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专题13
直线与圆
重点题型
题型一、直线与方程
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线l倾斜角的范围是．若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．
2．直线方程的形式
（1）点斜式：，不包含直线；
（2）斜截式：，不包含垂直于x轴的直线；
（3）两点式：，不包含直线和直线；
（4）截距式：，不包含垂直于坐标轴和过原点的直线；
（5）一般式：不全为，平面直角坐标系内的直线都适用.
3．常见的直线系方程
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0.
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0.
（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
题型二、直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
3．距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
4．对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
题型三、圆与方程
1．圆的方程
（1）标准方程：，圆心，半径
（2）一般方程：，圆心，半径
二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程.
2．点与圆的位置关系
（1）点（x0，y0）在圆上，，
（2）点（x0，y0）在圆外，，
（3）点（x0，y0）在圆内，，
3．常见的圆的几何性质的应用
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称．
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
（4）圆中的直角三角形：用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．
题型三、直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系及其判断
直线与圆的位置关系
判断方法
直线与圆相离
几何法：（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；（3）比较d与r的大小，写出结论.
直线与圆相切
直线与圆相交
方程无实数解，直线与圆相离
代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断
方程有唯一的实数解，直线与圆相切
方程有两个不同的实数解，直线与圆相交
2．圆与圆的位置关系及其判断
（1）位置关系
两圆的位置关系
外切
相切
两圆有唯一公共点
内切
内含
相离
两圆没有公共点
外离
相交
两圆有两个不同的公共点
（2）判断方法：
几何法：确定两圆的圆心坐标和半径长；利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；
比较的大小，写出结论.（如下图，其中）．
代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
3．常见题型
（1）两圆相交时公共弦所在直线的方程：
设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0
③．
方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
（2）涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；
二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.
（3）求两圆公共弦长一般有两种方法：
一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；
二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
（4）求过圆上的一点的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.
（5）求过圆外一点的圆的切线方程：
①几何方法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.
②代数方法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
考点集训
一、单选题
1．直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设直线的斜率为，倾斜角为，则
，∴，即
∴倾斜角的取值范围是．故选D.
2．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.
3．到直线的距离等于的直线方程为(
)
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为，，解得或，
故所求直线方程为或.故选D.
4．圆关于直线：对称的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】圆的圆心坐标为，半径为2，
设关于直线：的对称点为，则，解得．
所以，则圆关于直线对称的圆的方程为．故选：C．
5．已知圆上的点到直线的最远距离为4，则实数的值是（
）
A．0或4
B．或2
C．
D．2
【答案】B
【解析】由得，所以圆心为，，
圆心到直线的距离为
所以，解得或2.故选
6．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，化简得，
因为，为正实数，所以≥，即≤，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故选B.
7．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】圆心在上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；
验证：A中圆心到两直线的距离是；
圆心到直线的距离是．故A错误．
故选B．
8．经过点作直线，若直线l与连接、的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，所以．
因为直线l与连接、的线段总有公共点，，，
设直线l的倾斜角为，所以，所以，
又因为，所以，故选A.
9．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（
）
A．相离.
B．相切
C．相交.
D．随m的变化而变化.
【答案】D
【解析】直线AB的方程为.
即，
所以直线AB的方程为,
因为,
所以,
所以,所以直线AB与圆可能相交，也可能相切，也可能相离.
10．从点射出的光线经直线反射后到达点，则光线所经过的路程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点关于直线的对称的点坐标为
所以
所以点关于直线的对称的点坐标为
则光线所经过的路程.故选：
11．已知圆，直线，，若被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径为2，
圆心到线的距离为，被圆所截得的弦的长度为，
圆心到的距离为，被圆所截得的弦的长度为，
结合，被圆所截得的弦的长度之比为，可得，求得，故选C.
12．平面直角坐标系内，过点的直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】曲线表示以圆心半径为1的上半圆，则的面积，要使三角形的面积最大，此时，
即，则取的中点，则，∵，
∴，则，，
即直线的倾斜角为150°，则直线的斜率，故选A．
13．已知圆，若直线上总存在点，使得过点的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】A
【解析】由题意，圆，若直线上总存在点，使得过点的圆的两条切线互相垂直，如图所示，
根据过点P的圆C的两条切线互相垂直，可得四边形APBC为正方形，所以，
所以只需圆心到直线的距离，解得或.故选：A.
14．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即
，
又由原点到直线的距离为，即的最小值为.故选：C.
