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专题二
函数和导数
03
函数的奇偶性与周期性
考纲对本模块内容的具体要求如下：
周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．常利用奇偶性及周期性进行交换，即将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
数学抽象：能从教材实例中抽象出函数的奇偶性的概念.
逻辑推理：1.能根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
2.能综合利用函数的奇偶性与单调性解决简单问题.
3.能根据函数的奇偶性求函数的解析式.
直观想象：了解奇、偶函数图象的特性，并能简单应用.
一、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且_______，则这个函数叫做奇函数
关于______对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且_______，则这个函数叫做偶函数
关于______对称
二、函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_______，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_______的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_______正周期.
奇偶性常见结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
考点一
函数的奇偶性及其应用
考法1
判断函数的奇偶性
（1）（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·河南高三月考（理））已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
利用奇偶性求函数值
（1）（2021·巍山彝族回族自治县第二中学高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．3
（2）（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
考法3
利用奇偶性求解析式
（1）（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）函数在上为奇函数，当时，，则当，（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·太原市第五十六中学校高二月考（理））函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2021·合肥百花中学）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
考法4
利用奇偶性求参数的值
（1）（2021·常州市西夏墅中学高三开学考试）设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（
）
A．-1
B．
C．
D．
（2）（2021·江北区·重庆十八中）已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
判断函数的奇偶性的两种方法：①定义法；②图象法.
利用函数的奇偶性求函数值的思路：
已知求的思路：判断函数的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出和的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求.
利用奇偶性求函数解析式的方法：
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:先设出未知区间上的自变量，再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.
利用奇偶性求参数：
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内任一个值，利用和的关系式恒成立来确定参数的值.
③特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.
【跟踪练习】（1）（2021·云南高一期末）已知奇函数y=f（x）在x≤0时的表达式为f（x）=+3x，则x>0时f（x）的表达式为（
）
A．f（x）=+3x
B．f（x）=-+3x
C．f(x)=-3x
D．f（x）=--3x
（2）（2020·江苏省盱眙中学高一月考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则______．
（3）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）若函数为奇函数，则______．
考点二
函数的奇偶性、周期性、对称性的应用
（1）（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））已知函数，，有下列个命题：
①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；
②函数与的图象关于直线对称：
③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
其中正确命题的序号为______.
答案
①②③④
【规律方法】
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体性质，即周期性和奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T时函数的周期，则也是函数的周期.
【跟踪练习】
考点三
函数性质的综合应用
考法1
单调性与奇偶性结合
（1）（2021·贵州省瓮安第二中学高一月考）下列函数中，既是奇函数，又是上的增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（
）
A．f（2）B．g(0)C．f（2）D．g(0)（3）（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
周期性与奇偶性结合
（1）（2021·甘肃兰州市·西北师大附中高三月考（文））已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
（2）（2021·北京市陈经纶中学高三开学考试）已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（
）
A．
B．1
C．0
D．2
考法3
奇偶性、周期性、单调性的综合
（1）（2021·全国高三其他模拟）设函数为定义在上的函数，对都有：，；又函数对，，，有成立，设，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二开学考试）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（
）
A．函数f（x）是周期函数；
B．函数f（x）的图象关于点对称；
C．函数f（x）为R上的偶函数；
D．函数f（x）为R上的单调函数.
【规律方法】
函数性质综合应用问题常见类型及解题方法
函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇偶函数图象的对称性.
周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数的定义域内求解.
周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【跟踪练习】（1）（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（文））已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（
）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数
D．
（4）（2020·普宁市勤建学校高三月考）定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（
）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．在上是减函数
D．
1.（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2021新高考1卷）
已知函数是偶函数，则______.
（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（
）
B．
C．
D．
（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数，则f(x)（
）
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
6.（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
8.（2021·湖北高三开学考试）已知为R上的偶函数，且是奇函数，则（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．的周期为
D．的周期为
9.（2021·浙江温州市·瑞安中学高一期中）已知定义在上的奇函数，当时有，则__________.
10.（2021·天水市第一中学高三月考（文））若函数（其中）为偶函数，则_____________.
