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广东省揭阳市普宁市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·普宁期中）若集合 ， ，则 等于（　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·汕头月考）命题“ ”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020高一上·普宁期中）设 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （　　）
A．-1 B．-3 C．1 D．3
4．（2018高一上·营口期中）设 , 则 “ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2020高一上·普宁期中）若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高一上·普宁期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A． B． C． D．
7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2020高一上·普宁期中）当函数 ，取得最小值时， （　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高一上·普宁期中）已知集合 有下列四个式子，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·普宁期中）下列函数中，满足 的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高一上·普宁期中）已知幂函数 ，下列说法正确的有（　　）
A．
B．如果 是偶函数，则 一定是偶数
C． 的图像恒经过定点 和
D． 的图像与x轴正半轴没有交点
12．（2020高一上·普宁期中）已知 ，不等式 的解集是 ，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．关于 的不等式 的解集是
D．如果 ，则
三、填空题
13．（2020高一上·普宁期中）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　 　
14．（2020高一上·深圳期中）函数y＝ 的定义域是　 　.
15．（2020高一上·大名月考）已知 ， ，则 的取值范围是　 　.
16．（2020高一上·普宁期中）设函数 ，则 　 　：如果 ，则 　 　.
四、解答题
17．（2020高一上·普宁期中）设 为定义在R上的偶函数，当 时， ；当 时， ，直线 与抛物线 的一个交点为 ，如图所示.
（1）当 时，写出 的递增区间(不需要证明)；
（2）补全 的图像，并根据图像写出不等式 的解集，
18．（2020高一上·普宁期中）已知集合 ，若 ，求实数m的值.
19．（2020高一上·普宁期中）
（1）已知 ，求 的最大值
（2）已知 ， 均为正实数，若 ，求 的最大值
20．（2020高一上·长治期中）已知函数 为 上的奇函数，且 .
（1）求 ；
（2）判断 在 上的单调性并证明.
21．（2020高一上·普宁期中）已知 ，奇函数 与偶函数 的定义域均为 ，且满足 .
（1）分别求 和 的解析式：
（2）若对任意 恒成立，试求实数a的取值范围.
22．（2020高一上·建昌月考）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足 （其中 ，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本 万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为 元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合 ， ，
得到 .
故答案为：A
【分析】 根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为 的否定为 ， 的否定为 ，
所以原命题的否定为： .
故答案为：C.
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.
3．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】已知 是定义在 上的偶函数，则有 ，故 ，又因为当 时， ， ，故 .
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 一定可得出 ；但反过来，由 不一定得出 ，如 ，
故答案为：A.
【分析】根据 一定推出 ，反之，若 ，a=0就不能得出 。
5．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题 是真命题，
则 ，即 ，解得 ．
故答案为：B
【分析】 命题 是真命题，利用二次函数的单调性求出其最大值即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D符合题意，
故答案为：D.
【分析】 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选：C
【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ；当 时， 最小.
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 .
所以当 时，函数 取得最小值为 ，
故答案为：A.
【分析】 当 时， ；当x> 1时，利用基本不等式求得最小值，可得x的取值.
9．【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】因为 ，而 ，
所以 ，A符合题意，
再由集合的包含关系可得： ，B符合题意，
则C，D不符合题意，
故答案为：AB
【分析】 根据π的估值以及的估值即可判断a与M的关系以及集合{a}与M的关系.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：对于A选项， ， ， ，所以A符合题意；
对于B选项， ，满足 ，所以B符合题意；
对于C选项， ， ， ，不满足 ，所以C不正确；
对于D选项， ， ， ，所以D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】 利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可.
11．【答案】A,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的性质
【解析】【解答】对于A：根据幂函数的定义得； ，A符合题意；
对于B：当 时， 是偶函数，B不符合题意；
对于C： 恒过 ，（ 时，不过 ），C不符合题意；
对于D：令 ，不成立，即与 正半轴不相交，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】 根据幂函数的定义以及性质分别判断即可.
12．【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A选项， 的解集是 ，则 ，A选项不正确；
对于B选项，由题意知 是方程 的实数根，故 ，B选项正确；
对于C选项，由题意知 和 是方程 的实数根，则由韦达定理得 ， ，则不等式 变为 ，即 ，解不等式得 的取值范围为： ，C选项正确；
对于D选项，如果 ，则 ，故 ，则 ，D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】 将不等式转化为方程，再利用图象即可求解.