15．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为是直线的任一点，所以设，
因为圆的两条切线、，切点分别为、，所以，，
则点、在以为直径的圆上，即是圆和圆的公共弦，
则圆心的坐标是，，且半径的平方是，
所以圆的方程是，①
又，②，
②①得，，即公共弦所在的直线方程是：，
即，
由得，，所以直线恒过定点，，故选：．
16．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（
）
A．
B．9
C．7
D．
【答案】B
【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故
的最大值为
，故选B．
17．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为(
)
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.
设与曲线相切于点，
则，所以
到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.故选：A
18．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（
）
A．
B．C．
D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，所以，所以.故选：B
19．过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，圆C：的圆心C为，半径；
点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，
则有，
则，
则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，
且，则C到AB的距离，
又由，则直线AB与直线平行，且设AB的直线方程为，
则有，解可得：或舍，则直线AB的方程为，
故选B．
二、多选题
20．若O，A两点到直线axay的距离相等，则实数a的可能取值为（
）
A．
B．1
C．4
D．6
【答案】ACD
【解析】由题意，得，，
当时，解得或；
当时，解得或舍去；
或6或4．故选ACD．
21．点在圆的内部，则的取值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由已知条件可得，即，解得.故选AD.
22．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r可能的取值是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】AB
【解析】集合M表示圆x2＋y2＝4上以及圆内的点，集合N表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2上以及圆内的点，由已知，知，
所以小圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含于大圆x2＋y2＝4，
所以圆心距，所以，而，故AB满足题意，CD不符合.
故选：AB.
23．下列结论错误的是（
）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
【答案】ABC
【解析】过点，的直线的斜率是，则倾斜角不为，故A错误
由直线与直线垂直，得解得，故B错误；
直线与直线之间的距离是，故C错误
点关于x轴的对称点为，连接，交x轴于点，
则，当与重合时取等号，故D正确.
故选ABC.
24．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（
）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
【答案】AC
【解析】当PQ垂直直线时，PQ最短，Q到直线的距离为，故A正确；
故PQ的长度范围为，，故D错误；
设，则，解得，故P为，故C正确；
此时直线PQ的方程是，即，故B错误，
故选AC．
25．已知直线和圆，则（
）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
【答案】BC
【解析】对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
26．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（
）
A．
B．所在直线的方程为
C．四边形的外接圆方程为
D．的面积为
【答案】BCD
【解析】因为，所以以为圆心，为半径的圆交圆于两点，
因为,又因为以为圆心，为半径的圆为，
与相减得，所以所在直线的方程为，故B正确；
连接交于，等面积法可得，即，所以，即，所以，故A错误；
四边形的外接圆是以为直径的圆，故圆心为，半径为的圆，故方程为，即，故C正确；
因为，所以，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题
27．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_______．
【答案】2
【解析】由题意直线方程为，即，圆标准方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，
所以弦长为．故答案为：2．
28．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.
【答案】
【解析】设圆的方程为因为圆心在直线上，得，
所以可得圆的方程为，
因为圆经过点，所以，解得，
因此，所求圆的方程为，故答案为．
29．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为._________
【答案】
【解析】设切线方程为：，
因为相切时圆心到直线的距离为半径，所以，解得，
所以切线方程为：，即.故答案为.
30．已知圆与圆外切，则__________，此时直线被圆所截的弦长为______________.
【答案】16
【解析】由题可知：，，即
且，由两圆向外切可知，解得
所以，到直线的距离为，设圆的半径为，
则直线被圆所截的弦长为，故答案为：，.
31．已知圆，点，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，则面积的最大值为______．
【答案】12
【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为.故答案为12
四、解答题
32．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于?两点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
【解析】（1）由题意可知，点到直线的距离
因为圆与直线相切，则圆的半径
所以，圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时
因为直线的方程为.所以圆心到直线的距离.
由（1）知圆的半径为，所以.
故是符合题意的一条直线.
②当直线的斜率存在时
设直线的斜率为，则直线
圆心到直线的距离
因为
所以，即，解得
因此，直线的方程为
综上所述，直线的方程为或.
33．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
【解析】（1）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
（2）如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
34．已知圆与直线，动直线过定点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，点是的中点，直线与直线相交于点.
探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）1°当斜率不存在时，的方程为x=0，与圆不相切.
2°当的斜率存在时，设的方程为，即
∴，解得或
∴直线的方程为或
（2）有（1）可知的斜率存在，
设的方程为，
由
消去后得
∴
，
∴
∴
由
得
∴
∴
∴
∴为定值.
