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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
02充要条件、全称量词与存在量词
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.
通过对典型数学命题的梳理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，理解充分条件、必要条件，充要条件的意义，理解性质定理与充分、必要条件，充要条件的关系，常以选择题或填空题的形式进行考查.
2.理解全称量词和存在量词的意义；能正确的对含有一个量词的命题进行否定，常以选择题或填空题的形式进行考查.21世纪教育网版权所有
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件、充要条件的关系；
3.理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示；
4.能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的全称、存在量词的命
题与它们的否定在形式上的变化规律.
逻辑推理：1.能进行有关充分条件、必要条件、充要条件的判断；
2.会探求或证明命题的充要条件；
3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假；
4.能正确对含一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2、全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)存在量词：短语“至少有一个”、“有些”、“存在一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“?”表示．21教育网
2．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)
考点一
充分、必要条件的判定
(1)已知p：，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(2)下列选项中，是的必要不充分条件的是　　
A．；：方程的曲线是椭圆
B．；：对，不等式恒成立
C．设是首项为正数的等比数列，：公比小于0；：对任意的正整数，
D．已知空间向量，1，，，0，，；：向量与的夹角是
【规律方法】
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.2·1·c·n·j·y
【跟踪练习】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)【出处：21教育名师】
A.l?α，l⊥β
B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ
D.l?α，m?β，l⊥m
(2)（2021北京高考，3）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（
）【版权所有：21教育】
A．充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考点二
充分、必要条件的应用
已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．21
cnjy
com
【母题探究】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
【规律方法】
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．
解题此类问题时一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
易错警示：求解参数范围，要注意区间端点值的检验．
【跟踪练习】(1)已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
(2)已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．
考点三
充要条件的探求
已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
【规律方法】
探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
【跟踪练习】
(1)(2021·江苏四校质检)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)
A．a≥4
B．a>4
C．a≥1
D．a>1
(2)(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
考点四
判断含有逻辑联结词的命题的真假
(1)(多选题)(2021·山东枣庄三中月考)如下命题中是真命题的选项为(　　)
A．?x0∈(0，＋∞)，＜
B．?x0∈(0,1)，logx0＞logx0
C．?x∈(0，＋∞)，＞logx
D．?x∈，＜logx
(2)(2021·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)
B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)【来源：21·世纪·教育·网】
【规律方法】
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
【跟踪练习】(1)已知命题p1：存在a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；
p2：对任意x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋的值恒为正数；
p3：对任意x∈R，x4p4：存在x0∈R，x－x0＋1<0.
其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知函数f(x)＝，则(　　)
A．?x∈R，f(x)<0
B．?x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．?x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
(3)(多选)(2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是(　　)
A．?x∈R,2x－1＞0
B．?x∈N
，(x－1)2＞0
C．?x∈R，lg
x＜1
D．?x∈R，tan
x＝2
考点五
全称量词命题、存在量词命题的否定
(1)(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“?x∈(0，＋∞)，ln
x＝x－1”的否定是(　　)21cnjy.com
A．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B．?x(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
D．?x(0，＋∞)，ln
x＝x－1
(2)(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B，则p为(　　)21·cn·jy·com
A.?f(x)∈A，|f(x)|?B　
B.?f(x)?A，|f(x)|?B
C.?f(x)∈A，|f(x)|?B　
D.?f(x)?A，|f(x)|?B
【规律方法】
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
【跟踪练习】
命题“，使得”的否定形式是（
）
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
考点六
根据全称量词命题、存在量词命题确定参数的取值范围
(1)已知命题“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞)
B．(0,4]
C．(－∞，4]
D．[0,4)
(2)(多选题)已知命题p：?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　)
A．1　　
B．0　　　　
C．3　　
D．－3
(3)已知函数，，若对，，使得，求实数的取值范围是．
【母题探究】若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．www.21-cn-jy.com
【规律方法】
此类问题的本质是恒成立问题或有解问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【跟踪练习】(1)已知命题p：?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x∈R，x2－a≥0；命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．21·世纪
教育网
(2)已知.
