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2021-2022学年江苏省苏州市高三（上）期初调研数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知M、N为R的子集，若M∩?RN＝?，N＝{1，2}（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若复数z满足（1+i）z＝1+2i（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于复平面的（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），如果P（ξ≤1）＝0.84（﹣1＜ξ≤0）为（　　）
A．0.34
B．0.68
C．0.15
D．0.07
4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β
C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
6．设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（　　）
A．＞
B．ab+＞9
C．a2+b2＞4ab﹣3b2
D．a＞|a﹣b|﹣b
7．设，是两个非零向量，下列说法正确的是（　　）
A．若＝，则⊥
B．若⊥，则＝
C．若＝，则存在实数λ，使得＝λ
D．若存在实数λ，使得＝λ，则＝
8．已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，如表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/部
52
95
a
185
227
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为＝44x+10（　　）
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝155
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
10．设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（　　）
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列对任意的n∈N
，Sn+1＞Sn恒成立，则Sn＞0
D．若对任意的n∈N
，均有Sn＞0，则Sn+1＞Sn恒成立
11．已知曲线C：?＝3，以下判断正确的是（　　）
A．曲线C与y轴交点为（0，±2）
B．曲线C关于y轴对称
C．曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]
D．曲线C上点到原点的距离最小值为
12．在棱长固定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别满足，＝μ（λ∈[0，1]，μ∈[0，1]），则（　　）
A．当时，三棱锥A1﹣B1EF的体积为定值
B．当时，存在λ使得BD1⊥平面B1EF
C．当时，点A，B到平面B1EF的距离相等
D．当λ＝μ时，总有A1F⊥C1E
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的标准方程为
　
　．
14．等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝+，则△ABC的面积为
　
　．
15．设f（x）是定义在x≠0上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，满足：＞0，若f（2），则不等式f（x）﹣＞0的解集为
　
　．
16．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，FE均与圆O相切，B、C为切点，已知，则该零件的截面的周长为
　
　．（结果保留π）
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N
）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，若Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
18．在△ABC中，AB＝6，，点D在BC边上，∠ADB为锐角．
（1）若，求线段DC的长度；
（2）若∠BAD＝2∠DAC，求sinC的值．
19．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y
20．在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若直线PC与AB所成角的正切值为，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
21．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点A，其上一点，以AP为直径的圆经过F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C有且只有一个公共点．求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1．
