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第三章
函数的概念与性质
单元检测卷（B）
一、单选题
1．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列结论中，正确的是（
）
A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
3．函数y＝2x＋，则（
）
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最小值，最大值
D．既无最大值，也无最小值
4．下列函数中，在区间上单调递增的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足的x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（
）
A．
B．
C．
D．
8.如果函数在区间上是单调函数，那么实数的取值范围是（
）
A．或
B．或
C．或
D．
二、多选题
9．下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”的是（
）
A．f（x）＝－
B．f（x）＝－3x＋1
C．f（x）＝x2＋4x＋3
D．f（x）＝x－
10．某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（
）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
11．已知函数为幂函数，则该函数为（
）
A．奇函数
B．偶函数
C．区间上的增函数
D．区间上的减函数
12．(多选)已知函数
则下列关于函数的结论正确的是（
）
A．的值域为
B．
C．若，则的值是
D．的解集为
三、填空题
13．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米元.李明家的使用面积为平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，那么它的建筑面积最多不超过_______平方米.
14．已知具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③，其中满足“倒负”变换的函数是______.
15．已知函数在[1，2]上为增函数，求实数的取值范围__________.
16．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______．
四、解答题
17．已知函数是幂函数，求的值．
18．讨论函数（）在上的单调性.
19．求下列函数的值域：
（1）；
（2）
20．设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
21．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
22．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数）.该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
（天）
10
20
25
30
（个）
110
120
125
120
已知第10天该商品的日销售收入为121元.
（1）求的值;
（2）给出以下二种函数模型：
①，②，
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式;
（3）求该商品的日销售收入（元）的最小值.
参考答案
1．A
【解析】函数有意义，则有，解得且，
所以原函数的定义域是.
故选：A
2．C
【解析】当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不经过原点，故A错误；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；
当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误．
故选：C.
3．A
【解析】解：设＝t（t≥0），则x＝，
所以y＝1－t2＋t＝－2＋（t≥0），
对称轴t＝，所以y在上递增，在上递减，
所以y在t＝处取得最大值，无最小值.
故选：A.
4．A
【解析】对于，，在区间上，，是增函数，符合题意；
对于，，是反比例函数，在区间是减函数，不符合题意；
对于，，是二次函数，在区间是减函数，不符合题意；
对于，，是一次函数，在上是减函数，不符合题意；
故选：.
5．A
【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，
又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.
故选：A.
6．D
【解析】依题意得，所以，
由三边形三边关系可得，即，解得.
因此，函数解析式为.
故选：D.
7．C
【解析】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意；
当时,,不符合题意.
综上所述:
此户居民本月用水量为15.
故选：C.
8．A
【解析】函数的对称轴为，
若函数在区间上是单调函数，
若在区间上是单调递减，则，解得：，
若在区间上是单调递增，则，解得：，
故实数的取值范围是：或，
故选：A.
9．ACD
【解析】因为“对任意x1，x2∈（0，＋∞），都有＞0”
所以不妨设0<
x1所以f（x）为（0，＋∞）上的增函数.
对于A：f（x）＝－在（0，＋∞）上为增函数,故A正确;
对于B：f（x）＝－3x＋1在（0，＋∞）上为减函数,故B错误;
对于C：f（x）＝x2＋4x＋3对称轴为x=-2,开口向上,所以在（0，＋∞）上为增函数,故C正确;
对于D：f（x）＝x－,因为在（0，＋∞）上为增函数,
在（0，＋∞）上为增函数,所以f（x）＝x－在（0，＋∞）上为增函数,
故D正确;
故选:ACD
10．AC
【解析】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，
在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误.
故选：AC
11．BC
【解析】由为幂函数，得，即m=2，
则该函数为，故该函数为偶函数，且在区间上是增函数，
故选：BC.
12．AC
【解析】当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，由，解得(舍去)，当时，由，解得或(舍去)，故C正确；
当时，由，解得，当时，由，解得，因此的解集为，故D错误.
故选：AC.
13．
【解析】解：设李明家建筑面积为平方米，
按方案（1），李明家需缴元，
按方案（2），李明家需缴元，
因为选择第（2）种方案缴纳供暖费较少，
则，解得，
所以它的建筑面积最多不超过80平方米.
故答案为：80.
14．①③
【解析】对于①，，该函数的定义域为，
对任意的，，满足条件；
对于②，，该函数的定义域为，
对任意的，，不满足条件；
对于③，因为，当时，，则，
当时，，，
当时，.
所以，对任意的，.
综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.
故答案为：①③.
15．
【解析】解：当时，在上为增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为，则或，解得或
综上可得，实数k的取值范围是
故答案为：
16．
【解析】幂函数可设为，图象过点，则，则，
所以.
故答案为：.
17．-6
【解析】因为是幂函数，
所以，解得，
所以．
18．答案见解析
【解析】任取、，且，，则：
，
当时，，即，函数在上单调递减；
当时，，即，函数在上单调递增.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）由题，得，
整理，得，
当时，；
当时，
方程有实根，，
即，解得，或，
综上，所以值域为：.
（2）易知，且.
又
，
当时，有最大值，
当或时，有最小值0，
所以当时，易得，故的值域为.
20．（1）；（2）
【解析】（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；
（2）由（1）知，当时，．
所以在
上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为：
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为
，解得；
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为
，
解得或
所以的取值范围为：.
21．（1）；（2）存在，.
【解析】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得
，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
22．（1）；（2）；（3）最小值为121元.
【解析】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为
，解得.
（2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②.
，，可得，解得：
（3）由（2）知
∴
当时，在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增，
所以当时，取得最小值，且;
当时，是单调递减的，所以当时，取得最小值，且.
综上所述，当时，取得最小值，且.
故该商品的日销售收入的最小值为121元.

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