①当时，求证：对任意x∈R，都有；
②如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数的取值范围.
(3)已知函数f
(x)＝x2－2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x＋3，g(x)＝＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f
(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
1.（2021·全国高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.（2021·全国高考乙卷，理3）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.(2020年高考全国Ⅱ卷文理16)设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
②
③
④
6．（2021·江西宜春市·丰城九中高二月考（文））下列说法中错误的个数是（
）
①命题“有”的否定是“有”；
②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③若，则；
④“”是“”成立的充分条件.
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2021·四川眉山市·仁寿一中（理））已知函数，则对任意实数是的（
）
A．充分且必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．不充分且不必要条件
8．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2021·南岸区·重庆第二外国语学校高一月考）下列命题为真命题的是（
）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
10．（2021·广东汕头市·高一期末）下列说法中正确的是（
）
A．命题的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”的必要不充分条件是“”
D．函数的最小值为4
11．（2021·湖南高三其他模拟）已知数列满足，，则下列关于的判断中，错误的是（
）2-1-c-n-j-y
A．，，使得
B．，，使得
C．，，总有
D．，，总有
12．（2021·广东高一期末）下列说法正确的是（
）
A．若命题，，则，
B．命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题
C．命题“，”是真命题
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
13．（2021·山东五莲中学高二期末）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数21世纪教育网子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（
）
A．，
B．，
C．、，
D．函数的值域为
14．（2021·全国高一专题练习）（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（
）
A．有一个，使得成立
B．对有些，成立
C．任选一个，都有成立
D．至少有一个，使得成立
15．（2021·江苏南通市·启东中学高二月考）下列说法错误的是（
）
A．“，”的否定形式是“，”
B．若，则
C．若，则或
D．“是”的充分不必要条件
16．（2021·西藏昌都市第三高级中学高二期末）已知下面四个命题：
①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③命题P：存在，使得，则：任意，都有；
④若P且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题有____________________．
17．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））设p：实数x满足，其中，命题实数满足.21
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（1）若，且为真，求实数x的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：方程表示双曲线.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
19．（2021·全国高一课前预习）已知：关于的不等式，：．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21教育名师原创作品
20．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）已知，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
21．（2021·安徽高三开学考试（文））已知命题p∶关于x的不等式（a>0且a≠1）的解集为{x|x≤-1或x≥3}；命题q∶函数的定义城为R.
（1）若命题q为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若为真命题，求实数a的取值范围.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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精品试卷·第
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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
02充要条件、全称量词与存在量词
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.
通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)条件，充要条件的意义，理解性质定理与充分、必要条件，充要条件的关系，常以选择题或填空题的形式进行考查.
2.理解全称量词和存在量词的意义；能正确的对含有一个量词的命题进行否定，常以选择题或填空题的形式进行考查.
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.能从教材实例中抽象出判定定理与充分条件、充要条件的关系；
3.理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示；
4.能从教材实例中归纳总结出含有一个量词的全称、存在量词的命
题与它们的否定在形式上的变化规律.