13．【答案】12
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】设两者都喜欢的人数为x人，
则只喜爱篮球的有(15-x)人，
只喜爱乒乓球的有(10-x)人，
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3，
所以15- x= 12
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.
【分析】 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-x)人，只喜爱乒乓球的有(10-x)人，由此可得(15-x) + (10-x) +x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
14．【答案】{x｜x≥－1且x≠0}
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，只要 即x≥－1且x≠0.
所以定义域为{x|x≥－1且x≠0}.
故答案为：{x|x≥－1且x≠0}
【分析】根据分母不为零，以及被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.
15．【答案】5≤4a-2b≤10
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】令 ，则 ，解得 .
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：5≤4a-2b≤10.
【分析】把 用a-b和a+b表示，然后由不等式的性质得出结论．
16．【答案】；0或
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数
.
，当 时，可得 ，则
当 时， ，解得 ，或 舍去.
故答案为： ；0或 .
【分析】 利用函数的解析式，逐步求解函数值，以及函数的零点即可.
17．【答案】（1）解：由图象观察可知 的单调增区间为
（2）函数 图象如图所示：
当 时， ，可得 ，即
根据函数图象可得，当 或 时，
所以 的解集为
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】 (1)直接根据图象写结果即可；
(2)根据偶函数的对称性即可直接画图，并求出不等式的解集.
18．【答案】解：因为 ，故 且 ，所以 ，或者
解得 ，或者
当 时， ，不合题意；
当 时， ，与集合元素的互异性矛盾；
当 时， ，符合题意；
综上所述，
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】根据条件可得出m=5或土3，然后然后分别让m=5， 3， -3，然后求出集合A， B，检验是否满足题意即可.
19．【答案】（1）解：已知 ，∴ ．
∴
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
∴
∴
∴ 时， 取得最大值为4
（2）解：∵ ， ，
∴
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
∴
∴
∴ 的最大值为1
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，再根据基本不等式即可求出；
(2) 5-xy=x+4y根据基本不等式可得 ，解得即可求出xy的最大值.
20．【答案】（1）解：因为f(x)为R上的奇函数且 .
所以 ， ， ，综上，
（2）解：由（1）知： ， 在 上单调递减，
证明如下：在 上任取 ，且 ，
，
， ， ， ， ，
，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由已知条件可得 ， ，从而可求出 的值；（2）利用单调性的定义进行证明即可
21．【答案】（1）由已知条件 ——①
①式中以 代替 ，得 ——②
因为 是奇函数， 是偶函数，故
②可化为 ——③
①-③，得
故
（2）由（1）知，
当 时，函数 的值恒为正；
当 时，函数 在 上为增函数
故当 时， 有最小值
故只需 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是
法二：由（1）知，
当 时， 恒成立，等价于
而二次函数 在 上单调递减
时，
故
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)由函数的奇偶性的定义，可得 ，联立 ，解方程可得f(x) ，g(x)的解析式；
(2)方法一、讨论当a≥0时， a<0时，结合函数的单调性，求得最小值，解不等式可得所求范围；
方法二、运用参数分离和二次函数的单调性可得最值，即可得到所求范围.
22．【答案】（1）解：由题意知， ，
将 代入化简得： （ ）；
（2）解： ，
（ⅰ）当 时，
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
②当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
从而促销费用投入 万元时，厂家的利润最大；
（ⅱ）当 时，因为函数 在 上单调递增，
所以在 上单调递增，故当 时，函数有最大值，
即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大.
综上，当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为 万元；
当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大，为 万元.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合利润等于价格减去成本的方法，从而写出将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数。
（2）由（1）求出的函数解析式结合求导的方法判断出函数的单调性，再利用单调性求出函数的最大值，从而求出对应的自变量的值，进而得出当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大。
1 / 1广东省揭阳市普宁市2020-2021学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·普宁期中）若集合 ， ，则 等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合 ， ，
得到 .
故答案为：A
【分析】 根据集合M和N，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集.
2．（2020高一上·汕头月考）命题“ ”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为 的否定为 ， 的否定为 ，
所以原命题的否定为： .
