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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
05
基本不等式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
理解基本不等式等号成立的条件，会用基本不等式解决简单的最
大（小）值的问题，常以选择题或填空题的形式进行考查.
了解基本不等式的证明过程，并会用基本不等式证明不等式，以解答题的形式进行考查.
利用基本不等式的思想解决函数（双钩函数）的单调性或有关最值问题时考察的重点和热点，应加强训练.
数学抽象：能利用重要不等式抽象出基本不等式.
逻辑推理：明确基本不等式的形式及等号成立的条件.
直观象限：能够利用基本不等式的性质推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义.
数学运算：掌握基本不等式，学会灵活变换条件使用基本不等式比较大小或证明不等式.
基本不等式：
基本不等式成立的条件：.
等号成立的条件：当且仅当时取等号.
其中称为正数，的算术平均数，称为正数的几何平均数.
二、两个重要的不等式
(1)，当且仅当时取等号．
(2)，当且仅当时取等号．
三、利用基本不等式求最值
已知，则
如果积是定值p，那么当且仅当时，有最小值是（简记：积定和最小）.
如果和是定值s，那么当且仅当时，有最大值是（简记：和定积最大）.
【常用结论】
，当且仅当时取等号.
.
.
考点一
用基本不等式比较大小
若，且，试找出中的最大者.
解：∵，且，∴，∴四个数中的最大的应从中选择.而∵，∴，即,∴最大.
【规律方法】
(1)在使用基本不等式时，要注意不等式的双向性.
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式；
②从右到左：常使用.
运用基本不等式比较大小应注意等号的成立条件.
特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性.
【跟踪练习】(2020·郑州外国语学校月考)若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg
，则(　　)
A．R＜P＜Q
B．Q＜P＜R[Z
XXK]C．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q
答案
C
解析：因为a＞b＞1，所以lg
a＞0，lg
b＞0，且lg
a≠lg
b，所以＜(lg
a＋lg
b)，由＜，得lg＜lg
.所以(lg
a＋lg
b)＜lg
，综上知P＜Q＜R.
考点二
利用基本不等式求最值
考法1
配凑法求最值
(1)已知0)．
2
B.
C.
D.
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
答案　(1)B　(2)2＋2
解析：　(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．故选B.
(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立．
【跟踪练习】若，求的最小值.
答案
6
解析：因为，所以，
所以.当且仅当，即时，取最小值6.
考法2
常数代换法求最值
（1）(2020·北京师大附中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．不存在
答案
C
解析：设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
由a7＝a6＋2a5得a6q＝a6＋，
化简得，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
因为aman＝16a，所以(a1qm－1)(a1qn－1)＝16a，
则qm＋n－2＝16，解得m＋n＝6，
所以.当且仅当＝时取等号，此时解得因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，则＋＞，验证可得，当m＝2，n＝4时，＋取得最小值为.
（2）设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（
）
A．1
B．
C．
D．
答案
D
解析：函数的导数为，
可得函数的图象在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，，
则，当且仅当即时，取得等号，则的最小值为，故选：．
【跟踪练习】已知，且，求的最小值.
解：由，得，则
，当且仅当时等号成立，故的最小值为18.
考法3
消元法求最值
已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
答案
6
解析：　法一：由已知得x＋3y＝9－xy，又因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2，
所以，当且仅当x＝3y时，即x＝3，y＝1时取等号，
(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0.令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6即x＋3y≥6.
法二：由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6.
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1时等号成立．所以x＋3y的最小值为6.
【规律方法】
利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
常数代换法主要解决形如“已知（t为常数），求的最值”的问题，先将转化为，再利用基本不等式求最值.
注意：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
考点三
基本不等式的综合应用
（1）设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解　an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝(n＋＋1)≥＝，
当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是.
（2）(2020·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．a＞
C．a＜
D．a≤
答案
A
解析：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.故选A.
【规律方法】
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【跟踪练习】（2021·黑龙江大庆市·高一月考）已知，，则使得有最大值时的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：
令，则.
因为，所以，当且仅当时等号成立，若在上必有最大值，∴的范围为.
故选：A.
考点四
基本不等式在实际问题中的应用
（1）(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
答案
2　20
解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，
∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
（2）（2022·全国高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元，
则年后的设备维护费用为，
所以年的平均费用为（万元），
当且仅当时，等号成立，
因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为.故选：B.
