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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
01
集合的概念及其运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.集合间的运算：交集、并集、补集等.
2.常以一些特殊符号连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景.
3.常运用数轴或韦恩(Venn)图以及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解.21·cn·jy·com
考题形式多为选择、填空题，题型较为简单.
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出集合与元素的含义.
2.能从教材实例中抽象出两个集合的并集和交集的概念.
逻辑推理：能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系，求参数的取值范围.
数学运算：1.能根据集合之间的关系，利用数形结合的思想求字母的值或取值范围.
2.会求给定子集的补集，交集，并集.
数学建模：能根据具体问题选择集合的表示方法，并能在不同方法之间进行转换.
一、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
二、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A?B或B?A.
(2)真子集：若，且，则(或)．
(3)相等：若A?B，且B?A，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
四、集合的运算性质
并集的性质：
＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.
交集的性质：
＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
补集的性质：
＝U；＝；＝A.
【易错易混提醒】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.【来源：21·世纪·教育·网】
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
考点一　集合的含义
已知集合，则中元素的个数为
（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
答案
A
解析：，当时，；当时，；当时，,所以共有9个元素，选A．
【跟踪练习】（2020·全国高三其他模拟）已知集合，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．以上均不对
答案
B
解析：集合，
集合为正整数中3的倍数构成的集合，，
集合为正整数中6的倍数构成的集合，．．故选：．
【规律方法】
与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
考点二
集合间的基本关系
(1)（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）已知集合，且，则满足条件的集合P的个数是（
）www-2-1-cnjy-com
A．8
B．9
C．15
D．16
答案
D
解析：，所以，又，则满足题意的集合P的个数为24=16，故选：D.
(2)．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由题知，又，
则，解得
故选：A
(3)(2020·南阳一模)已知集合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B?A，则实数m的取值范围为________.2-1-c-n-j-y
答案
解析：A＝{x|－1≤x≤6}.
∵B?A，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意.
当B≠?时，
解得0≤m≤.
得m<－2或0≤m≤.
【跟踪练习】（1）（2021·山东高三模拟）已知集合，若，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C.
解析：由题意知，由知，
故，解得．
故选：C．
(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，3)
B.[1，3]
C.[1，＋∞)
D.(－∞，3]
答案
B.
解析：由log2(x－1)<1，得0由|x－a|<2得a－2因为A?B，所以解得1≤a≤3.
所以实数a的取值范围为[1，3].
（3）（河南省安阳市2021届高三三模）已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D.
解析：，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，综上，实数的取值集合为.故选：D.
【规律方法】
1.若B?A，应分B＝?和B≠?两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
考点三
集合的运算
(1)（2021·北京高考真题）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由题意可得：，即.故选：B.
（2）（2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理））已知集合.，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：，，.
故选：C
【跟踪练习】(1)（2020·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：∵或，．
∴，或.故选：B．
(2)（2021·河南高三三模（文））若全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：由题意，，之间没有包含关系，，
因此．
故选：D．
(3)（2021·天津高三三模）设集合，，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：已知集合，，则，
所以，，，，.故选：A.
【规律方法】
有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：21世纪教育网版权所有
（1）有限集（数集）间集合的运算
求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.
（2）无限集间集合的运算
常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.
(1)（2020·全国高三其他模拟（文））记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由图知，阴影部分所表示的集合是
∵，，全集，
∴，
故选：B.
(2)（2020·南岸区·重庆第二外国语学校高三月考）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：图中阴影部分表示的集合为
故选：B
【跟踪练习】(多选题)．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（
）21·世纪
教育网
A．
B．
C．
D．
答案
BC
解析：依题意，作出Venn图如图所示，
由图知，，，，.
故选：BC.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【规律方法】
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
（1）（2021·广东高三二模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：解：，，
又，
结合数轴可得，所以的取值范围为.
故选：D.
