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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
03不等式与不等关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
不等式内容在高考中通过两面考查
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生数学素质及创新意识.21教育网
1.会比较两个数(式)的大小；
2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
数学抽象：了解现实世界和日常生活中的相等关系与不等关系，理解不等式的概念.
逻辑推理：会用不等式（组）表示简单的不等关系.
数学运算：理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小.
一、两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0?a>b；
②a－b＝0?a＝b；
③a－b<0?a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0)?a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0)?a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0)?a0)．
二、不等式的性质
(1)对称性：a＞b?______.
(2)传递性：a＞b，b＞c?______.
(3)可加性：a＞b?________；a＞b，c＞d?___________.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?________；a＞b，c＜0?________；a＞b＞0，c＞d＞0?______.
(5)可乘方：a＞b＞0?________(n∈N，n≥2)．
(6)可开方：a＞b＞0?________(n∈N，n≥2)．
【拓展提升】
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0?＜；(2)a＜0＜b?＜；(3)a＞b＞0，0＜c＜d?＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)
(2)＞；＜(b－m＞0)．
考点一　比较大小与不等式的性质
(1)（2021春?金安区校级月考）已知P，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≤Q
D．无法确定
(2)(2021·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若aB．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
(3)(多选题)(2021·南京调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜
B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－
D.ln
a2＞ln
b2
【规律方法】
1．比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差?变形?判断差与0的大小?得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论
2．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．21·cn·jy·com
3．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F(
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．www.21-cn-jy.com
【跟踪练习】（1）(2021·盐城模拟)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A.ab＞ac
B.c(b－a)＜0
C.cb4＜ab4
D.ac(a－c)＞0
（2）（2021·全国高三其他模拟（文））设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
考点二　利用不等式的性质求范围
（1）(2021·山东泰安期末)已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
（2）如果，试求的取值范围.
【规律方法】
利用不等式的性质求取值的范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.2-1-c-n-j-y
【跟踪练习】（1）（2020春?西城区校级月考）已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么2a﹣b的取值范围是　　．【来源：21cnj
y.co
m】
（2）（2020春?涞水县校级月考）已知﹣6＜a＜8，2＜b＜3，分别求2a+b，a﹣b，的取值范围．【出处：21教育名师】
考点三　证明不等式
（2020·全国高三其他模拟（文））已知，，为正数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
考点四　不等式的实际应用
（2020秋?天元区校级月考）甲
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点？
【跟踪练习】某单位组织职工去某地参观学习
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按票价的8折优惠.”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.21cnjy.com
【规律方法】
（1）“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.【版权所有：21教育】
（2）这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完善.
1．（2021·全国高三其他模拟）若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．(多选题)(2020·泰安市高三期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D．若a＞b，c＞d＞0，则＞
3.
(2020·无锡模拟)设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(　　)21世纪教育网版权所有
A.mn≥4且p＋q≤4
B.m＋n≥4且pq≤4
C.mn≤4且p＋q≥4
D.m＋n≤4且pq≤4
4．（2021·沙坪坝·重庆八中高三其他模拟）已知，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5.(2020年上海卷13)下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab
B．a2+b2≥﹣2ab
C．a+b≥2
D．a2+b2≤﹣2ab
6．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）若，，，，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·黑龙江佳木斯一中高三三模（文））已知，，且，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·重庆一中高三其他模拟）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（
）2·1·c·n·j·y
A．
B．
C．
D．
9．（2021·广东）若为实数，且，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·江苏泰州·高三其他模拟）已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（
）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
11.
若012.（2021?湖北模拟）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．c2＜cd
B．a﹣c＜b﹣d
C．ac＞bd
D．0
13.（2020秋?玄武区校级月考）（1）已知a，b均为正实数．试比较a3+b3与a2b+ab2的大小；21·世纪
教育网
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与1+a的大小．
14．（2020·全国高三二模（文））已知，，为正数，且满足，证明：
（1）；
（2）.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例1
例3
例4
真题演练
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精品试卷·第
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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
03不等式与不等关系
考纲对本模块内容的具体要求如下：
不等式内容在高考中通过两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融会贯通，从而提高学生数学素质及创新意识.21世纪教育网版权所有
1.会比较两个数(式)的大小；
2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
数学抽象：了解现实世界和日常生活中的相等关系与不等关系，理解不等式的概念.
逻辑推理：会用不等式（组）表示简单的不等关系.
数学运算：理解实数比较大小的基本事实，初步学会用作差法比较两个实数的大小.
一、两个实数比较大小的方法
(1)作差法
①a－b>0?a>b；
②a－b＝0?a＝b；
③a－b<0?a(2)作商法
①>1(a∈R，b>0)?a>b(a∈R，b>0)；
②＝1(a∈R，b≠0)?a＝b(a∈R，b≠0)；
③<1(a∈R，b>0)?a0)．
二、不等式的性质
(1)对称性：a＞b?b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c.
