可能值为：
v0==(n=1，2，3…)
5．真空中有如图所示的周期性交变磁场，设磁感应强度B垂直纸面向里为正方向，B0=1T，t0=π×l0-5s，k为正整数。某直角坐标系原点O处有一粒子源，在t=0时刻沿x轴正方向发射速度为v0=103m/s的正点电荷，比荷=1×l06C/kg，不计粒子重力。
(1)若k=1，求粒子在磁场中运动的轨道半径和粒子第3次（从O点出发记为第1次）经过y轴时的时刻；
(2)若k=2，求粒子在运动过程中与y轴交点坐标的最大值和最小值；
(3)若t0=10-5s，则k取何值时，粒子可做周期性循环运动回到出发点？并求出循环周期的最小值Tmin和相应的k值。
【答案】(1)0.001m；；(2)；；(3)当取非的正整数时，均可以回到出发点；当时，最小循环周期为
【详解】
(1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由
解得
当时，因为，粒子第3次经过轴时恰好向上经历两个半圆（如图）则时间
(2)当时，，粒子一个循环周期中运动分别为半圆→整圆→半圆→整圆，因此由几何关系得：
与轴交点坐标的最大值为
与轴交点坐标的最小值为
(3)因为，所以粒子先做圆弧运动，之后对的不同值进行分类讨论：
如图可见1、2、3、4时可能的分段情况．
①，粒子做圆弧交替运动，向右上45°方向无限延伸，不会循环运动
②，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
③，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过2个周期回到出发点，循环周期
④，粒子做圆弧与圆弧交替运动，经过4个周期回到出发点，循环周期
当时，运动过程相似，每个周期中均增加（正整数）个圆周，能循环的运动其循环周期均延长．
综上可得：
(1)当取非的正整数时，均可以回到出发点．
(2)当时，最小循环周期为
．
6．如图所示，在第一、四象限有垂直于纸面向里和向外的磁场区域Ⅰ和Ⅱ，OM
是两磁场区域的交界线，两区域磁场磁感应强度大小相同
B
=0.1T，OM
与
x
轴正方向夹角为α。在第二、四象限存在着沿
x
轴正向的匀强电场，电场强度大小E=
1×104V/m。一带正电的粒子,质量m=1.6×10
?24kg、电荷量q=1.6×10?15C，由
x
轴上某点
A
静止释放，经电场加速后从
O
点进入Ⅱ区域磁场（带电粒子的重力不计）
（1）若
OA
距离l1=0.2m，求粒子进入磁场后，做圆周运动的轨道半径大小R1；
（2）要使经电场加速后，从O
点进入磁场的所有带电粒子仅在第一象限区域内运动，设计两磁场区域大小时，角α最大不能超过多少？
（3）若=30°，OM
上有一点
P（图中未画出），距
O
点距离l2=0.3πm。上述带正电的粒子从
x
轴上某一位置
C
由静止释放，以速度
v
运动到
O
点后能够通过
P
点，v
等于多大时，该粒子由
C
运动到
P
点总时间最短，并求此最短时间。
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】
(1)设粒子到O点时速度大小为，从P到O点过程，有
①
得
在磁场中对粒子有
②
得
(2)设粒子进入磁场后，在Ⅰ和Ⅱ磁场区域做圆周运动的半径相同设为r.当a取最大值时，粒子运动轨迹如图
由几何关系可知
③
得
又因为
④
得
要使从0点进入磁场的带电粒子仅在y轴右侧区域运动，不能超过.
(3)设粒子运动至0点速度大小为v，粒子在电场中运动时间为，加速度大小为a，对粒子有
⑤
得
⑥
粒子在磁场中做匀速圆周运动轨道半径为r，周期为T对粒子有
⑦
得
⑧
得
如图由几何关系知
⑨得
粒子每次在任意磁场中运动圆弧的圆心角均为，弦长
假设粒子在磁场中刚好运动到P点时间为，则有
⑩
粒子运动到0点时间为t，则有
代入数据有
当，即：时
此时，将带入
得
假设成立，故粒子运动至P点最短时间为.