11.（2021·上海高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．
12.（2021·山东青岛市·高三开学考试）设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
13.（2021·甘肃兰州市·西北师大附中高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，.
（1）求证：函数的周期是4；
（2）求的值；
（3）当时，求的解析式.
14.（2020·富源县第六中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用单调性定义证明在上是增函数；
（3）解不等式.
15.（2021·浦城县第三中学高二期中）已知函数对一切，，都有.
（1）判断函数的奇偶性，并给与证明；
（2）若，试用表示.
16.（2021·浙江宁波市·宁波咸祥中学高二期中）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并说明理由；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
17.（2021·全国高二课时练习）设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
18．（2021·吉林延边二中高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值．
19.（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
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专题二
函数和导数
03
函数的奇偶性与周期性
考纲对本模块内容的具体要求如下：
周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．常利用奇偶性及周期性进行交换，即将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
数学抽象：能从教材实例中抽象出函数的奇偶性的概念.
逻辑推理：1.能根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
2.能综合利用函数的奇偶性与单调性解决简单问题.
3.能根据函数的奇偶性求函数的解析式.
直观想象：了解奇、偶函数图象的特性，并能简单应用.
一、函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
奇函数
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数
关于原点对称
偶函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数
关于y轴对称
二、函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
奇偶性常见结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.
考点一
函数的奇偶性及其应用
考法1
判断函数的奇偶性
（1）（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合；
D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
故选：C.
（2）（2021·河南高三月考（理））已知非常数函数满足，则下列函数中，不是奇函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为，所以，则，是奇函数，同理也是奇函数，，则，是奇函数，
，为偶函数，
故选：D．
考法2
利用奇偶性求函数值
（1）（2021·巍山彝族回族自治县第二中学高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．3
答案
A
解析：易知，因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以．
故选：A．
（2）（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由题意，当时，，可得，
函数是定义在上的奇函数，可得.
故选：A.
考法3
利用奇偶性求解析式
（1）（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）函数在上为奇函数，当时，，则当，（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：因为，所以，所以，
又因为为奇函数，所以，所以，
故选：A.
（2）（2021·太原市第五十六中学校高二月考（理））函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：设，则，，所以．
故选：B．
（3）（2021·合肥百花中学）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：当时可得，当时，，
，又函数为定义在上的偶函数，当时，
故选：B．
考法4
利用奇偶性求参数的值
（1）（2021·常州市西夏墅中学高三开学考试）设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的值可以是（
）
A．-1
B．
C．
D．
答案
ABC
解析：因为函数，当时，单调递减，当时，单调递减，又，所以在上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，，
因为不等式对任意的恒成立，而，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，故对任意的恒成立，令，所以，
解得，所以可以为-1，，.
故选：ABC.
（2）（2021·江北区·重庆十八中）已知函数，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：的定义域为，
，故为上的奇函数，
又（不恒为零），故为上的增函数，
故等价于，所以即，
故选：C.
【规律方法】
判断函数的奇偶性的两种方法：①定义法；②图象法.
利用函数的奇偶性求函数值的思路：
已知求的思路：判断函数的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出和的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求.
利用奇偶性求函数解析式的方法：
已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是:先设出未知区间上的自变量，再利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.
利用奇偶性求参数：
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内任一个值，利用和的关系式恒成立来确定参数的值.
③特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.
【跟踪练习】（1）（2021·云南高一期末）已知奇函数y=f（x）在x≤0时的表达式为f（x）=+3x，则x>0时f（x）的表达式为（
）
A．f（x）=+3x
B．f（x）=-+3x
C．f(x)=-3x
D．f（x）=--3x
答案
B
解析：设，则，所以，
因为函数为奇函数，所以，即
，所以.
故选：B
（2）（2020·江苏省盱眙中学高一月考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则______．
答案
－2
解析：，，
是周期为4的周期函数，，又是奇函数，
.
故答案为：
（3）（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）若函数为奇函数，则______．
答案
1
解析：函数的定义域为且
∵函数为奇函数，∴
函数的定义域关于原点对称，
∴
故答案为：.
考点二
函数的奇偶性、周期性、对称性的应用
（1）（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
答案
B
解析：由题意，函数满足，可得关于直线对称，
又由，可得关于点对称，所以函数是周期为4的函数，，因为当时，，则.
