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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
04一元二次不等式的解法
考纲对本模块内容的具体要求如下：
一元二次不等式是高中数学的基本内容，是高考热点，命题形式为在选择题、填空题考查基本解法，在解答题中作为一个数学工具解决一些问题.
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
2.会解一元二次不等式．
数学抽象：能从教材实例中抽象出一元二次不等式的概念.
逻辑推理：理解一元二次不等式的解法，会求简单的一元二次不等式的解集.
数学运算：掌握一元二次不等式的概念，会解一元二次不等式.
一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2.一元二次不等式的解集
一般地，使某个一元二次不等式成立的的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
二、二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
空集
空集
三、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a空集
{x|b简单分式不等式与整式不等式
若与是关于的多项式，则不等式>0（或<0，或≥0，或≤0）称为分式不等式.
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.
>0?f(x)·g(x)>0.
(2)
<0(<0)?f(x)·g(x)<0.
(3)
≥0?f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0.
(4)
≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.
五、不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
考点一　一元二次不等式的解法
考法1　不含参数的一元二次不等式的解法
(1)（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：因为集合或，
集合，故，
故选：C.
（2）不等式的解集是（
）
A．或
B．
C．
D．或
答案
A
解析：，原不等式可化为，
在上单调递增，，即，
解得：或，不等式的解集为或.
故选：A.
【跟踪练习】（1）不等式的解集是_________．
【解析】不等式等价于，
即，解得：或，所以原不等式的解集为：，
考法2　含参数的一元二次不等式的解法
（1）(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解析　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0，
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1；
②当a>0时，原不等式化为，解得x≥或x≤－1；
③当a<0时，原不等式化为.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为x|x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
（2）解关于不等式的解集，下列说法正确的是（
）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
答案
BD
解析：因为，所以，
当时解集为：，
当时解集为：，
当时解集为：，故选：BD
考法3　三个“二次”的应用
（1）(2021·连云港调研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－答案　{x|x≥3或x≤2}
解析:　由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.
（2）若一元二次方程的两根为2，，则当时，不等式的解集为___.
解析：由题意，∴，题中不等式为，
∵，∴，解得．故答案为：
【规律方法】
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式.
(2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根.
(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
3.解含参不等式的分类讨论依据
【跟踪练习】（1）(2020·天津南开中学月考改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2－3x，则方程f(x)＝－x＋3的根是x＝________，不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是________．
答案
3　(4，＋∞)　
解析：
由当x≤0时，f(x)＝－x2－3x，f(x)是定义在R上的奇函数，得当x＞0时，f(x)＝x2－3x，所以当x≤0时，方程f(x)＝－x＋3即－x2－3x＝－x＋3，无解；当x＞0时，方程f(x)＝－x＋3即x2－3x＝－x＋3，解得x＝3或x＝－1(舍去)．则方程f(x)＝－x＋3的根是x＝3.当x－1＞0时，由f(x－1)＞－x＋4，得(x－1)2－3(x－1)＞－x＋4，得x＞4；当x－1≤0时，由f(x－1)＞－x＋4，得－(x－1)2－3(x－1)＞－x＋4，无解．所以不等式f(x－1)＞－x＋4的解集为(4，＋∞)．
（2）关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(1，3)
C.(－1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
答案　C
解析　关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1【跟踪练习】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为?；当0综上，当0当a>1时，不等式的解集为.
考点二　一元二次不等式的恒成立问题
考法1　一元二次不等式在实数集R上恒成立问题
(1)(2020·潍坊调研)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2，2)
D.(－2，2]
答案　D
解析：　当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，
则有解得－2综上，实数a的取值范围是(－2，2].
（2）（2021·重庆两江新区西南大学附属中学校高二开学考试）在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：原不等式等价于，即对任意x恒成立.
，所以，解得，故选：D
【跟踪练习】（2021·湖南常德市·高一月考）已知函数，其中a为常数.
