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习题课：x?t图象与v?t图象　追及相遇问题
知识点一　x?t图象与v?t图象
项目
x
?t图象
v
?t图象
图象
物理意义
描述物体的位移随时间的变化规律
描述物体的速度随时间的变化规律
纵轴坐标
(1)纵坐标表示物体某时刻的位移坐标，变化量表示物体在某时间内的位移(2)纵坐标变化量的正负表示位移的方向
(1)纵坐标表示物体某时刻的速度，变化量表示物体在某时间内的速度变化量(2)纵坐标变化量的正负表示速度变化量的方向
纵截距
物体的初始位置
物体的初始速度
斜率
斜率的绝对值表示速度的大小，正负表示速度的方向
斜率的绝对值表示加速度的大小，正负表示加速度的方向
交点
两个物体相遇
两个物体在该时刻速度相同
拐点
速度变化
加速度变化
面积
位移(大小和方向)
利用图象求解物理问题的思路
【典例】物体甲的x?t图象和物体乙的v?t图象分别如图所示，则这两个物体的运动情况是(　　)
A.甲在整个t＝6
s时间内有来回运动，它通过的总位移为零
B．甲在整个t＝6
s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4
m
C．乙在整个t＝6
s时间内有来回运动，它的加速度在t＝3
s时改变
D．乙在整个t＝6
s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4
m
【解析】选B。位移—时间图线的斜率为速度，由图甲可以看出，甲在整个6
s时间内斜率不变，运动方向一直不变；它通过的总位移大小为4
m，故A错误，B正确；速度—时间图象与横轴围成的面积为乙在这段时间的位移，它通过的总位移大小为零；斜率表示加速度，所以在6
s内加速度不变，乙在整个6
s时间内速度有正负变化，3
s时运动方向发生改变，故C、D错误。
一个质点沿x轴做匀加速直线运动。其位移—时间图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．该质点的加速度大小为6
m/s2
B．该质点在t＝1
s时的速度大小为2
m/s
C．该质点在0～2
s时间内的位移大小为6
m
D．该质点在t＝0时速度为零
【解析】选D。该质点做匀加速直线运动，则有：x＝v0t＋at2，由图可知，第1
s内的位移为x1＝0－(－2)
m＝2
m，前2
s内的位移为x2＝6
m－(－2)
m＝8
m，代入上式有：2＝v0＋a，8＝2v0＋2a，解得：v0＝0，a＝4
m/s2，故A错误，D正确；该质点在t＝1
s时的速度大小为v＝at＝4×1
m/s＝4
m/s，故B错误；由以上分析知，该质点在0～2
s时间内的位移大小为x2＝8
m，故C错误。
【加固训练】
t＝0时，甲、乙两汽车从相距70
km的两地开始相向行驶，它们的v?t图象如图所示。忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是(　　)
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第4小时末，甲乙两车相遇
C．在第2小时末，甲乙两车相距15
km
D．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
【解析】选D。在第1小时末，乙车的速度仍然为负值，说明汽车的运动方向并未改变，故A错误；在2小时前，甲沿正方向运动，乙沿负方向运动，两者间距越来越大，2～4小时内，甲、乙速度方向相同且甲的速度大于乙的速度，距离逐渐增大，所以在第4小时末，甲、乙两车相距最远，故B错误；在第2小时末，甲、乙两车相距×2×30
km＋×2×30
km＝60
km，选项C错误；图线的斜率大小表示加速度大小，斜率的大小越大，加速度越大，则在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大，故D正确。
知识点二　追及相遇问题
1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系：
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。
2．追及相遇问题常见的情况：
假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：
(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。
(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。
(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。
3．解题思路和方法：
【典例】(2020·广州高一检测)遵纪守法是每个公民应该做到的，任何人不得私自贩卖、运输违禁物品。若一辆装有毒品的汽车以90
km/h的速度在平直公路上匀速行驶，当这辆汽车刚刚驶过一辆警车时，警车立即由静止开始以2.5
m/s2的加速度追去，问
(1)警车经过多长时间截获运毒车？
(2)警车截获运毒车前，两车相距的最大距离是多少？
【解析】(1)90
km/h＝25
m/s
设经过时间t警车追上运毒车，则二者的位移相等，有：
at2＝vt，解得：t＝20
s
(2)当二者速度相等时，二者具有最大距离。
设经过时间t1二者速度相等为25
m/s，则有：
t1＝＝
s＝10
s
此时运毒车的位移为：
x1＝vt1＝25×10
m＝250
m
警车的位移为：
x2＝at＝×2.5×100
m＝125
m
则相距的最远距离为：
Δx＝x1－x2＝(250－125)
m＝125
m
答案：(1)20
s　(2)125
m