故答案为：C.
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.
3．（2020高一上·普宁期中）设 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则 （　　）
A．-1 B．-3 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】已知 是定义在 上的偶函数，则有 ，故 ，又因为当 时， ， ，故 .
故答案为：D
【分析】 根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.
4．（2018高一上·营口期中）设 , 则 “ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由 一定可得出 ；但反过来，由 不一定得出 ，如 ，
故答案为：A.
【分析】根据 一定推出 ，反之，若 ，a=0就不能得出 。
5．（2020高一上·普宁期中）若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题 是真命题，
则 ，即 ，解得 ．
故答案为：B
【分析】 命题 是真命题，利用二次函数的单调性求出其最大值即可得出答案.
6．（2020高一上·普宁期中）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D符合题意，
故答案为：D.
【分析】 根据基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可.
7．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的表示方法
【解析】【解答】解：考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确．
故选：C
【分析】解答本题，可先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项
8．（2020高一上·普宁期中）当函数 ，取得最小值时， （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】当 时， ；当 时， 最小.
当 时， ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
因为 .
所以当 时，函数 取得最小值为 ，
故答案为：A.
【分析】 当 时， ；当x> 1时，利用基本不等式求得最小值，可得x的取值.
二、多选题
9．（2020高一上·普宁期中）已知集合 有下列四个式子，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】因为 ，而 ，
所以 ，A符合题意，
再由集合的包含关系可得： ，B符合题意，
则C，D不符合题意，
故答案为：AB
【分析】 根据π的估值以及的估值即可判断a与M的关系以及集合{a}与M的关系.
10．（2020高一上·普宁期中）下列函数中，满足 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：对于A选项， ， ， ，所以A符合题意；
对于B选项， ，满足 ，所以B符合题意；
对于C选项， ， ， ，不满足 ，所以C不正确；
对于D选项， ， ， ，所以D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】 利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可.
11．（2020高一上·普宁期中）已知幂函数 ，下列说法正确的有（　　）
A．
B．如果 是偶函数，则 一定是偶数
C． 的图像恒经过定点 和
D． 的图像与x轴正半轴没有交点
【答案】A,D
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的性质
【解析】【解答】对于A：根据幂函数的定义得； ，A符合题意；
对于B：当 时， 是偶函数，B不符合题意；
对于C： 恒过 ，（ 时，不过 ），C不符合题意；
对于D：令 ，不成立，即与 正半轴不相交，D符合题意；
故答案为：AD.
【分析】 根据幂函数的定义以及性质分别判断即可.
12．（2020高一上·普宁期中）已知 ，不等式 的解集是 ，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．关于 的不等式 的解集是
D．如果 ，则
【答案】B,C,D
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】解：对于A选项， 的解集是 ，则 ，A选项不正确；
对于B选项，由题意知 是方程 的实数根，故 ，B选项正确；
对于C选项，由题意知 和 是方程 的实数根，则由韦达定理得 ， ，则不等式 变为 ，即 ，解不等式得 的取值范围为： ，C选项正确；
对于D选项，如果 ，则 ，故 ，则 ，D选项正确.
故答案为：BCD.
【分析】 将不等式转化为方程，再利用图象即可求解.
三、填空题
13．（2020高一上·普宁期中）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为　 　
【答案】12
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】设两者都喜欢的人数为x人，
则只喜爱篮球的有(15-x)人，
只喜爱乒乓球的有(10-x)人，
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3，
所以15- x= 12
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.
【分析】 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15-x)人，只喜爱乒乓球的有(10-x)人，由此可得(15-x) + (10-x) +x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数.
14．（2020高一上·深圳期中）函数y＝ 的定义域是　 　.
【答案】{x｜x≥－1且x≠0}
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，只要 即x≥－1且x≠0.
所以定义域为{x|x≥－1且x≠0}.
故答案为：{x|x≥－1且x≠0}
【分析】根据分母不为零，以及被开方数是非负数，列出不等式，求解即可.
15．（2020高一上·大名月考）已知 ， ，则 的取值范围是　 　.
【答案】5≤4a-2b≤10
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】令 ，则 ，解得 .
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：5≤4a-2b≤10.