（1）若对任意的，，求的解集；
（2）对于任意的都有不等式成立
，求a的取值范围.
答案
（1）；（2）.
解析：（1）对任意的，，
所以关于对称，
所以，解得，，
由，得，解得，
所以的解集为.
（2）对于任意的都有不等式成立
，
即对于任意的都成立，
时，成立；
时，对于任意的都成立，则有，
解得，
综上，a的取值范围为.
考法2　一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题
(1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
解析：
法一(函数法)：令f(x)＝x2－2x＋a，则由题意，得
解得a≤－3，故选A.
法二(最值法)：当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立，则由题意，得a≤(－x2＋2x)min(x∈[－1,2])．而－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，则当x＝－1时，(－x2＋2x)min＝－3，所以a≤－3，故选A.
【母题探究】若将本例(2)改为“若存在x∈[－1,2]，使得x2－2x＋a≤0(a为常数)，试求a的取值范围．”
解析：由题意知a≤－x2＋2x在x∈[－1,2]时有解．则a≤(－x2＋2x)max，x∈[－1,2]，
又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，x∈[－1,2]，∴a≤1，即a的取值范围是(－∞，1]．
【跟踪练习】若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
[－1，＋∞)
解析：方法一：当x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，因为不等式x2＋2ax＋1≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以x2＋2ax＋1＝0在R上无解或有两个相等的实根或x2＋2ax＋1＝0有两个不等的实根且两根均小于0，所以Δ＝4a2－4≤0或解得a≥－1.
方法二：因为x＝0时，1≥0对任意的a∈R恒成立，当x≠0时，不等式可化为－2a≤x＋(x∈(0，＋∞))，由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，所以易知－2a≤2，解得a≥－1.综上，a≥－1.
考法3　变换主元求的范围
对任意k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求x的取值范围.
解　对任意k∈[－1，1]，由f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1，1]时恒成立，
所以解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)的值恒大于零.
【规律方法】
1.一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)函数法(图象法)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
①f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0；
②f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0；
③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?或或
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?
④当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?或或
(2)最值法(分离参数法)
对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．
a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【跟踪练习】1.(2020·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
答案
　
解析：∵满足10恒成立，可知a≠0，∴a>＝2，满足12.函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解：　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2，2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈?，解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立.
只需即解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).
考点三　一元二次不等式的实际应用
（2021·全国高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：结合题意易知，，
即，解得，
因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是，
故选：C.
【跟踪练习】（2020·江苏高一期中）某单位在对一个长800
m、宽600
m的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小?
答案
当花坛的宽度在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，花坛宽度为时，绿草坪面积最小.
解析：设花坛宽度为，则草坪的长为，宽为.
根据题意得，
整理得，
解不等式得(舍去)或，
因此.
故当花坛的宽度在之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一.
绿草坪的面积，
对称轴为，开口向上的抛物线，所以在上单调递减，
所以当时，，
所以当花坛宽度为时，绿草坪面积最小.
1．(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B等于(　　)
A．{－4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
答案　D
解析　∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－12．(2021·廊坊调研)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.
∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，
故不等式f(－2x)<0的解集是.
3.（2021?临渭区期末）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　
A．
B．，
C．
D．
解析：不等式的解集为，△，
解得，实数的取值范围是．故选：．
4.不等式≥2的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　不等式可化为≤0，即≤0，解得－≤x<1或1(2021·东北三省三校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　A
解析　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0综上，k的取值范围是[0，1].
(2020·苏州调研)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A.[－4，1]
B.[－4，3]
C.[1，3]
D.[－1，3]
答案　B
解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；
当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；
当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，
综上可得－4≤a≤3.
(多选题)(2021·山东新高考模拟)下列说法正确的是(　　)
A.不等式2x2－x－1＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}
B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是3
D.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
答案　BCD
解析　对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1＞0得(2x＋1)(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜－，∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.∴－7×(－1)＝，∴a＝3，故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确.