故选：B.
（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））已知函数，，有下列个命题：
①若为偶函数，则的图象自身关于直线对称；
②函数与的图象关于直线对称：
③若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象自身关于直线对称；
其中正确命题的序号为______.
答案
①②③④
解析：对于①，若为偶函数，其函数图像关于对称，故图像向右平移1个单位得的图象，故的图象自身关于直线对称，正确；
对于②，的图像向右平移1个单位，可得的图像，将的图像关于轴对称得的图像，然后将其图像向右平移1个单位得的图像，故与的图像关于直线对称，故正确；
对于③，若为奇函数，且，故，所以的图象自身关于直线对称，故正确；
对于④，因为为奇函数，且，故，所以的图像自身关于直线对称，故正确.
故答案为：①②③④
【规律方法】
利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数整体性质，即周期性和奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T时函数的周期，则也是函数的周期.
【跟踪练习】
考点三
函数性质的综合应用
考法1
单调性与奇偶性结合
（1）（2021·贵州省瓮安第二中学高一月考）下列函数中，既是奇函数，又是上的增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：对于A，因为，所以是奇函数，但不单调，所以A错误；
对于B，因为，所以是奇函数，因为是增函数，是减函数，所以是增函数，所以B正确；
对于C，因为，所以是偶函数，所以C错误；
对于D，因为，所以是非奇非偶函数，所以D错误．
故选：B
（2）（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（
）
A．f（2）B．g(0)C．f（2）D．g(0)答案
D
解析：函数分别是上的奇函数、偶函数,，
由，得，，
，解方程组得，
易知在上单调递增，所以，又所以.
故选：D
（3）（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（
）
A．
B．
C．
D．
答案A
解析：因为为偶函数，所以．
又在上为增函数，所以，所以．
故选：A
考法2
周期性与奇偶性结合
（1）（2021·甘肃兰州市·西北师大附中高三月考（文））已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（
）
A．
B．
C．1
D．2
答案
C
解析：∵函数是上的偶函数，∴，又∵对于都有，∴，∵当时，，∴
，
故选：C.
（2）（2021·北京市陈经纶中学高三开学考试）已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（
）
A．
B．1
C．0
D．2
答案
D
解析：∵当时，，∴当时，，即周期为1.
∴，∵当时，，∴，
∵当时，，∴，∴，∴.
故选：D.
考法3
奇偶性、周期性、单调性的综合
（1）（2021·全国高三其他模拟）设函数为定义在上的函数，对都有：，；又函数对，，，有成立，设，，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：∵，，∴，
又∵对，，，有成立，∴函数为偶函数、周期为2，在上单调递增，所以，，
因为，其中，所以.由函数在上单调递增，可知，
故选：B.
（2）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二开学考试）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数为奇函数，则以下结论正确的是（
）
A．函数f（x）是周期函数；
B．函数f（x）的图象关于点对称；
C．函数f（x）为R上的偶函数；
D．函数f（x）为R上的单调函数.
答案
ABC
解析：依题意，，所以，所以是周期为的周期函数，A正确.
函数为奇函数，关于对称，向左平移个单位得到，所以关于对称，B正确.
关于对称则，
，所以为偶函数，C选项正确.
由于是偶函数，函数图象关于轴对称，轴两侧函数对应区间的单调性相反，所以D错误.
故选：ABC
【规律方法】
函数性质综合应用问题常见类型及解题方法
函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇偶函数图象的对称性.
周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数的定义域内求解.
周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【跟踪练习】（1）（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，记，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：函数，其定义域为，且，所以为偶函数，
当时，，即函数在上单调递增，
∵，，
∴，
即，则，选项C正确，选项ABD错误.
故选：C.
（2）（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（文））已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：当时，恒成立，所以在为增函数.
又因为是偶函数，所以，即，所以，即.
