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2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步能力提升训练（附答案）
1．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75°
B．60°
C．55°
D．45°
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
5．下列说法不正确的是（　　）
A．一组同旁内角相等的平行四边形是矩形
B．一组邻边相等的菱形是正方形
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
6．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，若AE＝AB，则∠EBC的度数为（　　）
A．22.5°
B．30°
C．45°
D．67.5°
7．如图正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．1
B．
C．4﹣2
D．3﹣4
9．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（　　）
A．30
B．34
C．36
D．40
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（　　）
A．
B．1
C．
D．2
11．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
12．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　
　．
13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD＝　
　时，四边形MENF是正方形．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　
　．
15．如图，正方形ABCD中，点E是BC边上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，连接DF．若AB＝3，BE＝1，则DF的长为
　
　．
16．如图所示，在平面直角坐标系中有两个边长均为4的正方形OABC和正方形OCEF，OA边与OF边与x轴重合，连接BF，点A关于BF的对称点为点A′，连接A′F，与EC边相交于点P，则点P的坐标是
　
　．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于　
　度．
18．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为
　
　．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为　
　．
20．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：EB＝GD；
（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝2，AG＝，求EB的长．
21．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，求证：AB＝FB．
22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．
23．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
24．如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM＝DM+CD．
（1）求证：点F是CD边的中点；
（2）求证：∠MBC＝2∠ABE．
参考答案
1．解：连接BP，过C作CM⊥BD，
∵S△BCE＝S△BPE+S△BPC
＝BC×PQ×+BE×PR×
＝BC×（PQ+PR）×
＝BE×CM×，
BC＝BE，
∴PQ+PR＝CM，
∵BE＝BC＝1，且正方形对角线BD＝BC＝，
又∵BC＝CD，CM⊥BD，
∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM＝BD＝，
即PQ+PR值是．
故选：D．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；
故选：B．
3．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC＝FC+CE+EF′＝FC+BC+BF′＝DF+FC+BC＝4，
∴2BC＝4，
∴BC＝2．
故选：A．
4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
5．解：A、一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，正确；
B、一组邻边相等的菱形是正方形，错误；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∠ABC＝90°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∴∠EBC＝22.5°，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
又∵△ADE是等边三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠DAE＝60°，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠ABE＝（180°﹣150°）÷2＝15°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝45°+15°＝60°．
故选：C．
8．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
10．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故选：B．
11．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，
∵BD＝BE，DE＝2，
∴△BED是等边三角形，且边长为2，
∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，
∴CE＝BC﹣BE＝4，
∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，
∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，
∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴QF＝EF＝1，
∴△EFC的面积为＝＝2，
故选：B．
12．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
13．解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD＝1：2，AM＝DM，AB＝CD，
∴AB＝AM＝DM＝DC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME＝MF，∠BMC＝90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．
14．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，
∴∠ADP+∠CDP＝90°，
∴∠ADP＝∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝∠E＝90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP＝＝3．
