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13.5.2
线段垂直平分线
课题
13.5.2
线段垂直平分线
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
重点难点
掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
1.等腰三角形的三线合一是指什么?2.中垂线的定义是什么？1.等腰三角形底边上的高线，底边上的中线顶角的平分线2.经过线段的中点并且垂直于线段的直线叫线段的垂直平分线，又叫中垂线。我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图13.5.1,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.已知:如图13.5.1,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点，
求证:
PA
=
PB.分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等，便可证得PA
=
PB.证明：∵MN⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°又∵PC=PC,AC=BC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA
=PB请写出完整的证明过程.注意：垂直平分线的性质1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
。这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢?写出该定理与它的逆命题的条件和结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?已知:如图13.5.2,
QA
=
QB.求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线,然后证明该垂线平分线段AB;也可以先平分线段AB,设线段AB的中点为点C,然后证明QC垂直于线段AB.法一
证明:过点Q作MN⊥AB,垂足为点C,故∠QCA=∠QCB=90°.在Rt△QCA和Rt△QCB中，∵QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.
).∴AC
=
BC(全等三角形的对应边相等).∴点Q在线段AB的垂直平分线上.你能根据分析中后一种添加辅助线的方法,写出它的证明过程吗?法二
证明：取线段AB的中点为点C。则AC=BC∵在△QCA与△QCB中，AC=BC，QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB∴∠ACQ=∠BCQ∵∠ACQ+∠BCQ=180°∴∠ACQ=∠BCQ=90°∴QC⊥AB
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形三边的垂直平分线交于一点.从图13.5.3中可以看出,要证明三角形三条边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下:图13.5.3注意：要证明一条线段为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明。通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。课堂练习:1.若P是△ABC所在平面内的点，且PA=PB=PC，则下列说法正确的是（　　）A.
点P是△ABC三边垂直平分线的交点B.
点P是△ABC三条角平分线的交点C.
点P是△ABC三边上高的交点D.
点P是△ABC三边中线的交点
2、如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D．若AC=5，BC=3，则△BCE的周长是______．
3、
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=65°，DE是AB的垂直平分线，则∠CBE=______．4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；（2）若∠CAD=25°，请直接写出∠BOF的度数．1、解：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∵PB=PC，∴点P在线段BC的垂直平分线上，∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，故选：A．2、解：∵DE为AB边的垂直平分线，∴EA=EB，∴△BCE的周长=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=8，故答案为：8．3、解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=15°4、（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴BO=CO，∵OE是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∴BO=AO，∴O点在AB的垂直平分线上．（2）∠BOF=15°．解：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵∠CAD=25°，∴∠BAD=∠CAD=25°，∴∠BAC=50°，∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°-50°=40°，∵AO=OB，∴∠OBA=∠BAD=25°，∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=15°．
课堂小结
线段的垂直平分线一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
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13.5.2
线段垂直平分线
数学华师版
八年级上
复习导入
1.等腰三角形的三线合一是指什么?
2.中垂线的定义是什么？
1.等腰三角形底边上的高线，
底边上的中线
顶角的平分线
2.经过线段的中点并且垂直于线段的直线叫线段的垂直平分线，又叫中垂线。
新知讲解
我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图13.5.1,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合.
A
C
B
M
N
P
图13.5.1
M
P
新知讲解
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
图13.5.1
新知讲解
已知:如图13.5.1,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点，
求证:
PA
=
PB.
N
A
C
B
M
P
分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,
只要证明这两个三角形全等，
便可证得PA
=
PB.
新知讲解
证明：
∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
又∵PC=PC,AC=BC
∴△APC≌△BPC(SAS)
∴PA
=PB
请写出完整的证明过程.
图13.5.1
N
A
C
B
M
P
新知讲解
注意：
垂直平分线的性质
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
。
新知讲解
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢?
条件
结论
性质定理
逆命题
写出该定理与它的逆命题的条件和结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?
新知讲解
条件
结论
性质定理
逆命题
在线段的垂直平分线上有一点
该点到线段两端的
距离相等.
有一点到线段的两个端点距离相等
这点在线段的垂直
平分线上
新知讲解
图13.5.2
A
C
B
M
N
Q
已知:如图13.5.2,
QA
=
QB.
求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，
可以先经过点Q作线段AB的垂线,
然后证明该垂线平分线段AB;
也可以先平分线段AB,设线段AB的中点为
点C,然后证明QC垂直于线段AB.
法一
证明:过点Q作MN⊥AB,垂足为点C,
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.
).
∴AC
=
BC(全等三角形的对应边相等).
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
新知讲解
图13.5.2
A
C
B
M
N
Q
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法,写出它的证明过程吗?
新知讲解
法二
证明：取线段AB的中点为点C。则AC=BC
∵在△QCA与△QCB中，
AC=BC，QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB
∴∠ACQ=∠BCQ
∵∠ACQ+∠BCQ=180°
∴∠ACQ=∠BCQ=90°
∴QC⊥AB
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
A
C
B
N
M
Q
定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
新知讲解
上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形三边的垂直平分线交于一点.