22．已知函数．
（1）若函数y＝f（x）在x＝x0（ln2＜x0＜ln3）处取得极值1，证明：；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知M、N为R的子集，若M∩?RN＝?，N＝{1，2}（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据题意可得出M?N，然后可求出集合N的子集个数为4，从而可得出满足题意的M的个数．
解：∵M∩?RN＝?，N＝{1，
∴M?N，
∵N的子集个数为：26＝4个，
∴满足题意的M的个数为：4．
故选：D．
2．若复数z满足（1+i）z＝1+2i（其中i是虚数单位），则复数z对应的点位于复平面的（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【分析】直接化简复数（1+i）z＝1+2i为a+bi的形式，即可确定复数在复平面内对应的点所在象限．
解：∵（1+i）z＝1+2iz＝＝，复数z在复平面内对应的点为（，），
∴复数z在复平面内对应的点在第一象限．
故选：A．
3．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），如果P（ξ≤1）＝0.84（﹣1＜ξ≤0）为（　　）
A．0.34
B．0.68
C．0.15
D．0.07
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
解：∵P（ξ≤1）＝0.84，
∴P（ξ＞3）＝1﹣P（ξ≤1）＝4﹣0.84＝0.16，
∴P（﹣8＜ξ≤0）＝．
故选：A．
4．衡阳市在创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶．一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】基本事件总数n＝＝6，其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出恰好有一袋垃圾投对的概率．
解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”．
一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，
基本事件总数n＝＝6，
其中恰好有一袋垃圾投对包含的基本事件个数m＝＝3，
则恰好有一袋垃圾投对的概率为P＝＝．
故选：D．
5．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥β，γ⊥β且α∩γ＝m，则m⊥β
C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
【分析】利用空间线面面面平行与垂直的判定定理即可判断出正误．
解：A．若m∥α，则m∥n，或为异面直线；
B．若α⊥β，则m⊥β；
C．若m?α，m∥β，则α与β不一定平行；
D．若m⊥α，α⊥β，因此不正确．
故选：B．
6．设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（　　）
A．＞
B．ab+＞9
C．a2+b2＞4ab﹣3b2
D．a＞|a﹣b|﹣b
【分析】可以带特殊值判断选项错误．
解：令a＝b＝1，则A错；
令a＝1，b＝；
令a＝5，b＝4；
故选：D．
7．设，是两个非零向量，下列说法正确的是（　　）
A．若＝，则⊥
B．若⊥，则＝
C．若＝，则存在实数λ，使得＝λ
D．若存在实数λ，使得＝λ，则＝
【分析】根据选择项知需要判断命题的真假，由数量积运算将两边平方后化简说明C正确、A错、B错，再对两边取模后，代入进行验证D错．
解：设非零向量，的夹角是θ，
①将两边平方得，，
即，得cosθ＝﹣3，
则，是共线向量，，则C正确；
另：当时，有，代入，故B错；
②存在实数λ，时，
则，，
故不一定成立．
故选：C．
8．已知点P为双曲线右支上一点，F1，F2分别为C的左，右焦点，直线PF1与C的一条渐近线垂直，垂足为H，若|PF1|＝4|HF1|，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】取PF1的中点M．可得OH∥MF2．△PF1F2为等腰三角形．利用sin＝＝sin∠F1OH＝．解得e＝，
解：如图：取PF1的中点M．
∵|PF1|＝5|HF1|，∴OH∥MF2．
∵直线PF2垂直OH，垂足为H2⊥PF1，故△PF8F2为等腰三角形．
∴PF2＝F3F2＝2c，可得PF8＝2a+2c．
∵tan∠F6F2M＝tan∠F1OH＝，
∴sin＝＝sin∠F4OH＝．
∴a+c＝2b，?（a+c）2＝2（c2﹣a2）?3e2﹣2e﹣5＝0，
解得e＝，
故选：C．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．目前，我国加速了5G技术的融合与创新，如表所示：
月份
2020年6月
2020年7月
2020年8月
2020年9月
2020年10月
月份编号x
1
2
3
4
5
销量y/部
52
95
a
185
227
若y与x线性相关，由上表数据求得线性回归方程为＝44x+10（　　）
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝155