逻辑推理：1.能进行有关充分条件、必要条件、充要条件的判断；
2.会探求或证明命题的充要条件；
3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假；
4.能正确对含一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且q?p
p是q的必要不充分条件
p?q且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
p?q且q?p
2、全称量词与存在量词
1．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意”、“每一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)存在量词：短语“至少有一个”、“有些”、“存在一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号“?”表示．21·cn·jy·com
2．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称量词命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
?x∈M，p(x)
?x0∈M，?p(x0)
存在量词命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
?x0∈M，p(x0)
?x∈M，?p(x)
考点一
充分、必要条件的判定
(1)已知p：，q：log2x<0，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　B
解析：　由知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)，由log2x<0知0(2)下列选项中，是的必要不充分条件的是　　
A．；：方程的曲线是椭圆
B．；：对，不等式恒成立
C．设是首项为正数的等比数列，：公比小于0；：对任意的正整数，
D．已知空间向量，1，，，0，，；：向量与的夹角是
答案
解析：
，若方程的曲线是椭圆，则，即且，
即“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件；
，，不等式恒成立等价于恒成立，等价于；
“”是“对，不等式恒成立”必要不充分条件；
是首项为正数的等比数列，公比为，
当，时，满足，但此时，则不成立，即充分性不成立，反之若，则
，，即，
则，即成立，即必要性成立，
则“”是“对任意的正整数，”的必要不充分条件．
：空间向量，1，，，0，，
则，
，，
解得，
故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件．
【规律方法】
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.21cnjy.com
【跟踪练习】(1)(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是(　　)21
cnjy
com
A.l?α，l⊥β
B.l⊥α，m⊥β，l⊥m
C.α⊥γ，β∥γ
D.l?α，m?β，l⊥m
答案　ABC　
解析：　由面面垂直的判定可以判断A，B，C符合题意，对于选项D，l?α，m?β，l⊥m，也可以得到α∥β，D不符合题意.故选ABC.【版权所有：21教育】
(2)（2021北京高考，3）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（
）21
cnjy
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A．充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
A
解析：
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.
考点二
充分、必要条件的应用
已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．2·1·c·n·j·y
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.
则
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
即所求m的取值范围是[0,3]．
【母题探究】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【规律方法】
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．
解题此类问题时一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．【出处：21教育名师】
易错警示：求解参数范围，要注意区间端点值的检验．
【跟踪练习】(1)已知集合A＝，B＝{x|log3(x＋a)≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，0]
解析：　由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，则A＝{x|x≤－2或x≥3}．由log3(x＋a)≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，则B＝{x|x≥3－a}．由题意知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.
(2)已知r>0，x，y∈R，p：|x|＋≤1，q：x2＋y2≤r2，若p是q的必要不充分条件，则实数r的取值范围是________．
答案　
解析：　画出|x|＋≤1表示的平面区域(图略)，由图可得p对应的平面区域是一个菱形及其内部，
当x>0，y>0时，
可得菱形的一边所在的直线的方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为x＋＝1，即2x＋y－2＝0.由p是q的必要不充分条件，可得圆x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝≥r，又r>0，所以实数r的取值范围是.
考点三
充要条件的探求
已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．
解　因为mx2－4x＋4＝0是一元二次方程，所以m≠0.
又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都要有实根，
所以
解得m∈.
因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
所以
所以m为4的约数．
又因为m∈，
所以m＝－1或1.
当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数；
而当m＝1时，两方程的根均为整数，
所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1.
【规律方法】
探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．
【跟踪练习】
(1)(2021·江苏四校质检)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．a≥4
B．a>4
C．a≥1
D．a>1
答案　B
解析：　要使“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以a>4是命题为真的充分不必要条件．
(2)(2021·武汉质检)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．
答案　ac<0
解析：　ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是即ac<0.
考点四
判断含有逻辑联结词的命题的真假
(1)(多选题)(2021·山东枣庄三中月考)如下命题中是真命题的选项为(　　)
A．?x0∈(0，＋∞)，＜
B．?x0∈(0,1)，logx0＞logx0
C．?x∈(0，＋∞)，＞logx
D．?x∈，＜logx
答案
BD
解析：　(1)对于A选项，构造幂函数y＝xx
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0(x0＞0)，因为x0＞0，所以幂函数在(0，＋∞)上单调递增，因为＞，所以＞恒成立，故A是假命题．对于B选项，如图所示，y＝logx的图象为虚线部分，y＝logx的图象为实线部分，显然?x0∈(0,1)，使得logx0＞logx0成立，故B是真命题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
对于C选项，?x∈(0，＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∞)，0＜＜1恒成立，而当x＝时，log＝2，所以＞logx不会恒成立，故C是假命题．对于D选项，?x∈，由指数函数y＝的图象知，该函数在上的函数值恒小于1，由对数函数y＝logx的图象知，该函数在上的函数值恒大于1，所以＜logx恒成立，故D是真命题．故选BD.