(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2)．
(6)可开方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)．
【拓展提升】
1．倒数性质的几个必备结论
(1)a＞b，ab＞0?＜；(2)a＜0＜b?＜；(3)a＞b＞0，0＜c＜d?＞；
(4)0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?＜＜.
2．两个重要不等式
若a＞b＞0，m＞0，则：
(1)＜；＞(b－m＞0)
(2)＞；＜(b－m＞0)．
考点一　比较大小与不等式的性质
(1)（2021春?金安区校级月考）已知P，Q＝a2﹣a+1，则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q
B．P＜Q
C．P≤Q
D．无法确定
答案
C
解析：∵P0，
Q＝a2﹣a+1＝（a）20，
（a2﹣a+1）（a2+a+1）＝（a2+1）2﹣a2＝（a2）2+a2+1≥1，故Q≥P
当且仅当a＝0时取等号．故选：C．
(2)(2021·新乡模拟)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若aB．若ab>0，bc－ad>0，则－<0
C．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D．若a>b，c>d>0，则>
答案　C
解析：　若0(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)d，故选项A错误；若ab>0，bc－ad>0，则>0，即－>0，故选项B错误；若a>b，c>d，则－d>－c，所以a－d>b－c，故选项C正确；若c>d>0，则>>0，若a>b>0，则>，故选项D错误．21·cn·jy·com
(3)(多选题)(2021·南京调研)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜
B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－
D.ln
a2＞ln
b2
答案　AC
解析：　由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即A正确；www.21-cn-jy.com
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故C正确；
D中，因为b＜a＜0，根据y＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln
x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln
b2＞ln
a2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.
【规律方法】
1．比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差?变形?判断差与0的大小?得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商?变形?判断商与1的大小?得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论
2．判断不等式是否成立的方法
(1)不等式性质法：直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质时要特别注意前提条件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除错误答案．
(3)单调性法：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．www-2-1-cnjy-com
3．利用不等式的性质求取值范围的方法
(1)已知x，y的范围，求F(x，y)的范围．可利用不等式的性质直接求解．
(2)已知f(x，y)，g(x，y)的范围，求F(x，y)的范围．
可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．2·1·c·n·j·y
【跟踪练习】（1）(2021·盐城模拟)已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是(　　)2-1-c-n-j-y
A.ab＞ac
B.c(b－a)＜0
C.cb4＜ab4
D.ac(a－c)＞0
答案
A
解析：　因为a，b，c满足c＜b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＜a，且ac＜0，所以c＜0＜a.对于A，因为b＞c，a＞0，所以ab＞ac，故A正确；对于B，因为b＜a，c＜0，所以b－a＜0，c＜0，所以c(b－a)＞0，故B不正确；对于C，因为c＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正确；对于D，因为ac＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故D不正确，故选A.21cnjy.com
（2）（2021·全国高三其他模拟（文））设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：，，，
所以，故选：C.
考点二　利用不等式的性质求范围
（1）(2021·山东泰安期末)已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．21
cnjy
com
答案
(－π，2π)　
解析
设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.
∴，解得，∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)．由－＜α－β＜得－π＜2(α－β)＜π，∴－π＜3α－β＜2π.【版权所有：21教育】
（2）如果，试求的取值范围.
解析：因为，所以，即.
又因为，所以.
因为，所以，于是.
【规律方法】
利用不等式的性质求取值的范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.21教育网
【跟踪练习】（1）（2020春?西城区校级月考）已知1＜a＜3，2＜b＜4，那么2a﹣b的取值范围是　　．21
cnjy
com
答案
（﹣2，4）
解析：∵1＜a＜3，∴2＜2a＜6，∵2＜b＜4，
∴﹣4＜﹣b＜﹣2，则﹣2＜2a﹣b＜4．故答案为：（﹣2，4）．
（2）（2020春?涞水县校级月考）已知﹣6＜a＜8，2＜b＜3，分别求2a+b，a﹣b，的取值范围．
解析：∵﹣6＜a＜8，∴﹣12＜2a＜16，
又∵2＜b＜3，∴﹣10＜2a+b＜19．∵2＜b＜3，∴﹣3＜﹣b＜﹣2，∴﹣9＜a﹣b＜6．
∵2＜b＜3，∴，∵﹣6＜a＜8，∴﹣34．
考点三　证明不等式
（2020·全国高三其他模拟（文））已知，，为正数，且满足.证明：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
证明：（1）由，
所以，
即（当且仅当时取等号）.
（2）由（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号），
有（当且仅当时取等号），
（当且仅当时取等号）
所以.