7．如图所示，在直角坐标系中，，范围内有两个匀强磁场区域I和II，磁场方向均垂直纸面向里，虚线为它们的分界线，区域I的磁感应强度大小为，区域II的磁感应强度大小可调，点为它们分界线上的某一点，已知。质量为，带电量为的粒子从点沿轴方向射入磁场I中，速度大小为，不计粒子所受重力。求：
(1)粒子不会飞出第一象限，求粒子在区域II磁场中做圆周运动的半径大小应满足的条件；
(2)粒子在第一象限内运动的过程中，恰好能经过点，求区域II磁场的磁感应强度大小的所有可能值。
【答案】(1)，(2)若粒子是从II区通过点，磁感应强度可能为：，；若粒子是从I区通过点，磁感应强度为。
【详解】
(1)两磁场分界线与x轴夹角为，设粒子在磁场I和II区内运动的半径分别是、，粒子在磁场I内运动时，洛伦兹力提供向心力：
解得：
由几何知识：粒子每在磁场I运动一次，到OP直线的位置向前推进，每在磁场II运动一次，到OP直线的位置向后倒退：
粒子不会飞出第一象限，需满足：
解得：
；
(2)
粒子在磁场II内运动时，洛伦兹力提供向心力：
若粒子是从II区通过P点：
解得：
，其中n=1，2，3…
符合条件的有时：
对应：
时：
对应：
若粒子是从I区通过P点：
解得：
，其中n=1，2，3…
符合条件的有时：
对应：
综上所述：若粒子是从II区通过点，磁感应强度可能为：，；若粒子是从I区通过点，磁感应强度为。
8．如图甲所示，比荷=k的带正电的粒子(可视为质点)，以速度v0从A点沿AB方向射入长方形磁场区域，长方形的长AB=L，宽AD=L。取粒子刚进入长方形区域的时刻为0时刻，垂直于长方形平面的磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，粒子仅在洛伦兹力的作用下运动。
（1）若带电粒子在通过A点后的运动过程中不再越过AD边，要使其恰能沿DC方向通过C点，求磁感应强度B0及其磁场的变化周期T0为多少？
（2）要使带电粒子通过A点后的运动过程中不再越过AD边，求交变磁场磁感应强度B0和变化周期T0的乘积B0T0应满足什么关系？
【答案】（1）(n=1，2，3…)，T0=
(n=1，2，3…)，（2）B0T0≤。
【详解】
(1)带电粒子在长方形区域内做匀速圆周运动，设粒子运动轨迹半径为R，周期为T，则可得
解得：R==
周期：
T=
每经过一个磁场的变化周期，粒子的末速度方向和初速度方向相同，如图所示，
要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则经历的时间必须是磁场周期的整数倍，AB方向：
L=n·2Rsinθ
BC方向：
L=n·2R(1－cosθ)
解得：cosθ=1(舍去)，cosθ=
所以θ=60°，又：
R=
即：
B0=(n=1、2、3…)
T0=
(n=1、2、3…)；
(2)
当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过AD边时运动情形如图所示
由图可知粒子在第一个T0时间内转过的圆心角：
θ=
则：
T0≤T
即T0≤·≤
所以：
B0T0≤。
9．如图所示，某平面内有折线PAQ为磁场的分界线，已知∠A＝90°，AP＝AQ＝L．在折线的两侧分布着方向相反，与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点沿PQ方向射出，途经A点到达Q点，不计粒子重力．求粒子初速度v应满足的条件及粒子从P经A到达Q所需时间的最小值．
【答案】
【详解】
根据运动的对称性，粒子能从P经A到达Q，运动轨迹如图所示，
由图可得：L＝nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由几何关系知，偏转圆弧对应的圆心角为或．
设粒子运动轨迹的半径为R，由几何关系可得：2R2＝x2
解得：
又
解得：
当n取奇数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
从P经A到Q的总时间为：
当n取偶数时，粒子从P经A到Q过程中圆心角的总和为：
从P经A到Q的总时间为：
综合上述两种情况，可得粒子从P经A到达Q所用时间的最小值为：