(2)(2021·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)
A．?x∈R，f(－x)≠f(x)
B．?x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
答案　C
解析：　设命题p：?x∈R，f(x)＝f(－x)，
∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则綈p是真命题，又綈p：?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)，故选C．
【规律方法】
全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称量词命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
存在量词命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真
【跟踪练习】(1)已知命题p1：存在a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数；
p2：对任意x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋的值恒为正数；
p3：对任意x∈R，x4p4：存在x0∈R，x－x0＋1<0.
其中真命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　A
解析：　p1是真命题，因为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当a＝1时，y＝2x＋2－x在R上为偶函数；p2是假命题，因为当x＝时，y＝sin＋cos＋＝－－＋＝0；p3是假命题，因为当x＝时，4>5，x40，所以不存在x0∈R，x－x0＋1<0.综上知，真命题的个数为1.
(2)已知函数f(x)＝，则(　　)
A．?x∈R，f(x)<0
B．?x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．?x1，x2∈[0，＋∞)，<0
D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f(x1)>f(x2)
答案　B
解析：　幂函数f(x)＝的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．
(3)(多选)(2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是(　　)
A．?x∈R,2x－1＞0
B．?x∈N
，(x－1)2＞0
C．?x∈R，lg
x＜1
D．?x∈R，tan
x＝2
答案
ACD　
解析：
根据指数函数的值域知A是真
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)命题；取x＝1，计算知(x－1)2＝0，故B是假命题；取x＝1，计算知lg
x＝0＜1，故C是真命题；由y＝tan
x的值域为R，知D是真命题．故选ACD.
考点五
全称量词命题、存在量词命题的否定
(1)(2021·淄博市部分学校高三检测)命题“?x∈(0，＋∞)，ln
x＝x－1”的否定是(　　)
A．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B．?x(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C．?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
D．?x(0，＋∞)，ln
x＝x－1
答案
C　
解析：
存在量词命题的否定是全称量词命题，将结论加以否定，所以命题的否定为“?x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1”．
(2)(2021·山东重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B，则p为(　　)
A.?f(x)∈A，|f(x)|?B　
B.?f(x)?A，|f(x)|?B
C.?f(x)∈A，|f(x)|?B　
D.?f(x)?A，|f(x)|?B
答案　C
解析　全称命题的否定为存在性命题：改写量词，否定结论.∴p：?f(x)∈A，|f(x)|?B.
【规律方法】
全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
【跟踪练习】
命题“，使得”的否定形式是（
）
A．，使得
B．，使得
C．，使得
D．，使得
答案
D
解析：
的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
考点六
根据全称量词命题、存在量词命题确定参数的取值范围
(1)已知命题“?x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞)
B．(0,4]
C．(－∞，4]
D．[0,4)
答案
C　
解析：当原命题为真命题时，a>0且Δ＝16－4a<0，所以a>4.故当原命题为假命题时，a≤4.故选C.21世纪教育网版权所有
(2)(多选题)已知命题p：?x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　)
A．1　　
B．0　　　　
C．3　　
D．－3
答案
AC　
解析：因为p为真命题，即方程x2＋2x＋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(2－a)≥0，即a≥1.即实数a的取值范围为[1，＋∞)．因此所有选项中只有A，C满足题意．故选AC.]
(3)已知函数，，若对，，使得，求实数的取值范围是．
答案
解析：
因为在上是增函数，所以；因为
在上是减函数，所以．若命题成立，只要，
则，所以．
【母题探究】若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．21·世纪
教育网
答案　
解析：　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由题意得f(x)min≥g(x)max，即0≥－m，∴m≥.
【规律方法】
此类问题的本质是恒成立问题或有解问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题．一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【跟踪练习】(1)已知命题p：?x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∈R，x2－a≥0；命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．
答案　(－∞，－2]
解析：　由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
(2)已知.
①当时，求证：对任意x∈R，都有；
②如果对任意x∈R，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解
①证明：当时，，因为，所以对任意x∈R，都有.