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
【分析】利用回归方程求出预报值，即可判断选项A，利用线性回归方程必过样本中心，求解a即可判断选项B，利用线性相关关系即可判断选项C，求解x＝7的预报值，即可判断选项D．
解：线性回归方程为＝44x+10，平均每个月增加44台；
由表中的数据可得，，
所以，
则52+95+a+185+227＝142×2＝710，即a＝151；
由回归方程中x的系数大于0，可知y和x正相关，故选项C正确；
12月份时，x＝7，则部．
故选：CD．
10．设Sn是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是（　　）
A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项
B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0
C．若数列对任意的n∈N
，Sn+1＞Sn恒成立，则Sn＞0
D．若对任意的n∈N
，均有Sn＞0，则Sn+1＞Sn恒成立
【分析】当d＜0时，分a1≤0与a1＞0两种情况讨论，即可判断选项A正确；
证明若d＞0，数列{Sn}没有最大项，即可判断选项B正确；
举例等差数列{an}的通项公式an＝3n﹣4，可知选项C错误；
易知a1＞0，分d＞0与d＜0两类讨论即可．
解：当d＜0时，
若a1≤5，则数列{Sn}的最大项为S1，
若a1＞7，则存在n0，使≥3，，则数列{Sn}的最大项为，
故数列{Sn}有最大项，故选项A正确；
若d＞0，则存在n1，当n≥n7时，使an＞0，
此时Sn﹣1＜Sn，故数列{Sn}没有最大项，
故若数列{Sn}有最大项，则d＜8，
故选项B正确；
若等差数列{an}的通项公式an＝3n﹣4，可知选项C错误；
若对任意的n∈N
，均有Sn＞3，则a1＞0，
若d＞8，则Sn+1＞Sn恒成立，
若d＜0，则设n2＝2[]+6]表示不大于
a6+＝a1+a3（2[]+7﹣1）d
＝2（a3+（[]+1）d）≤5（a1+?d）＝2，
则＝?（a1+）?n6≤0，故d＜0不可能，
故选项D正确．
故选：ABD．
11．已知曲线C：?＝3，以下判断正确的是（　　）
A．曲线C与y轴交点为（0，±2）
B．曲线C关于y轴对称
C．曲线C上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]
D．曲线C上点到原点的距离最小值为
【分析】A中令x＝0，求出y值可得A不正确；B中将x换成﹣x，得到的式子与原来的相同，可得B正确；C中由y2≥0可得x的范围，可得C正确；设原点到曲线的点的距离为t，用t，x表示y代入等式，由x2≥0可得t的范围，即求出距离的最小值．
解：令x＝0，可得：?，解得y4＝2，即y＝±，
所以与y轴的交点坐标为：（2，±），所以A不正确；
因为?＝?＝3，所以B正确；
因为y7≥0，所以3＝?≥?2﹣1|
即﹣2≤x2﹣1≤5，解得：x∈[﹣2，所以C正确；
设t＝，则y2＝t2﹣x6，所以3＝?＝?＝?，
所以可得（1+t2）5﹣4x2＝6，
所以（1+t2）3﹣9＝4x2≥0，解得：t≥（舍）；
故选：BCD．
12．在棱长固定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别满足，＝μ（λ∈[0，1]，μ∈[0，1]），则（　　）
A．当时，三棱锥A1﹣B1EF的体积为定值
B．当时，存在λ使得BD1⊥平面B1EF
C．当时，点A，B到平面B1EF的距离相等
D．当λ＝μ时，总有A1F⊥C1E
【分析】A，当μ＝1时，三棱锥A1﹣B1EF的体积等于三棱锥F﹣A1B1E的体积，表示出体积表达式可得三棱锥A1﹣B1EF的体积为定值；
B，当时，利用不可能有BD1⊥B1F即可判断；
C，当时，E为线段AB的中点，即可判断；
D、以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，只需证＝0，可得A1F⊥C1E．
解：对于A，当μ＝时7﹣B1EF的体积即为三棱锥F﹣A1B6E的体积，且此时F为BC中点，
而三棱锥F﹣A1B1E的体积＝×BF＝××，为定值；
对于B，当时，不可能有BD1⊥B6F，则不存在λ使得BD1⊥平面B1EF，故B错；
对于C，当时，E为线段AB的中点，B到平面B1EF的距离相等，故C正确；
对于D，以D为原点、DC8所在直线分别为x轴、y轴，
则A1（1，2，1）、C1（7，1，1），则E（2，m，F（1﹣m，1，
从而＝（﹣m，1，＝（7，﹣1），∴，∴A1F⊥C1E，故D正确．
故选：ACD．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的标准方程为
　　．
【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x＝﹣6，可得双曲线的左焦点为（﹣6，0），再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程是，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．
解：因为抛物线y2＝24x的准线方程为x＝﹣6，所以由题意知，2）是双曲线的左焦点，
所以a2+b2＝c6＝36，①
又双曲线的一条渐近线方程是，所以＝，②
由①②解得a5＝9，b2＝27，
所以双曲线的方程为，