故答案为：3．
15．解：过点F作FG⊥CD于点G，FH⊥BC延长线于点H，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AB＝BC＝CD＝3，∠DCH＝90°，
∵FC是∠DCH平分线，
∴FG＝FH，
∴矩形CGFH为正方形，
∴HC＝FH，
∵∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEH＝90°，
∴∠BAE＝∠FEH，
∵∠ABE＝∠EHF，
∴m＝1，
∴FG＝CH＝CG＝1，DG＝3﹣1＝2，
在Rt△DGF中，DF＝＝，
故答案为．
16．解：∵正方形OABC和正方形OCEF的边长均为4，
∴EF＝AB，
∵△FAB与△FA'B关于直线BF对称，
∴AB＝A'B，∠A'＝∠A＝90°
∵∠EPF＝∠A'PB，
∴△EPF≌△A'PB（AAS），
∴PB＝PF，
设PE＝a，则PF﹣PB＝8﹣a，
在Rt△EPF中，EF2+PE2＝PF2，
即42+a2＝（8﹣a）2，
解得a＝3，
∴CP＝4﹣3＝1，
∴点P坐标为（﹣1，4），
故答案为（﹣1，4）．
17．解：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AEB＝∠AED，∠ABE＝∠ADE，
∵∠CBF＝20°，
∴∠ABE＝70°，
∴∠AED＝∠AEB＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故答案为：65
18．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
在△ABE和△DAF中，
∵，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝5、CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF＝＝，
∴GH＝BF＝，
故答案为：．
19．解：过点B作BF⊥AD于点F，延长DF使FG＝EC，连接BG，
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°，BF⊥AD
∴四边形CDFB是矩形
∵BC＝CD
∴四边形CDFB是正方形
∴CD＝BC＝DF＝BF，∠CBF＝90°＝∠C＝∠BFG，
∵BC＝BF，∠BFG＝∠C＝90°，CE＝FG
∴△BCE≌△BFG（SAS）
∴BE＝BG，∠CBE＝∠FBG
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABF＝45°，
∴∠ABF+∠FBG＝45°＝∠ABG
∴∠ABG＝∠ABE，且AB＝AB，BE＝BG
∴△ABE≌△ABG（SAS）
∴AE＝AG＝5，
∴AF＝AG﹣FG＝5﹣2＝3
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴25＝（DF﹣3）2+（DF﹣2）2，
∴DF＝6，DF＝﹣1（不合题意）
∴BC＝6
故答案为：6
20．解：（1）证明：在△GAD和△EAB中，∠GAD＝90°+∠EAD，∠EAB＝90°+∠EAD，
∴∠GAD＝∠EAB，
∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，
∴AG＝AE，AB＝AD，∠DAB＝90°，
在△GAD和△EAB中
，
∴△GAD≌△EAB（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解：EB⊥GD．
理由如下：如图1，AD，BE的交点记作点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠AMB+∠ABM＝90°，
又∵△AEB≌△AGD，
∴∠GDA＝∠EBA，
∵∠HMD＝∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH＝∠AMB+∠ABM＝90°，
∴∠DHM＝180°﹣（∠HDM+∠DMH）＝180°﹣90°＝90°，
∴EB⊥GD．
（3）解：如图2，连接AC、BD，BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，OA＝OB，
∴BD⊥CG，
∵AB＝AD＝2，
在Rt△ABD中，DB＝，
OD＝DB＝
在Rt△AOB中，OA＝OB，AB＝2，由勾股定理得：2AO2＝22，
OA＝，
即OG＝OA+AG＝+＝2，
∴EB＝GD＝．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，
∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE（ASA），
∴BH＝DC＝AB，
即B是AH的中点，
又∵∠AFH＝90°，
∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
22．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，
延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，
易知四边形BCDM是正方形，
则△BEC与△BGM中，
，
∴△BEC≌△BMG（SAS），
∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，
即∠ABE＝∠ABG＝45°，
在△ABE与△ABG中，
，
∴△ABE≌△ABG（SAS），
∴AG＝AE＝10，
设CE＝x，则AM＝10﹣x，
AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，
即x2﹣10x+24＝0；
解得：x1＝4，x2＝6．
故CE的长为4或6．
23．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，（3分）
∴四边形MANP是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，（5分）
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN．
24．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB∥CD，
∵AF⊥BE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠EAF+∠AEB＝90°，∠EAF+∠BAF＝90°，
∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，
∴△BAE≌△ADF，
∴AE＝DF，
∵E为AD边上的中点，
∴点F是CD边的中点；
（2）证明：延长AD到G．使MG＝MB．连接FG，FB，
∵BM＝DM+CD，
∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90°，DF＝CF，
∴△FDG≌△FCB（SAS），
∴∠DFG＝∠CFB，
∴B，F，G共线，
∵E为AD边上的中点，点F是CD边的中点，AD＝CD
∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90°，AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，
∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，
∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，
∴∠MBC＝2∠ABE．

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