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第三讲
绝对值
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4.
理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【知识结构】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【考点总结】
一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：www.21-cn-jy.com
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．21·世纪
教育网
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.
如：
a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．21教育网
3.
作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4.
求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．【来源：21cnj
y.co
m】
5.
倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【例题讲解】
【类型】一、绝对值的概念
例1．求下列各数的绝对值．
，-0.3，0，
【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解．【出处：21教育名师】
【答案与解析】
解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以．
因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．
因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0．
因为到原点的距离是个单位长度，所以．
解法二：因为，所以．
因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3．
因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0．
因为，所以．
【总结升华】求一个数的绝对值有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．
例2．
下列说法正确的是（　　）
A.
一个数的绝对值一定比0大
B.
一个数的相反数一定比它本身小
C.
绝对值等于它本身的数一定是正数
D.
最小的正整数是1
【答案】D．
【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0，故此选项错误；
B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；
C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；
D、最小的正整数是1，正确．
【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解题关键．
【训练】求绝对值不大于3的所有整数．
【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3．
【训练】已知一个数的绝对值是4，则这个数是　　．
【答案】±4.
【训练】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为
．
【答案】6或-6
【类型】二、比较大小
例3．
比较大小：　
　﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．
【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答．
【答案】＜．
【解析】解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8，
∵1.75＜1.8，
∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），
故答案为：＜．
【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．
【训练】比大小：
______
；
-|-3.2|______-(+3.2)；
0.0001______－1000；21cnjy.com
______－1.384；
－π______－3.14．
【答案】＞；=；＞；＞；＜
【训练】下列各数中，比－1小的数是（
）
A．0
B．1
C．－2
D．2
【答案】C
【训练】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是(
)．
A．-a＜a＜-1
B．-1＜-a＜a
C．a＜-1＜-a
D．a＜-a＜-1
【答案】C
【类型】三、绝对值非负性的应用
例4.
已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
【思路点拨】由｜a｜≥0即绝对值的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)非负性可知，｜2-m｜≥0，｜n-3｜≥0，而它们的和为0．所以｜2-m｜＝0，|n-3|＝0．因此，2-m＝0，n-3＝0，所以m＝2，n＝3．21·cn·jy·com
【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|＝0
且|2-m|≥0，|n-3|≥0
所以|2-m|＝0，|n-3|＝0
即2-m＝0，n-3＝0
所以m＝2，n＝3
故m-2n＝2-2×3＝-4．
【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a＝b＝…＝m＝0．
【类型】五、绝对值的实际应用
例5．正式足球比赛对所用足球的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．21世纪教育网版权所有
【答案】
因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．2·1·c·n·j·y
【解析】根据实际问题可知，哪个足球的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大．www-2-1-cnjy-com
【点评】绝对值越小，越接近标准.
【训练】某企业生产瓶装食用调和油
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶．2-1-c-n-j-y
(2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量．
【训练】一只可爱的小虫从点O出发
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?21
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com
【答案】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
．【来源：21·世纪·教育·网】
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
．
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精品试卷·第
2
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（共
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