（2）(2021·日照检测)已知集
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)21教育名师原创作品
A.[3，6)
B.[1，2)
C.[2，4)
D.(2，4]
答案
C
解析：因为x2－4x－5<0，解得－1【跟踪练习】(1)（2021·湖南长郡中学模拟）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xcnjy
com
A．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
答案
D
解析：因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1。
【规律方法】
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
考点四
集合的新定义问题
（1）（2021·河北衡水中调研
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
答案
B
解析：由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，共有7个元素，故选B。
（2）（2020·江苏）已知集合A，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，定义A﹣B＝{x|x∈A且x?B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（　　）
A．M﹣（M﹣N）＝N
B．（M﹣N）+（N
﹣M）＝
C．（M+N）﹣M＝N
D．（M﹣N）∩（N
﹣M）＝
答案
D
解析：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x}，
且，
或，
对于A，M﹣（M﹣N）＝M∩
N，故A不正确；
对于B，设，，
则（M﹣N）+（N
﹣M）＝
，故B不正确；
对于C，设，，
则（M+N）﹣M＝，故C不正确；
对于D，根据题中的新定义可得：（M﹣N）∩（N﹣M）＝．
故选：D．
【跟踪练习】（1）（多选题）（2021·全国高三其他模拟）设集合，若，，，则运算可能是（
）
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
答案
AC
解析：由题意可设，，其中，，，，
则，，所以加法满足条件，A正确；，当时，，所以减法不满足条件，B错误；
，，所以乘法满足条件，C正确；，当时，，所以出发不满足条件，D错误.
故选：AC.
（2）（2021·北京高三一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
答案
①②④
解析：对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确；
对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确；
对于③，取，，，，但，故③错误；
对于④，假设具有性质P，即对任意，都有，即对任意，都有，举反例，取，，但，故假设不成立，故④正确；
故答案为：①②④
【规律方法】
与集合有关的创新题目是近几年
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高考的一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．【出处：21教育名师】
1.（2020·新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6
答案
C
解析：由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
2．（2020年高考天津）设全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由题意结合补集的定义可知，则.
故选C．
3.（2020·天津卷）设全集，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析：由题意结合补集的定义可知：，则.
故选C.
4．（2021年浙江卷）设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案
D
解析：由交集的定义结合题意可得：.故选：D.
5．（2021年新高考全国Ⅰ卷）设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析：由题设有，故选：B
.
6.（2020·新课标Ⅱ）已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，则（
）21cnjy.com
A.
{?2，3}
B.
{?2，2，3}
C.
{?2，?1，0，3}
D.
{?2，?1，0，2，3}
答案
A
解析：由题意可得：，则.
7．（2021年高考全国甲卷理数）设集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案
B
解析：因为，所以.
故选：B.
8．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：任取，则，其中，所以，，故，
因此，．故选：C．
9.（2020·新课标Ⅰ）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A.
–4
B.
–2
C.
2
D.
4
答案
B
解析：求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
B
解析：因为，所以与有交点，即方程在有解，
所以，所以，
故“”是“”的必要不充分条件.故选：B
11.（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合或，若，则实数的取值范围是（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
12．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合，，若，则的取值范围为（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：，，
由得，所以.故选：A.
13．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.
14．（2021·江苏高一专题练习）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．集合是“完美集”；
B．若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
C．二元“完美集”有无穷多个；
D．若，则“完美集”A有且只有一个，且；
答案
BCD
解析：已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集”．
故对于A，集合是“完美集”，由于，故A错误；
对于B．、是两个不同的正数，且是“完美集”，
则设，
根据根和系数的关系和相当于的两根，
所以，解得或，所以，
所以、至少有一个大于2，故B正确．
C.根据B一元二次方程根和系数的关系和相当于的两根，
所以，解得或，所以，
对任意的，都有对应的方程的两根和，
所以二元“完美集”有无穷多个，故C正确．
D.设，
则满足，
因为，显然不满足，故，
故，
整理得，
当时，，
由于，所以，，
由于，解得：，
当时，，
又，即，
即，矛盾，故不满足条件，
所以若，则“完美集”A有且只有一个，且，
此时的完美集为2，，故D正确．
故选：BCD．
15．（2021·全国高一课时练习）（多选）若集合，，则集合或（
）
A．
B．
C．
D．
答案
BC
解析：因为集合，，所以，，
或，
所以或，.