【规律方法】
利用基本不等式求解实际问题的注意事项
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
【跟踪练习】（2021·广东茂名市·高二期末）某市修建一条24km长的供水管，供水管两端的设施已建设好，余下工程在该两端的供水管之间铺设供水管道和等距离修建增压站保证供水效果.经测算，修建一个增压站的费用为36万元，铺设距离为的相邻两增压站之间的供水管的费用为万元.问需要修建多少个增压站，才使余下工程总费用最小？
答案
修建3个增压站.
解析：增压站个数为，余下费用为，
∵，∴，∴（万元）
当且仅当，即增压站为个
即修建3个增压站，可使余下工程总费用最小为132万元.
1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（
）
A．
B．
C．2
D．4
答案
B
解析：因为，所以，
因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，
所以，即，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B
2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
答案
C
解析：由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．
3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案
C
解析：法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.
4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．
5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
答案
C
解析：由得,,,
所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),
(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.
由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
结论②正确.如图所示,易知,
四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.
故选C.
6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
ABD
解析：对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．
答案
解析：，
，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
答案
4
解析：，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
答案
解析：∵∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.故答案为：.
10．（2019·天津高考真题（文））
设，，，则的最小值为__________.
答案
.
解析：由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．
11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
答案（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
解析：（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
答案（1）证明见解析（2）证明见解析.
解析：（1），
.
均不为，则，；
（2）不妨设，
由可知，，
，.
当且仅当时，取等号，，即.
13．（2021·黑龙江大庆市·高一月考）在中，，，分别为内角，，的对边，.，则的面积的最大值为___________.
答案
解析：
，
所以，
又（取等号）
.故答案为：
14．（2020·浙江邵外高二月考）用基本不等式证明不等式
（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：；
（2）已知a，b，c为正实数，且，求证：．
答案（1）证明见解析；（2）证明见解析．
解析：证明：（1）∵正数，∴，，，
又是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到，
∴，即，
（2）∵a，b，c为正实数，且，
∴
．
15．（2021·安徽高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
（1）已知正数、满足，求的最小值.
甲给出的解法是：由，得，
则，所以的最小值为
而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；
（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.
答案（1）答案见解析；（2）最小值为.
解析：（1）甲的解法错误，
原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立.
正确解法：
，
当且仅当时等号成立.
（2）令，则，，
即可将“求函数最小值”转化为“已知，求”，
因为，当且仅当等号成立，
所以当时，函数取最小值，最小值为.
16．（2021·广东茂名市·高一期末）某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.
（1）解释的实际意义；
（2）求y的最小值.
答案（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）的最小值为3万元.
解析：（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.
（2）由
∴
∵
∴
∴（万元）
当且仅当即时取“=”，即的最小值为3万元.
17.（2021·全国高一专题练习）已知a，b，时，有，利用分拆?重组?配对使用基本不等式求出最值.依此启示，当a，b，时，的最小值为___________.
答案
解析：
.
故答案为：
18.（2021·云南高一期末）已知，.若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：因为，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，故选：C.
19.（2020?葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（　　）
A．4
B．4
C．9
D．9
答案
C
解析：由题意可知，圆心（2，1）在直线ax+by﹣1＝0，则2a+b＝1，
又因为a＞0，b＞0，所以（）（2a+b）＝55+4＝9，
当且仅当且2a+b＝1即a，b时取等号，此时取得最小值9．故选：C．
20.（2020?天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则的最小值为　　．
答案
4
解析：a＞0，b＞0，且ab＝1，
则24，
当且仅当，即a＝2，b＝2或a＝2，b＝2
取等号，
故答案为：4
21．（2020?江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是　　．
答案
解析：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2，
由x2≥0，可得y2∈（0，1]，
则x2+y2y2（4y2）?2，当且仅当y2，x2，
可得x2+y2的最小值为；
方法二、4＝（5x2+y2）?4y2≤（）2（x2+y2）2，故x2+y2，
当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2，x2时取得等号，可得x2+y2的最小值为．
故答案为：．
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专题一
集合与常用逻辑用语和不等式及推理与证明
05
基本不等式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
理解基本不等式等号成立的条件，会用基本不等式解决简单的最
大（小）值的问题，常以选择题或填空题的形式进行考查.