10．如图甲所示，xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t变化的图象如图乙所示，周期均为，y轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．t=0时刻，一质量为m、电荷量为＋q的粒子从坐标原点O开始运动，此时速度大小为，方向为＋x轴方向．已知电场强度大小为，磁感应强度大小，不计粒子所受重力．求：
（1）t0时刻粒子的速度大小及对应的位置坐标；
（2）为使粒子第一次运动到y轴时速度沿－x方向，B0与应满足的关系；
（3）（n为正整数）时刻粒子所在位置的横坐标x．
【答案】(1)
,(
)(2)
(3)
【详解】
（1）在电场中运动，沿着x轴正方向有：
沿着y轴正方向，有：
由牛顿第二定律，有：qE0=ma
运动的速度大小
联立解得：，粒子的位置坐标为
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T，则：
解得：
则粒子第一次运动到y轴前的轨迹如图所示：
粒子在磁场中做圆周运动时，有：
圆心在y周期上，结合几何关系得到：
且
联立解得：
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期为，即在时间内粒子转了半圈，在x方向向左移动，时刻速度大小仍为
，方向与
时刻速度方向相反，在
时间内粒子做匀变速曲线运动，根据对称性可知，粒子运动轨迹与
时间内相同，时刻速度大小为，方向沿着x轴负方向，在
时间内粒子转动半圈，
时刻速度大小为，方向沿着x正方向，如图所示
则
时间内粒子在x方向向左移动的距离为
由几何关系得：
则粒子的横坐标
【点睛】
本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的在电场和磁场中受力情况，确定其运动情况，从而根据运动的性质列出运动方程，本题中最关键是运用几何知识求解坐标．
11．在矩形区域中,存在如图甲所示的磁场区域(包括边界),规定磁场方向垂直纸面向里为正,其中为边界上的一点,且重力可忽略不计的正粒子从点沿方向以初速度射入磁场,已知粒子的比荷为求：
(1)如果在0时刻射入磁场的粒子经小于半个周期的时间从边界上的点离开,则磁场的磁感应强度应为多大?
(2)如果磁场的磁感应强度欲使在小于半个周期的任意时刻射入磁场的粒子均不能由边离开磁场,则磁场的变化周期应满足什么条件?
(3)如果磁场的磁感应强度在边的右侧加一垂直边向左的匀强电场,0时刻射入磁场的粒子刚好经过垂直边离开磁场,再次进入磁场后经过从点离开磁场区域,则电场强度E以及粒子在电场中的路程分别为多大?
【答案】(1)；
(2)；(3)；
【详解】
（1）由题意作出粒子的运动轨迹，如图1所示，
在磁场中，洛伦兹力提供向心力，有
由几何关系，有
解得
由于
解得
；
（2）由可知，粒子运动的半径为
临界情况为粒子从t=0时刻射入，并且轨迹恰好与ad边相切，如图2所示
圆周运动的周期为
；
由几何关系可知，内，粒子转过的圆心角为；
对应运动时间为
应满足
联立可得
（3）根据题意画出粒子的运动轨迹如图3所示
由题意有
得
在电场中有
往返一次用时为
；
应有，可得
，（n=0，1，2…）；
运动的路程为
，（n=0，1，2，3…）
12．如图甲所示，在坐标系xOy的第一象限内存在图乙所示的交变磁场(取垂直纸面向外为正)，OD与x轴正方向的夹角为α，α＝37°，P(4L,3L)是OD上一点．t＝0时刻，一质量为m、所带电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场，经过一定的整周期(交变磁场变化的周期)后粒子恰好能经过原点O，已知粒子的重力不计，sin
37°＝0.6，求：
(1)粒子的运动速度应满足的条件．
(2)交变磁场变化的周期T.
【答案】(1)
(n＝1,2,3，…)　(2)
【解析】
（1）粒子运动的轨迹如图；根据
；由图可知：
(n＝1,2,3，…)，
解得
(n＝1,2,3，…)
（2）粒子运动的周期：
，则磁场变化的周期：

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