故选
：BC
16．（2021·河北邢台市·高二月考）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．是的子集
答案
ACD
解析：由，得或，所以或，，
所以，故A正确；，故B错误；易知，故C正确；又，所以是的真子集，故D正确.
故选：ACD.
17．（2021·江苏高一专题练习）已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
AC
解析：，A.
若B不为空集，则，解得，，，
且，解得．此时．
若B为空集，则，解得，符合题意．
综上，实数m满足或．故选：AC.
18．（2021·全国高一课前预习）设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为且设集合请你写出一个集合A，使得则集合A=___________.【版权所有：21教育】
答案
(答案不唯一)
解析：由题意，知，且A中不再含中的其他任何元素，
而是否再含中的元素则不影响等式，
因此符合题意.
故答案为：(答案不唯一)
19．（2021·乐清市知临中学高一期末）已知全集,非空集合满足:,记表示满足题意的集合解.
(1)请你给定一个符合题意条件的集合,并求出的个数.
(2)若,求集合B.
答案
(1)
(其他符合条件的均可)，24；(2)
；
解析：(1)解:根据题意得,中必须包含,不能包含,
当为可以为,
当为，可以为,
当为，可以为
当为可以为,
当为可以为,
当为可以为,
当为可以为,
的个数为:.
(2)由(1)得.
20．（2021·广东潮州市·高一期末）设全集为，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合．
答案
（1），或或；（2）．
解析：（1），则或，
，或或；
（2），，，解得：，
则实数的取值范围构成的集合为.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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精品试卷·第
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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
01
集合的概念及其运算
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.集合间的运算：交集、并集、补集等.
2.常以一些特殊符号连接两个集合，赋予集合一种新运算，或者给集合一种新背景.
3.常运用数轴或韦恩(Venn)图以及数形结合思想来求解含未知参数的集合间的关系、运算，常用分类讨论求解.www.21-cn-jy.com
考题形式多为选择、填空题，题型较为简单.
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出集合与元素的含义.
2.能从教材实例中抽象出两个集合的并集和交集的概念.
逻辑推理：能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系，求参数的取值范围.
数学运算：1.能根据集合之间的关系，利用数形结合的思想求字母的值或取值范围.
2.会求给定子集的补集，交集，并集.
数学建模：能根据具体问题选择集合的表示方法，并能在不同方法之间进行转换.
一、元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、
、无序性.
(2)元素与集合的关系是
或不属于，表示符号分别为∈和?.
(3)集合的三种表示方法：
、
、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N
(或N＋)
Z
Q
R
二、集合间的基本关系
(1)子集：若对任意x∈A，都有
，则A?B或B?A.
(2)真子集：若，且，则(或)．
(3)相等：若A?B，且
，则A＝B.
(4)空集的性质：?是任何集合的子集，是任何
集合的真子集.
三、集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为?UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈U，且x?A}
四、集合的运算性质
并集的性质：
＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?
.
交集的性质：
＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?
.
补集的性质：
＝U；＝；＝
.
【易错易混提醒】
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2·1·c·n·j·y
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.
考点一　集合的含义
已知集合，则中元素的个数为
（
）
A．9
B．8
C．5
D．4
【跟踪练习】（2020·全国高三其他模拟）已知集合，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．以上均不对
【名师点睛】与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
考点二
集合间的基本关系
(1)（内蒙古赤峰二中2021届高三三模）已知集合，且，则满足条件的集合P的个数是（
）21cnjy.com
A．8
B．9
C．15
D．16
(2)．（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
(3)(2020·南阳一模)已知集合A＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?){x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B?A，则实数m的取值范围为________.21·cn·jy·com
【跟踪练习】（1）（2021·山东高三模拟）已知集合，若，则实数a的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A?B，则实数a的取值范围为(　　)
A.(1，3)
B.[1，3]
C.[1，＋∞)
D.(－∞，3]
（3）（河南省安阳市2021届高三三模）已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
1.若B?A，应分B＝?和B≠?两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
考点三
集合的运算
(1)（2021·北京高考真题）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理））已知集合.，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】(1)（2020·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
(2)（2021·河南高三三模（文））若全集，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
(3)（2021·天津高三三模）设集合，，那么下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
有关集合间运算的试题，在高考中多以客观题的形式出现，且常与函数、方程、不等式等知识相结合，难度一般不大，常见的类型有：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）有限集（数集）间集合的运算
求解时，可以用定义法和Venn图法，在应用Venn图时，注意全集内的元素要不重不漏.