8．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b答案　ABD
解析　因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.
对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，
显然(b－2)2≥0，故A正确；
对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；
对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；
对于D，因为不等式x2＋ax＋b9．已知函数f
(x)＝则不等式f
(x)≥x2的解集为________．
答案
[－1,1]　
解析：当x≤0时，x＋2≥x2，解得－1≤x≤0；①当x＞0时，－x＋2≥x2，解得0＜x≤1.②
由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
10．不等式>2的解集为________．
答案　{x|1解析　原不等式可化为－2>0，即>0，即>0，
即(x－1)(x－4)<0，解得1(2021·北京海淀区质检)设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos
x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
答案　(－∞，－2]
解析　令t＝cos
x，t∈[－1，1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1，1]恒成立，因此?∵a<0，∴a≤－2.
已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解　(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得故a的值为3±，b的值为－3.
13.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
解析：　(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－[ax2＋bx＋2]＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2).
14.(2020·南京九校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，则实数m的取值范围是________________.
答案　(－∞，－1]∪[2，＋∞)
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).设x<0，则－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－3x2，
故f(x)＝从而4f(x)＝＝f(2x)，
故不等式f(x＋m2)≥4f(x)同解于f(x＋m2)≥f(2x)，又f(x)为R上的单调增函数，故x＋m2≥2x，
即m2≥x对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，∴m2≥m＋2，即m≤－1或m≥2.
15．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为b－a)，则实数m的值是________．
答案　－5
解析　不等式f(x)≥m可化为x2－2x－3＋m≤0，令x2－2x－3＋m≤0的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x2－x1＝6，∵又∵(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝36，
∴4－4(m－3)＝36，即m＝－5.
16.（2020?河南模拟）已知区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，则3a+2b的最小值是（　　）
A．
B．
C．
D．3
答案
C
解析：∵（a，b）是不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，
∴a，b是方程mx2﹣2x+1＝0的两个实数根且m＞0，∴a+b，ab，
∴2；且a＞0，b＞0；
∴3a+2b?（3a+2b）?（）?（5）（5+2）（5+2），
当且仅当ba时“＝”成立；
∴3a+2b的最小值为（5+2）．故选：C．
17.（2020·江苏高一单元测试）已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______
答案
解析：由
且
∴，且，
又且有：，
∴，
故，而
∴
∴，有
，有
故
若令，则，解得
∴，即，而
即，所以
故答案为：
18．（2021·广东广州市第二中学高二月考）在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（
）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
答案
AD
解析：对A，有两个根，，
解得：或，故A正确；对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，，由等比数列的性质得：，
即，故C错误；对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选AD.
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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
04一元二次不等式的解法
考纲对本模块内容的具体要求如下：
一元二次不等式是高中数学的基本内容，是高考热点，命题形式为在选择题、填空题考查基本解法，在解答题中作为一个数学工具解决一些问题.
1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
2.会解一元二次不等式．
数学抽象：能从教材实例中抽象出一元二次不等式的概念.
逻辑推理：理解一元二次不等式的解法，会求简单的一元二次不等式的解集.
数学运算：掌握一元二次不等式的概念，会解一元二次不等式.
一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
1.一元二次不等式
一般地，我们把只含有____，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式．
2.一元二次不等式的解集
一般地，使某个一元二次不等式___的的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的____组成的集合叫做这个一元二次不等式的____.
二、二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
_______
_____
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
空集
空集
三、(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
aa＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a空集
{x|b简单分式不等式与整式不等式
若与是关于的多项式，则不等式>0（或<0，或≥0，或≤0）称为分式不等式.
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.
>0?_______.
(2)
<0(<0)?__________.
(3)
≥0?___________.
(4)
≤0?___________.