故答案为：．
14．等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝+，则△ABC的面积为
　　．
【分析】根据题意，设AB＝AC＝t，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴建立坐标系，可得BC的坐标，求出的坐标，可得P的坐标，又由∥，计算可得t的值，由三角形面积计算可得答案．
解：根据题意，△ABC为等腰直角三角形，设AB＝AC＝t，
以A为坐标原点，AB为x轴，如图：
则B（t，0），t），，0），，t），
则＝+＝4（1，7）＝（4，即P的坐标为（4，
点P是斜边BC边上一点，则∥，则有t﹣4＝1；
故等腰直角△ABC中，直角边的边长为5，
故△ABC的面积S＝×5×7＝；
故答案为：．
15．设f（x）是定义在x≠0上的奇函数，对任意的x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，满足：＞0，若f（2），则不等式f（x）﹣＞0的解集为
　（﹣2，0）∪（2，+∞）　．
【分析】构造函数g（x）＝xf（x），判断函数g（x）为偶函数，利用单调性的定义结合已知条件，确定函数g（x）的单调性，将所求解的不等式变形为，然后分x＞0和x＜0两种情况，分别求解不等式即可得到答案．
解：令g（x）＝xf（x），
因为f（x）是定义在{x|x≠0}上的奇函数，
则g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x），
故函数g（x）为偶函数，
因为对任意的x1，x5∈（0，+∞），x1≠x3，满足＞0，
则g（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
故在（﹣∞，6）上为单调递减函数，
因为f（2）＝4，
则g（2）＝2f（2）＝8，
所以f（x）﹣＝，
当x＞0时，g（x）﹣g（2）＞0，所以x＞3；
当x＜0时，g（x）﹣g（2）＜0，所以x＞﹣5．
综上所述，不等式f（x）﹣，0）∪（6．
故答案为：（﹣2，0）∪（2．
16．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位：cm），四边形AFED为矩形，AB，FE均与圆O相切，B、C为切点，已知，则该零件的截面的周长为
　84+6π　．（结果保留π）
【分析】可由，分别计算出AO，DO，进而计算出AB，CD，再由圆的周长求出弧BC的长度即可．
解：由题可设圆的半径为r，如图，
因为，
则AO＝，DO＝，
则AB＝5，CD＝16，
圆的周长为24π，所以弧BC＝6π，
则零件的周长C＝35+12+12+9+16+4π＝84+6π．
故答案为：84+6π．
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N
）．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn＝，若Tn＝b1+b2+b3+…+bn，求Tn．
【分析】（1）先由Sn＝2an﹣2n+1+2得Sn﹣1＝2an﹣1﹣2n+2（n＞1），然后两式相减，再构造等差数列{}，可解决此问题；
（2）根据错位相减法可求得Tn．
解：（1）∵Sn＝2an﹣2n+2+2，①
∴当n＞1时，Sn﹣3＝2an﹣1﹣5n+2，②
①﹣②得：an＝2an﹣8an﹣1﹣2n，
∴an﹣4an﹣1＝2n，
∴﹣＝11＝7a1﹣2，∴a2＝2，∴＝1，
∴数列{}是以2为首项，
∴＝1+（n﹣3）×1＝n，
∴an＝n?2n；
（2）bn＝＝n?（）n．
Tn＝1?+2?（）2+3?（）3+???+（n﹣5）（）n﹣4+n?（）n①，
∴Tn＝1?（）2+3?（）3+???+（n﹣1）（）n+n?（）n+2 
②，
①﹣②得：Tn＝+（）2+???+（）n﹣n?（）n+8
∴Tn＝1++（）4+???+（）n﹣7﹣n?（）n
＝﹣n?（）n＝2﹣（3+n）（）n．
18．在△ABC中，AB＝6，，点D在BC边上，∠ADB为锐角．
（1）若，求线段DC的长度；
（2）若∠BAD＝2∠DAC，求sinC的值．
【分析】（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC；
（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可．
解：（1）在△ABD中，由余弦定理得cosB＝＝＝，
∴BD＝5或BD＝5．
当BD＝4时，cos∠ADB＝，则∠ADB＞，舍去；
当BD＝8时，cos∠ADB＝，则∠ADB＜．
∴BD＝5．
在△ABC中，cosB＝＝＝，
∴BC＝12或BC＝﹣3（舍）．
∴DC＝BC﹣BD＝7．
（2）记∠DAC＝θ，则∠BAD＝6θ，cos∠BAD＝cos2θ＝＝，
∴2θ为锐角，得sin2θ＝＝，即sinθ＝，
解法一：sin3θ＝sin2θcosθ+cos5θsinθ＝，同理cos3θ＝．
由cosB＝，知：sinB＝，
∴sinC＝sin（π?B?3θ）＝sin（B+6θ）＝sinBcos3θ+cosBsin3θ＝．
解法二：cos∠BDA＝＝＝，sin∠BDA＝．
∴sinC＝sin（∠BDA?θ）＝sin∠BDAcosθ?cos∠BDAsinθ＝．
19．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y