新知讲解
从图13.5.3中可以看出,要证明三角形三条边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下:
试一试
图13.5.3
新知讲解
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA=OB
OB=OC
OA=OC
点O在AC的垂直平分线n上
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.3
注意：
要证明一条线段为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明。
通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
新知讲解
课堂练习
1.若P是△ABC所在平面内的点，且PA=PB=PC，则下列说法正确的是（　）
A.
点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B.
点P是△ABC三条角平分线的交点
C.
点P是△ABC三边上高的交点
D.
点P是△ABC三边中线的交点
A　
2、如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D．若AC=5，BC=3，则△BCE的周长是______．
解：∵DE为AB边的垂直平分线，∴EA=EB，
∴△BCE的周长
=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=8
3、
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=65°，DE是AB的垂直平分线，则∠CBE=______．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=65°，∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°，∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=15°
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD=25°，请直接写出∠BOF的度数．
4、（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，
∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分线，∴AO=CO，
∴BO=AO，
∴O点在AB的垂直平分线上．
（2）∠BOF=15°．
解：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，∵∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，∴∠BAC=50°，
∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°-50°=40°，
∵AO=OB，∴∠OBA=∠BAD=25°，
∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=15°．
课堂小结
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.中小学教育资源及组卷应用平台
13.5.2线段垂直平分线
学案
课题
13.5.2
线段垂直平分线
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
重点
难点
掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（?????）
A.
AB垂直平分CD
B.
CD垂直平分AB
C.
AB与CD互相垂直平分
D.
CD平分∠ACB
2、
关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．
其中，正确的说法有（　　）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
0个
合
作
探
究
探究一：
我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图13.5.1,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合.
图13.5.1
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知:如图13.5.1,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点，求证:
PA
=
PB.
分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,
只要证明这两个三角形全等，
便可证得PA
=
PB.
注意：
垂直平分线的性质：
1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
。
探究二：
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢?
条件结论性质定理逆命题
写出该定理与它的逆命题的条件和结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?
探究三：
已知:如图13.5.2,
QA
=
QB.
求证:点Q在线段AB的垂直平分线上.
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，
可以先经过点Q作线段AB的垂线,
然后证明该垂线平分线段AB;
也可以先平分线段AB,设线段AB的中点为
点C,然后证明QC垂直于线段AB.
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法,写出它的证明过程吗?
定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形三边的垂直平分线交于一点.
从图13.5.3中可以看出,要证明三角形三条边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.其思路可表示如下:
图13.5.3
试试看，现在你会证明了吗？
注意：
要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明。
通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
当
堂
检
测
1.若P是△ABC所在平面内的点，且PA=PB=PC，则下列说法正确的是（　　）
A.
点P是△ABC三边垂直平分线的交点
B.
点P是△ABC三条角平分线的交点
C.
点P是△ABC三边上高的交点
D.
点P是△ABC三边中线的交点
2、如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D．若AC=5，BC=3，则△BCE的周长是______．
3、
如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=65°，DE是AB的垂直平分线，则∠CBE=______．
4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．
（1）求证：点O在AB的垂直平分线上；
（2）若∠CAD=25°，请直接写出∠BOF的度数．
1、解：∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵PB=PC，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
2、解：∵DE为AB边的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴△BCE的周长
=BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=8，
故答案为：8．
3、解：∵在△ABC中，AB=AC，
∠ABC=65°，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=50°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=15°
4、（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BO=CO，
∵OE是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
∴BO=AO，
∴O点在AB的垂直平分线上．
（2）∠BOF=15°．
解：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠CAD=25°，
∴∠BAD=∠CAD=25°，∴∠BAC=50°，
∵OE⊥AC，∴∠EFA=90°-50°=40°，
∵AO=OB，
∴∠OBA=∠BAD=25°，
∴∠BOF=∠EFA-∠OBA=15°．
课
堂
小
结
1、线段的垂直平分线性质定理是什么？
2、线段的垂直平分线性质逆定理是什么？
参考答案
自主学习：
1、
解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选：A．
2、解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线；正确；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴．错误，线段有2条对称轴：还有本身．
故选：B．
合作探究：
探究一：
证明：
∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
又∵PC=PC,AC=BC
∴△APC≌△BPC(S.A.S)
∴PA
=PB
探究二：
条件
结论
性质定理
在线段的垂直平分线上有一点
该点到线段两端的
距离相等.
逆命题
有一点到线段的两个端点距离相等
这点在线段的垂直
平分线上
探究三：
法一
证明:过点Q作MN⊥AB,垂足为点C,
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA和Rt△QCB中，
∵QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB(H.L.
).
∴AC
=
BC(全等三角形的对应边相等).
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
法二
证明：取线段AB的中点为点C。则AC=BC
∵在△QCA与△QCB中，
AC=BC，QA
=
QB,
QC
=
QC,
∴Rt△QCA≌Rt△QCB
∴∠ACQ=∠BCQ
∵∠ACQ+∠BCQ=180°
∴∠ACQ=∠BCQ=90°
∴QC⊥AB
∴点Q在线段AB的垂直平分线上.
课堂小结：
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
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精品试卷·第
2
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（共
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