考点四　不等式的实际应用
（2020秋?天元区校级
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)月考）甲乙两人同时同地沿同一路线走向同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，问甲乙两人谁先到达指定地点？
解析：设总路程s，甲用时间t1，乙用时间t2．
则，所以．
，
因为m≠n，所以，（m+n）2＞4mn，所以．
所以，．t1＜t2．即：甲先到达．
【跟踪练习】某单位组织职工去
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按票价的8折优惠.”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.【来源：21cnj
y.co
m】
解析：设该单位职工有人，全票价为元，坐甲车需花元，坐乙车需花元，则，.当时，；当时，；当时，.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.【出处：21教育名师】
【规律方法】
（1）“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
（2）这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完善.
1．（2021·全国高三其他模拟）若，则下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
CD
解析：由，知，则
，所以，故A不正确；
因为，只有时等号成立，但，故故B不正确；因为，，所以，故C正确；因为，，所以，故D正确．
故选：CD．
2．(多选题)(2020·泰安市高三期末)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0
C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D．若a＞b，c＞d＞0，则＞
答案
BC　
解析：若a＞0＞b,0＞c＞d，则ac＜b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)d，故A错；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，故D错．故选BC．
3.
(2020·无锡模拟)设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(　　)
A.mn≥4且p＋q≤4
B.m＋n≥4且pq≤4
C.mn≤4且p＋q≥4
D.m＋n≤4且pq≤4
答案　A
解析　结合定义及m?n≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；
结合定义及p?q≤2，可得或即q4．（2021·沙坪坝·重庆八中高三其他模拟）已知，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
AB
解析：由于，且，所以，所以，且，，，A正确；
因为，即，B正确；
令，，，则，，C，D错误．故选：AB．
5.(2020年上海卷13)下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab
B．a2+b2≥﹣2ab
C．a+b≥2
D．a2+b2≤﹣2ab
答案
B
解析：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；
C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2不成立，故C错误；
D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选B．
6．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）若，，，，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：对于，若，则，故错误；
对于，取，，则，故错误．
对于，若时，，故错误；
对于，因为，所以，又，所以，故正确；故选：．
7．（2021·黑龙江佳木斯一中高三三模（文））已知，，且，则下列说法是正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：A：当，时，，∴A错误，
B：设，则函数为上的增函数，
∵，∴，即，∴B错误.
C：∵为上的减函数，，∴，即，∴C正确，
D：当，时，，∴D错误.
故选：C.
8．（2021·重庆一中高三其他模拟）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则与大小关系一定是（
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A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：∵且，
∴，即.
令，得：，
∴，所以.故选：C
9．（2021·广东）若为实数，且，则下列命题正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：对于A，当时，，A错误；
对于B，当，时，，，此时，B错误；
对于C，因为，所以，又，，C错误；
对于D，，，，，
，D正确.
故选：D.
10．（2021·江苏泰州·高三其他模拟）已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
答案
AB
解析：因为函数有两个零点，
所以，所以，
令=0，所有两个零点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以选项A正确；
因为，
所以因为，
所以，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
所以，所以选项D错误.故选：AB
11.
若0答案　a<2ab<解析　∵01且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2＋<.即a<2ab<.
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.
∵12.（2021?湖北模拟）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　　）
A．c2＜cd
B．a﹣c＜b﹣d
C．ac＞bd
D．0
答案
AD
解析：因为a＞b＞0＞c＞d，所以a＞b＞0，0＞c＞d，
对于A，因为0＞c＞d，由不等式的性质可得c2＜cd，故选项A正确；
对于B，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则a﹣c＝3，b﹣d＝3，所以a﹣c＝b﹣d，故选项B错误；【来源：21·世纪·教育·网】
对于C，取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝﹣2，bd＝﹣2，所以ac＝bd，故选项C错误；21·世纪
教育网
对于D，因为ad＜0，bc＜
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0，因为a＞b＞0，d＜c＜0，则ad＜bc，所以，故，故选项D正确．故选：AD．
13.（2020秋?玄武区校级月考）（1）已知a，b均为正实数．试比较a3+b3与a2b+ab2的大小；
（2）已知a≠1且a∈R，试比较与1+a的大小．
解析：（1）∵a，b均为正实数，
∴a3+b3﹣a2b﹣ab2＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，即a3+b3≥a2b+ab2，
（2）∵（1+a）．
①当a＝0时，0，∴1+a．
②当a＜1且a≠0时，0，∴1+a．
③当a＞1时，0，∴1+a．
综上所述，当a＝0时，1+a；
当a＜1且a≠0时，1+a；
当a＞1时，1+a．
14．（2020·全国高三二模（文））已知，，为正数，且满足，证明：
（1）；
（2）.
答案（1）证明见解析；（2）证明见解析.
证明：（1）因为，，为正数，且.
所以不等式等价于
，即等价于.
因为，，为正数，所以，，，
所以，
即，当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
（2）因为，，为正数，且，
所以原式
.
当且仅当时等号成立.
所以，，为正数时，成立.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例1
例3
例4
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精品试卷·第
2
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