了解基本不等式的证明过程，并会用基本不等式证明不等式，以解答题的形式进行考查.
利用基本不等式的思想解决函数（双钩函数）的单调性或有关最值问题时考察的重点和热点，应加强训练.
数学抽象：能利用重要不等式抽象出基本不等式.
逻辑推理：明确基本不等式的形式及等号成立的条件.
直观象限：能够利用基本不等式的性质推导基本不等式，理解基本不等式的几何意义.
数学运算：掌握基本不等式，学会灵活变换条件使用基本不等式比较大小或证明不等式.
基本不等式：
基本不等式成立的条件：.
等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.
其中称为正数，的算术平均数，______称为正数的几何平均数.
二、两个重要的不等式
(1)，当且仅当时取等号．
(2)，当且仅当时取等号．
三、利用基本不等式求最值
已知，则
如果积是定值p，那么当且仅当_____时，有最小值是（简记：积定和最小）.
如果和是定值s，那么当且仅当____时，有最大值是（简记：和定积最大）.
【常用结论】
，当且仅当时取等号.
.
.
考点一
用基本不等式比较大小
若，且，试找出中的最大者.
【规律方法】
(1)在使用基本不等式时，要注意不等式的双向性.
①从左到右：常使用基本不等式的变形公式；
②从右到左：常使用.
运用基本不等式比较大小应注意等号的成立条件.
特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性.
【跟踪练习】(2020·郑州外国语学校月考)若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg
，则(　　)
A．R＜P＜Q
B．Q＜P＜R[Z
XXK]C．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q
考点二
利用基本不等式求最值
考法1
配凑法求最值
(1)已知0)．
2
B.
C.
D.
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
【跟踪练习】若，求的最小值.
考法2
常数代换法求最值
（1）(2020·北京师大附中模拟)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D．不存在
（2）设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（
）
A．1
B．
C．
D．
【跟踪练习】已知，且，求的最小值.
考法3
消元法求最值
已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
【规律方法】
利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
常数代换法主要解决形如“已知（t为常数），求的最值”的问题，先将转化为，再利用基本不等式求最值.
注意：应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.
考点三
基本不等式的综合应用
（1）设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
（2）(2020·河南平顶山一模)若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．a≥
B．a＞
C．a＜
D．a≤
【规律方法】
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
【跟踪练习】（2021·黑龙江大庆市·高一月考）已知，，则使得有最大值时的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
考点四
基本不等式在实际问题中的应用
（1）(2020·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
（2）（2022·全国高三专题练习）某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
利用基本不等式求解实际问题的注意事项
(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
【跟踪练习】（2021·广东茂名市·高二期末）某市修建一条24km长的供水管，供水管两端的设施已建设好，余下工程在该两端的供水管之间铺设供水管道和等距离修建增压站保证供水效果.经测算，修建一个增压站的费用为36万元，铺设距离为的相邻两增压站之间的供水管的费用为万元.问需要修建多少个增压站，才使余下工程总费用最小？
1．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（
）
A．
B．
C．2
D．4
2．（2021·全国高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（
）
A．13
B．12
C．9
D．6
3．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2019·北京高考真题（理））数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
6．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________．
8．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．
9．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．
10．（2019·天津高考真题（文））
设，，，则的最小值为__________.
11．（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
12．（2020·全国高考真题（文））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
13．（2021·黑龙江大庆市·高一月考）在中，，，分别为内角，，的对边，.，则的面积的最大值为___________.
14．（2020·浙江邵外高二月考）用基本不等式证明不等式
（1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：；
（2）已知a，b，c为正实数，且，求证：．
15．（2021·安徽高一期末）在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：
（1）已知正数、满足，求的最小值.
甲给出的解法是：由，得，
则，所以的最小值为
而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；
（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.
16．（2021·广东茂名市·高一期末）某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.
（1）解释的实际意义；
（2）求y的最小值.
17.（2021·全国高一专题练习）已知a，b，时，有，利用分拆?重组?配对使用基本不等式求出最值.依此启示，当a，b，时，的最小值为___________.
18.（2021·云南高一期末）已知，.若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
19.（2020?葫芦岛模拟）若圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5关于直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（　　）
A．4
B．4
C．9
D．9
20.（2020?天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则的最小值为　　．
21．（2020?江苏）已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是　　．
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