②因为恒成立，所以恒成立，所以，即解得，即实数的取值范围是.
(3)已知函数f
(x)＝x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2－2x＋3，g(x)＝＋m，对任意的x1，x2∈[1,4]有f
(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
答案
(－∞，0)　
解析：f
(x)＝x2－2x＋3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝(x－1)2＋2，当x∈[1,4]时，f
(x)min＝f
(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f
(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0.故实数m的取值范围是(－∞，0)．
1.（2021·全国高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案
B
解析：
由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
2.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin
α＝sin
β”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析：
若存在k∈Z使得α＝kπ＋(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)－1)kβ，则当k＝2n(n∈Z)，α＝2nπ＋β，有sin
α＝sin(2nπ＋β)＝sin
β；当k＝2n＋1(n∈Z)，α＝(2n＋1)π－β，有sin
α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin
β.
若sin
α＝sin
β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，
即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).故选C.
3.(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析：　由m，n，l在同一平面内，可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.
4.（2021·全国高考乙卷，理3）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：
由于，所以命题为真命题；由于，所以，所以命题为真命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A．
5.(2020年高考全国Ⅱ卷文理16)设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是
．
①
②
③
④
答案
①③④
解析：
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理与的交点也在平面内，∴，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．
综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．
6．（2021·江西宜春市·丰城九中高二月考（文））下列说法中错误的个数是（
）
①命题“有”的否定是“有”；
②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；
③若，则；
④“”是“”成立的充分条件.
A．1
B．2
C．3
D．4
答案
C
解析：命题“有”的否定是“有”，故①错；
若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题与逆命题互为逆否，所以也一定为真命题，故②对；
因为，，或，故③错；
“”
即，即，故“”是“”成立的必要条件，故④错，故选：C.
7．（2021·四川眉山市·仁寿一中（理））已知函数，则对任意实数是的（
）
A．充分且必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．不充分且不必要条件
答案
A
解析：由可得在上是增函数
因为
所以是奇函数
所以由可得，，
反之，由可得，，
所以对任意实数是的充分且必要条件故选：A
8．（2021·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案
A
解析：当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
9．（2021·南岸区·重庆第二外国语学校高一月考）下列命题为真命题的是（
）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
答案
ACD
解析：A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
10．（2021·广东汕头市·高一期末）下列说法中正确的是（
）
A．命题的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“”的必要不充分条件是“”
D．函数的最小值为4
答案
BC
解析：对于A.命题的否定是“，”，故A错误；
对于B.
等价于，解得或故“”是“”的充分不必要条件，B正确；
对于C.由可知，则即反之,不成立，所以“”
是“”的必要不充分条件，C正确；
对于D.当且仅当，即取等号，显然等号无法取得，故最小值不是4，设，则
在上为减函数，当时，取最小值5，故D错误；
故选：BC.
11．（2021·湖南高三其他模拟）已知数列满足，，则下列关于的判断中，错误的是（
）
A．，，使得
B．，，使得
C．，，总有
D．，，总有
答案
ABC
解析：（1），时，，，仅当，即时成立等号，故A错误；
（2）当时，由（1）知，，不成立，当时，由（1）知，，，所以，故B错误；
（3）由（1）知，，使得，故，不成立，故C错误；（4）同（3）分析，可知D正确．故选：ABC
12．（2021·广东高一期末）下列说法正确的是（
）
A．若命题，，则，
B．命题“梯形的对角线相等”是全称量词命题
C．命题“，”是真命题
D．“是无理数”是“是无理数”的充要条件
答案
BD
解析：对于A选项，命题，，则，，A错；
对于B选项，命题“梯形的对角线相等”即为“任意梯形的对角线相等”是全称量词命题，B对；
对于C选项，对于方程，，C错；
对于D选项，充分性：若是无理数，则是无理数，充分性成立；
必要性：若是无理数，则是无理数，必要性成立.
故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，D对.