【分析】（1）根据已知条件，分别利用超几何概型和二项分布计算甲，乙通过自主招生初试的概率，即可求解．
（2）由题意可知，乙答对题的个数X的可能取值为0，1，2，3，4，X～B（），分别求出对应的概率，又Y＝5X，即可得Y的分布列，再结合期望和方差公式，即可求解．
解：（1）∵甲在8个试题中甲能答对6个，
∴甲通过自主招生初试的概率，
又∵乙能答对每个试题的概率为，
∴乙通过自主招生初试的概率，
∵P5＞P2，
∴甲通过自主招生初试的可能性更大．
（2）由题意可知，乙答对题的个数X的可能取值为0，7，2，3，7），
P（X＝k）＝（k＝0，1，5，3，
故Y的分布列为：
Y
 0
 4
 10
 15
20
 P
 
 
 
 
∴，
D（Y）＝D（7X）＝52D（X）＝．
20．在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若直线PC与AB所成角的正切值为，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
【分析】（1）取CD的中点M，连结EM，FM，推导出EM∥PD，FM∥AD，从而平面EFM∥平面PAD，由此能证明EF∥平面PAD．
（2）推导出CD⊥PD，由AB∥CD，得∠PCD是直线PC与AB所成角，分别取AD和BC的中点O，N，连结PO，ON，推导出PO⊥平面ABCD，以O为原点，OA为x轴，ON为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．
解：（1）证明：取CD的中点M，连结EM，
∵E，F分别为PC和AB的中点，
∴EM∥PD，FM∥AD，
∵EM∩FM＝M，PD∩AD＝D，
∵EF?平面EFM，∴EF∥平面PAD．
（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD⊥AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵AB∥CD，∴∠PCD是直线PC与AB所成角，
∴tan∠PCD＝＝，设PD＝，
分别取AD和BC的中点O，N，连结PO，
∵PA＝PD，∴PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为原点，OA为x轴，OP为z轴，
则P（0，0，2），2，0），7，0），
∴＝（2，4，＝（1，2），
设＝（x，y，
则，取y＝1，得，6，1），
平面PAD的一个法向量＝（0，2，
∴cos＜＞＝＝＝，＜，
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．
21．椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点A，其上一点，以AP为直径的圆经过F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C有且只有一个公共点．求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1．
【分析】（1）根据条件得到＝0，得到c?﹣c+＝0，再将P点坐标代入得到，再结合b?+c?＝a?，即可解出a?，b?，进而得到椭圆方程；
（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，与椭圆方程联立得到m?＝2k?+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，表示出d1?d2＝1，得到，解出即可．
解：（1）由题设F（c，0），b），
因为以AP为直径的圆经过F，所以，即有c?﹣＝8，
因为点P在椭圆C上，所以，
又b?+c?＝a?，解得a?＝2，c?＝1，
所以椭圆的方程为；
证明：（2）设动直线l的方程为y＝kx+m，代入椭圆方程可得（2k?+1）x?+5kmx+2m?﹣2＝7，
则△＝16k?m?﹣4（2k?+6）（2m?﹣2）＝8，即m?＝2k?+1，
假设存在M5（λ1，0），M8（λ2，0）满足题设，
则d2?d2＝＝|，
则，解得或，
综上所述，存在两个定点M3（1，0），M4（﹣1，0）．
22．已知函数．
（1）若函数y＝f（x）在x＝x0（ln2＜x0＜ln3）处取得极值1，证明：；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可得a与x0的关系，代入后结合导数可求；
（2）由已知分离参数可得，恒成立，结合不等式可进行构造函数，结合导数研究函数的范围即可求解．
解：（1）．
∵函数y＝f（x）在x＝x0处取得极值7，
∴，
∴，
∴，
令，
∴r（x）为增函数，
∵0＜ln5＜x0＜ln3，
∴r（ln2）＜a＜r（ln3），
即．
（2）不等式恒成立，
即不等式xex﹣lnx﹣ax≥1恒成立，即恒成立．
令．
令．
∵x＞0，∴h'（x）＞0．
∴h（x）在（6，+∞）上单调递增，且．
∴h（x）有唯一零点．
当x∈（8，x1）时，h（x）＜0，g（x）单调递减；
∴．
由h（x1）＝8整理得，∵，
令k（x）＝xex（x＞0），则方程1）＝k（﹣lnx1），
而k'（x）＝（x+4）ex在（0，+∞）上恒大于零，+∞）上单调递增，
∵k（x1）＝k（﹣lnx7），∴x1＝﹣lnx1，∴，∴．
∴a≤1．∴实数a的取值范围为（﹣∞．

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