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专题13
直线与圆
重点题型
题型一、直线与方程
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线l倾斜角的范围是．若直线l的倾斜角90°，则斜率．
（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率k＝．
2．直线方程的形式
（1）点斜式：，不包含直线；
（2）斜截式：，不包含垂直于x轴的直线；
（3）两点式：，不包含直线和直线；
（4）截距式：，不包含垂直于坐标轴和过原点的直线；
（5）一般式：不全为，平面直角坐标系内的直线都适用.
3．常见的直线系方程
（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0.
（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．
（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0.
（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．
题型二、直线的位置关系
1．两条直线的位置关系
斜截式
一般式
与相交
与垂直
与平行
且
或
与重合
且
注意：（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
2．两条直线的交点
对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，与的交点坐标就是方程组的解．
（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；
（2）方程组无解；
（3）方程组有无数解与重合．
3．距离问题
（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．
4．对称问题
（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．
（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．
题型三、圆与方程
1．圆的方程
（1）标准方程：，圆心，半径
（2）一般方程：，圆心，半径
二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程，将圆的一般方程配方可得标准方程.
2．点与圆的位置关系
（1）点（x0，y0）在圆上，，
（2）点（x0，y0）在圆外，，
（3）点（x0，y0）在圆内，，
3．常见的圆的几何性质的应用
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称．
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;
②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
（4）圆中的直角三角形：用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”．
题型三、直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系及其判断
直线与圆的位置关系
判断方法
直线与圆相离
几何法：（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；（3）比较d与r的大小，写出结论.
直线与圆相切
直线与圆相交
方程无实数解，直线与圆相离
代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断
方程有唯一的实数解，直线与圆相切
方程有两个不同的实数解，直线与圆相交
2．圆与圆的位置关系及其判断
（1）位置关系
两圆的位置关系
外切
相切
两圆有唯一公共点
内切
内含
相离
两圆没有公共点
外离
相交
两圆有两个不同的公共点
（2）判断方法：
几何法：确定两圆的圆心坐标和半径长；利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求；
比较的大小，写出结论.（如下图，其中）．
代数法：设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
②，
联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
3．常见题型
（1）两圆相交时公共弦所在直线的方程：
设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0
①，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0
②，
若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0
③．
方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．
（2）涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：
一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；
二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.
（3）求两圆公共弦长一般有两种方法：
一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；
二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.
（4）求过圆上的一点的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.
（5）求过圆外一点的圆的切线方程：
①几何方法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.
②代数方法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
考点集训
一、单选题
1．直线的倾斜角的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．到直线的距离等于的直线方程为(
)
A．
B．
C．或
D．或
4．圆关于直线：对称的圆的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知圆上的点到直线的最远距离为4，则实数的值是（
）
A．0或4
B．或2
C．
D．2
6．若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．经过点作直线，若直线l与连接、的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．设、是关于x的方程的两个不相等的实数根，那么过两点，的直线与圆的位置关系是（
）
A．相离.
B．相切
C．相交.
D．随m的变化而变化.
10．从点射出的光线经直线反射后到达点，则光线所经过的路程是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知圆，直线，，若被圆C所截得的弦的长度之比为，则k的值为（
）
A．
B．
C．
D．1
12．平面直角坐标系内，过点的直线与曲线相交于两点，当的面积最大时，直线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知圆，若直线上总存在点，使得过点的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（
）
A．或
B．
C．或
D．
14．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知圆：，点为直线上一动点，过点向圆作切线，，，为切点，则直线经过定点（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（
）
A．
B．9
C．7
D．
17．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为(
)
A．
B．
C．或
D．或
18．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（
）
A．
B．C．
D．
19．过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是
A．
B．
C．
D．
二、多选题
20．若O，A两点到直线axay的距离相等，则实数a的可能取值为（
）
A．
B．1
C．4
D．6
21．点在圆的内部，则的取值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
22．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r可能的取值是（
）
A．
B．
C．1
D．
23．下列结论错误的是（
）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是5
24．已知点P是直线上的动点，定点，则下列说法正确的是（
）
A．线段PQ的长度的最小值为
B．当PQ最短时，直线PQ的方程是
C．当PQ最短时P的坐标为
D．线段PQ的长度可能是
25．已知直线和圆，则（
）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
26．过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（
）
A．
B．所在直线的方程为
C．四边形的外接圆方程为
D．的面积为
三、填空题
27．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_______．
28．经过点且圆心在直线上的圆的方程是____.
29．已知圆和点，则过点的圆的切线方程为._________
30．已知圆与圆外切，则__________，此时直线被圆所截的弦长为______________.
31．已知圆，点，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，则面积的最大值为______．
四、解答题
32．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于?两点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
33．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
34．已知圆与直线，动直线过定点.
（1）若直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于两点，点是的中点，直线与直线相交于点.
探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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