1．(多选)甲、乙两物体由同一位置开始沿同一直线运动，其速度—时间图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.开始阶段乙在甲的前面，20
s后乙在甲的后面
B．20
s末，甲追上乙，且甲、乙的速度相等
C．40
s末，甲追上乙
D．在追上前，20
s末两物体相距最远
【解析】选C、D。在0～20
s内乙的速度一直比甲大，乙在甲的前面，甲、乙之间的距离越来越大，20
s末速度相等，在甲追上乙前，速度相等时两者的距离最大；在20～40
s内，甲的速度大于乙的速度，故两物体间距开始变小，根据速度—时间图象与时间轴包围的面积表示位移大小，可知40
s末两质点再次相遇，在相遇之前，乙一直在甲的前面，故选C、D。
2．一辆装满地瓜的三轮车，在金马大道上以72
km/h的速度匀速行驶。当三轮车经过一停在路边的警车旁时，警察发现其超载，2.5
s后警察启动警车，开始追赶。已知警车启动后做匀加速运动，加速度大小为5
m/s2。求：
(1)经多长时间，警车能追上三轮车。
(2)警车追上三轮车前，两车间的最大距离。
【解析】三轮车匀速运动的速度v1＝72
km/h＝20
m/s，
三轮车在t1＝2.5
s内的位移s1＝v1t1＝50
m
(1)设警车运动的时间为t，警车运动的位移
x1＝at2＝t2
三轮车的位移为x2＝v1t＝20t
x1＝x2＋s1
即：t2＝20t＋50
m
解得t＝10
s
(2)当两车的速度相等时；两车间的距离最大，
at2＝v1
解得t2＝4
s
在t2内，三轮车运动的距离x3＝v1t2＝80
m
警车运动的距离x4＝at＝40
m
最大距离为Δx＝x3＋s1－x4＝90
m
答案：(1)10
s　(2)90
m
1．(2021·汉中高一检测)如图所示的位移(x)—时间(t)图象和速度(v)—时间(t)图象中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　)
A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动
B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程
C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远
D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等
【解析】选C。根据位移—时间图象的斜率表示速度，由图象可知：乙图线的斜率不变，说明乙的速度不变，做匀速直线运动。甲做速度越来越小的变速直线运动，故A错误；在t1时刻两车的位移相等，又都是单向直线运动，所以两车路程相等，故B错误；由速度—时间图象与时间轴围成的面积表示位移可知：丙、丁两车在t2时刻面积差最大，所以相距最远，故C正确；0～t2时间内，丙的位移小于丁的位移，时间相等，平均速度等于位移除以时间，所以丙的平均速度小于丁车的平均速度，故D错误。
2.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v?t图象如图所示。已知t＝2
s时甲车在乙车前2.5
m处，则(　　)
A．在t＝1
s时，甲车在乙车前
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5
m
C．两车不能相遇
D．甲、乙两车两次相遇的位置之间沿公路方向的距离为40
m
【解析】选A、C。v?t图象的面积表示位移，
t＝2
s时甲车的位移为：
x甲＝×20×2
m＝20
m
乙车的位移为：
x乙＝×2
m＝30
m
由此可知初始时刻甲车在乙车前面12.5
m，故B错误；
根据图象可知，乙车的初速度为v2＝10
m/s，加速度为a2＝5
m/s2；甲车的初速度为0，加速度为a1＝10
m/s2。根据位移时间公式可得在t＝1
s时，甲车、乙车的位移分别为：
x1＝a1t2＝×10×12
m＝5
m
x2＝v2t＋a2t2＝10×1
m＋×5×12
m＝12.5
m
此时甲、乙两车相距Δx＝x1＋12.5
m－x2＝5
m
所以在t＝1
s时，甲车在乙车前面，故A正确；根据题意和图象可知在t＝2
s之后甲的速度始终比乙的速度大，且此时甲在乙的前方，因此两车不能相遇，故C正确，D错误。
3．甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11
m处，乙车速度v乙＝60
m/s，甲车速度v甲＝50
m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600
m，如图所示。若甲车加速运动，加速度a＝2
m/s2，乙车速度不变，不计车长。求：
(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？
(2)乙车到达终点时，甲车是否已超过乙车。
【解析】(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，
即：v甲＋at1＝v乙
得t1＝5
s
甲车位移：
x甲＝v甲t1＋at＝(50×5＋×2×52)
m＝275
m
乙车位移：x乙＝v乙t1＝(60×5)
m＝300
m
此时两车间距离：
Δx＝x乙＋L1－x甲＝36
m
(2)甲车追上乙车时，位移关系为：
x′甲＝x′乙＋L1
甲车位移：x′甲＝v甲t2＋at
乙车位移：x′乙＝v乙t2
代入数据解得：t2＝11
s
实际乙车到达终点的时间为：
t3＝＝
s＝10
s
所以到达终点时甲车不能超过乙车。
答案：(1)5
s　36
m
(2)乙车到达终点时甲车不能超过乙车

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