【分析】把 用a-b和a+b表示，然后由不等式的性质得出结论．
16．（2020高一上·普宁期中）设函数 ，则 　 　：如果 ，则 　 　.
【答案】；0或
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数
.
，当 时，可得 ，则
当 时， ，解得 ，或 舍去.
故答案为： ；0或 .
【分析】 利用函数的解析式，逐步求解函数值，以及函数的零点即可.
四、解答题
17．（2020高一上·普宁期中）设 为定义在R上的偶函数，当 时， ；当 时， ，直线 与抛物线 的一个交点为 ，如图所示.
（1）当 时，写出 的递增区间(不需要证明)；
（2）补全 的图像，并根据图像写出不等式 的解集，
【答案】（1）解：由图象观察可知 的单调增区间为
（2）函数 图象如图所示：
当 时， ，可得 ，即
根据函数图象可得，当 或 时，
所以 的解集为
【知识点】函数的单调性及单调区间；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】 (1)直接根据图象写结果即可；
(2)根据偶函数的对称性即可直接画图，并求出不等式的解集.
18．（2020高一上·普宁期中）已知集合 ，若 ，求实数m的值.
【答案】解：因为 ，故 且 ，所以 ，或者
解得 ，或者
当 时， ，不合题意；
当 时， ，与集合元素的互异性矛盾；
当 时， ，符合题意；
综上所述，
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【分析】根据条件可得出m=5或土3，然后然后分别让m=5， 3， -3，然后求出集合A， B，检验是否满足题意即可.
19．（2020高一上·普宁期中）
（1）已知 ，求 的最大值
（2）已知 ， 均为正实数，若 ，求 的最大值
【答案】（1）解：已知 ，∴ ．
∴
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
∴
∴
∴ 时， 取得最大值为4
（2）解：∵ ， ，
∴
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
∴
∴
∴ 的最大值为1
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】 (1)由题意可得 ，再根据基本不等式即可求出；
(2) 5-xy=x+4y根据基本不等式可得 ，解得即可求出xy的最大值.
20．（2020高一上·长治期中）已知函数 为 上的奇函数，且 .
（1）求 ；
（2）判断 在 上的单调性并证明.
【答案】（1）解：因为f(x)为R上的奇函数且 .
所以 ， ， ，综上，
（2）解：由（1）知： ， 在 上单调递减，
证明如下：在 上任取 ，且 ，
，
， ， ， ， ，
，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）由已知条件可得 ， ，从而可求出 的值；（2）利用单调性的定义进行证明即可
21．（2020高一上·普宁期中）已知 ，奇函数 与偶函数 的定义域均为 ，且满足 .
（1）分别求 和 的解析式：
（2）若对任意 恒成立，试求实数a的取值范围.
【答案】（1）由已知条件 ——①
①式中以 代替 ，得 ——②
因为 是奇函数， 是偶函数，故
②可化为 ——③
①-③，得
故
（2）由（1）知，
当 时，函数 的值恒为正；
当 时，函数 在 上为增函数
故当 时， 有最小值
故只需 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是
法二：由（1）知，
当 时， 恒成立，等价于
而二次函数 在 上单调递减
时，
故
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】 (1)由函数的奇偶性的定义，可得 ，联立 ，解方程可得f(x) ，g(x)的解析式；
(2)方法一、讨论当a≥0时， a<0时，结合函数的单调性，求得最小值，解不等式可得所求范围；
方法二、运用参数分离和二次函数的单调性可得最值，即可得到所求范围.
22．（2020高一上·建昌月考）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2018年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足 （其中 ，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本 万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为 元，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．
【答案】（1）解：由题意知， ，
将 代入化简得： （ ）；
（2）解： ，
（ⅰ）当 时，
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
②当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
从而促销费用投入 万元时，厂家的利润最大；
（ⅱ）当 时，因为函数 在 上单调递增，
所以在 上单调递增，故当 时，函数有最大值，
即促销费用投入 万元时，厂家的利润最大.
综上，当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为 万元；
当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大，为 万元.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合利润等于价格减去成本的方法，从而写出将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数。
（2）由（1）求出的函数解析式结合求导的方法判断出函数的单调性，再利用单调性求出函数的最大值，从而求出对应的自变量的值，进而得出当 时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当 时，促销费用投入 万元，厂家的利润最大。
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