五、不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
考点一　一元二次不等式的解法
考法1　不含参数的一元二次不等式的解法
(1)（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）不等式的解集是（
）
A．或
B．
C．
D．或
【跟踪练习】（1）不等式的解集是_________．
考法2　含参数的一元二次不等式的解法
（1）(2021·山东省枣庄市第三中学高三学情)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
（2）解关于不等式的解集，下列说法正确的是（
）
A．当时，
B．当时，
C．当时，
D．当时，
考法3　三个“二次”的应用
（1）(2021·连云港调研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－（2）若一元二次方程的两根为2，，则当时，不等式的解集为___.
【规律方法】
1.解一元二次不等式的一般步骤
(1)化为标准形式.
(2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根.
(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.
3.解含参不等式的分类讨论依据
【跟踪练习】（1）(2020·天津南开中学月考改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x2－3x，则方程f(x)＝－x＋3的根是x＝________，不等式f(x－1)＞－x＋4的解集是________．
（2）关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B.(1，3)
C.(－1，3)
D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
【跟踪练习】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
考点二　一元二次不等式的恒成立问题
考法1　一元二次不等式在实数集R上恒成立问题
(1)(2020·潍坊调研)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2)
B.(－∞，2]
C.(－2，2)
D.(－2，2]
（2）（2021·重庆两江新区西南大学附属中学校高二开学考试）在上定义运算：，若不等式对任意实数x恒成立，则a最大为（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】（2021·湖南常德市·高一月考）已知函数，其中a为常数.
（1）若对任意的，，求的解集；
（2）对于任意的都有不等式成立
，求a的取值范围.
考法2　一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题
(1)若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3]
B．(－∞，0]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
【母题探究】若将本例(2)改为“若存在x∈[－1,2]，使得x2－2x＋a≤0(a为常数)，试求a的取值范围．”
【跟踪练习】若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在区间[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
考法3　变换主元求的范围
对任意k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求x的取值范围.
【规律方法】
1.一元二次不等式恒成立问题的解法
(1)函数法(图象法)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
①f(x)＞0在x∈R上恒成立?a＞0且Δ＜0；
②f(x)＜0在x∈R上恒成立?a＜0且Δ＜0；
③当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?或或
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?
④当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立?f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立?或或
(2)最值法(分离参数法)
对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．
a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
【跟踪练习】1.(2020·深圳中学模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．
2.函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
考点三　一元二次不等式的实际应用
（2021·全国高一课时练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】（2020·江苏高一期中）某单位在对一个长800
m、宽600
m的草坪进行绿化时，是这样想的:中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是多少?当花坛宽度为多少时，绿草坪面积最小?
1．(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B等于(　　)
A．{－4，1}
B．{1，5}
C．{3，5}
D．{1，3}
2．(2021·廊坊调研)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
3.（2021?临渭区期末）若不等式的解集为，则实数的取值范围是　　
A．
B．，
C．
D．
4.不等式≥2的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
(2021·东北三省三校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　)
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
(2020·苏州调研)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A.[－4，1]
B.[－4，3]
C.[1，3]
D.[－1，3]
(多选题)(2021·山东新高考模拟)下列说法正确的是(　　)
A.不等式2x2－x－1＞0的解集是{x|x＞2或x＜1}
B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C.若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是3
D.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
8．(多选题)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b9．已知函数f
(x)＝则不等式f
(x)≥x2的解集为________．
10．不等式>2的解集为________．
(2021·北京海淀区质检)设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cos
x＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________.
已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
13.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围.
14.(2020·南京九校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，则实数m的取值范围是________________.
15．已知二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3，不等式f(x)≥m的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a，b]的长度为b－a)，则实数m的值是________．
16.（2020?河南模拟）已知区间（a，b）是关于x的一元二次不等式mx2﹣2x+1＜0的解集，则3a+2b的最小值是（　　）
A．
B．
C．
D．3
17.（2020·江苏高一单元测试）已知函数，记，若集合，且恒成立，则的取值范围是______
18．（2021·广东广州市第二中学高二月考）在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（
）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
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