（2）无限集间集合的运算
常结合不等式等内容考查，一般先化简集合，再将集合在数轴上表示出来，最后进行集合运算求范围.
(1)（2020·全国高三其他模拟（文））记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
(2)（2020·南岸区·重庆第二外国语学校高三月考）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（
）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】(多选题)．（2021·全国高三其他模拟）已知集合，是两个非空整数集，若，则下列结论正确的是（
）www-2-1-cnjy-com
A．
B．
C．
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【规律方法】
在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．
（1）（2021·广东高三二模）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）(2021·日照检测
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?))已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)2-1-c-n-j-y
A.[3，6)
B.[1，2)
C.[2，4)
D.(2，4]
【跟踪练习】(1)（2021·湖南长郡中学模拟）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xy.co
m】
A．－1B．a>2
C．a≥－1
D．a>－1
【规律方法】
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
考点四
集合的新定义问题
（1）（2021·河北衡水中调研）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝－1，k∈A}，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
（2）（2020·江苏）已知集合A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x?B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（　　）21世纪教育网版权所有
A．M﹣（M﹣N）＝N
B．（M﹣N）+（N
﹣M）＝
C．（M+N）﹣M＝N
D．（M﹣N）∩（N
﹣M）＝
【跟踪练习】（1）（多选题）（2021·全国高三其他模拟）设集合，若，，，则运算可能是（
）
A．加法
B．减法
C．乘法
D．除法
（2）（2021·北京高三一模）设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题：21
cnjy
com
①若A具有性质P，则A可以是有限集；
②若具有性质P，且，则具有性质P；
③若具有性质P，则具有性质P；
④若A具有性质P，且，则不具有性质P.
其中所有真命题的序号是___________.
【规律方法】
与集合有关的创新题目是近几年高考的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个新趋势，试题出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算，并运用它解决相关的一些问题.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．【出处：21教育名师】
1.（2020·新课标Ⅲ）已知集合，，则中元素的个数为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
6
2．（2020年高考天津）设全集，集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2020·天津卷）设全集，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
4．（2021年浙江卷）设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
5．（2021年新高考全国Ⅰ卷）设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
6.（2020·新课标Ⅱ）已知集合U={?2，?1，0，1，2，3}，A={?1，0，1}，B={1，2}，则（
）21教育网
A.
{?2，3}
B.
{?2，2，3}
C.
{?2，?1，0，3}
D.
{?2，?1，0，2，3}
7．（2021年高考全国甲卷理数）设集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
8．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9.（2020·新课标Ⅰ）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（
）
A.
–4
B.
–2
C.
2
D.
4
10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11.（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合或，若，则实数的取值范围是（
）【版权所有：21教育】
A．
B．
C．
D．
12．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（理））设集合，，若，则的取值范围为（
）21教育名师原创作品
A．
B．
C．
D．
13．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知集合，，若，则实数的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
14．（2021·江苏高一专题练习）已知有限集，如果A中元素满足，就称A为“完美集”下列结论中正确的有（
）21
cnjy
com
A．集合是“完美集”；
B．若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；
C．二元“完美集”有无穷多个；
D．若，则“完美集”A有且只有一个，且；
15．（2021·全国高一课时练习）（多选）若集合，，则集合或（
）
A．
B．
C．
D．
16．（2021·河北邢台市·高二月考）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．是的子集
17．（2021·江苏高一专题练习）已知集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（2021·全国高一课前预习）设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为且设集合请你写出一个集合A，使得则集合A=___________.
19．（2021·乐清市知临中学高一期末）已知全集,非空集合满足:,记表示满足题意的集合解.
(1)请你给定一个符合题意条件的集合,并求出的个数.
(2)若,求集合B.
20．（2021·广东潮州市·高一期末）设全集为，集合，．
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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