故选：BD．
13．（2021·山东五莲中学高二期末）对，表示不超过的最大整数，十八世纪，被“数21世纪教育网子“高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（
）
A．，
B．，
C．、，
D．函数的值域为
答案
CD
解析：对于AB选项，当时，；
当时，设，则，则．
综上，，AB选项均错误；
对于D选项，∵，则，
所以，函数的值域为，D选项正确；
对于C选项，由上可知，，设，则．
若，则；
若，则．
综上，、，，C选项正确.
故选:CD．
14．（2021·全国高一专题练习）（多选）下列命题是“，”的表述方法的是（
）
A．有一个，使得成立
B．对有些，成立
C．任选一个，都有成立
D．至少有一个，使得成立
答案
ABD
解析：命题“，”中表示有些、有的、存在的意思，是特称命题，故选项ABD正确；
选项C中任选一个，表示对所有的是全称命题，故选项C不正确；
故选：ABD
15．（2021·江苏南通市·启东中学高二月考）下列说法错误的是（
）
A．“，”的否定形式是“，”
B．若，则
C．若，则或
D．“是”的充分不必要条件
答案
ABD
解析：对于A：“，”的否定形式是“，”，故A错误；
对于B：若，，则，故B错误；
对于C：若，则且，所以：若，则或，故C正确．
对于D：当，时，成立，不成立
，
故不是的充分条件，故D错误．
故选：ABD
16．（2021·西藏昌都市第三高级中学高二期末）已知下面四个命题：
①“若，则或”的逆否命题为“若且，则”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③命题P：存在，使得，则：任意，都有；
④若P且q为假命题，则p，q均为假命题．
其中真命题有____________________．
答案
①②③.
解析：对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题；
对于②时，一也成立，所以“”是“一”的充分不必要条件，故②是真命题；
对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题“；
对于④命题，中只要有一个为假命题，“且”为假命题，故④是假命题，
故答案为：①②③.
17．（2021·云南省楚雄天人中学高二月考（理））设p：实数x满足，其中，命题实数满足.21教育网
（1）若，且为真，求实数x的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
答案（1）；（2）
解析：（1）当时，
因为为真，所以均为真命题，
所以
所以实数x的取值范围
（2）因为，，所以
因为p是q的必要不充分条件，
所以是的真子集，
如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
所以，解得经检验成立
所以实数的取值范围为
18．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：方程表示双曲线.www.21-cn-jy.com
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.
答案（1）；（2）.
解析：（1）当命题为真命题时，可得，解得；
当命题为真命题时，可得，解得，
因为命题为真命题，所以命题，均为真命题，
即，解得，所以实数的取值范围是.
（2）由命题为真命题，为假命题，可得命题与一真一假，
当真假时，可得，解得；
当假真时，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
19．（2021·全国高一课前预习）已知：关于的不等式，：．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
答案
．
解析：由题意，知，
当时，，满足题意；
当时，，
因为当，即时，，，不合题意；
所以要使，应有，解得，
综上知，实数的取值范围是．
20．（2021·湖南省邵东市第三中学高一月考）已知，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21教育名师原创作品
答案
解析：由不等式，解得，
又由，
因为，可得，
因为q是p的必要不充分条件，
则满足且等号不同时成立
，解得，
所以实数m的取值范围．
21．（2021·安徽高三开学考试（文））已知命题p∶关于x的不等式（a>0且a≠1）的解集为{x|x≤-1或x≥3}；命题q∶函数的定义城为R.
（1）若命题q为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若为真命题，求实数a的取值范围.
答案（1）；（2）（1，+∞）.
解析：（1）若命题为假命题，则命题q为真命题.
当a=0时，f(x)=lg(-2x+2)，定义域为，不符合题意；
当a≠0时，若f(x)的定义城为R，则的解集为R，
∴，解得或，
综上，实数a的取值范围为；
（2）当命题p为真命题时，
∵的解集为{x|x≤-1或x≥3}，∴a>1
∵pq为真命题，∴p，q都为真命题.
由（1）知，命题q为真命题时，或.
∴实数a的取值范围为(1,+∞).
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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精品试卷·第
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