故选：A
（3）（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）已知定义在上的函数满足，，，且为奇函数，则（
）
A．为奇函数
B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数
D．
答案
BCD
解析：因为，所以，
所以，所以是周期为3的周期函数，所以C正确，
因为，，所以，
因为为奇函数，所以，
所以，所以
所以，因为，
所以，所以
所以，所以D正确，
因为，，所以不可能为奇函数，所以A错误，
因为，是周期为3的周期函数，所以，
因为，所以，所以为偶函数，所以B正确，
故选：BCD
（4）（2020·普宁市勤建学校高三月考）定义在上的函数满足，且在上是增函数，给出下列真命题的有（
）
A．是周期函数
B．的图象关于直线对称
C．在上是减函数
D．
答案
ACD
解析：令得，所以，
令，则，即，所以是奇函数，
，所以是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
，函数图象关于点对称，B错；
，函数图象关于直线对称，
又在上递增，因此在上递增，所以在上是减函数，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
1.（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：由题意可得：，
而，故.
故选：C.
（2021新高考1卷）
已知函数是偶函数，则______.
答案
1
解析：因为，故，
因为为偶函数，故，时，整理得到，故，
故答案为：1
（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（
）
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数，则f(x)（
）
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
答案
D
解析：由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D.
6.（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：根据题意可得函数在上为增函数，
由可得，
对A，由在上为增函数，且，
所以，故A正确；
对B，由，，故B正确；
对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；
对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.
故选：D
7.（2021·赣州市第十四中学高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：函数是定义在上的奇函数，，
当时，，当，即时，.
故选：D.
8.（2021·湖北高三开学考试）已知为R上的偶函数，且是奇函数，则（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．的周期为
D．的周期为
答案
AD
解析：∵
为偶函数∴
图象关于轴对称，
又∵
是奇函数
∴
∴
，
∴
∴
函数的图象关于轴对称，为周期函数且周期为，
故选AD.
9.（2021·浙江温州市·瑞安中学高一期中）已知定义在上的奇函数，当时有，则__________.
答案
解析：当时，时，由奇函数性质知，
，又，
则
故答案为：
10.（2021·天水市第一中学高三月考（文））若函数（其中）为偶函数，则_____________.
答案
解析：因为函数为偶函数，又，
则恒成立，所以恒成立，
即恒成立，即恒成立，所以，又，所以.
故答案为：.
11.（2021·上海高一专题练习）函数为定义在上的奇函数，且满足，则的周期为__________．
答案
4
解析：，，又为奇函数，
是周期为的周期函数.
故答案为：4.
12.（2021·山东青岛市·高三开学考试）设函数是定义在实数集上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为___________.
答案
解析：因为，所以，
所以是一个周期为的周期函数，且关于直线对称，
令，所以，
所以关于直线对称，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示：
由图象可知：的图象共有个交点，
其中个点关于对称，还有一个点横坐标为，
所以交点的横坐标之和为，
所以在上所有零点之和为，
故答案为：.
13.（2021·甘肃兰州市·西北师大附中高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当时，.
（1）求证：函数的周期是4；
（2）求的值；
（3）当时，求的解析式.
答案（1）证明见解析；（2）0；（3），.
解析：（1）因为，
故函数的周期；
（2）
，
（3）当时，，
所以，
所以，
所以，.
14.（2020·富源县第六中学高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用单调性定义证明在上是增函数；
（3）解不等式.
答案（1）；（2）证明见解析；（3）.
解析：（1）由题意，，，所以．
（2）证明：任取，
则.
∵，∴，，，
，，∴，即，
∴在上是增函数.
（3）∵在上是增函数，
∴，解得.
15.（2021·浦城县第三中学高二期中）已知函数对一切，，都有.
（1）判断函数的奇偶性，并给与证明；
（2）若，试用表示.
答案（1）奇函数，证明见解析；（2）.
解析：（1）令，则，
令，即，
则，
所以是奇函数.
（2）∵是奇函数，
∴，
又∵，
∴.
16.（2021·浙江宁波市·宁波咸祥中学高二期中）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并说明理由；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
答案（1）；（2）在上是减函数，理由见解析；（3）.
解析：（1）由于定义域为的函数是奇函数，
，即，解得.
∴，经检验成立.
（2）在上是减函数.
证明如下：设任意，
∵，，，∴，
∴在上是减函数.
（3）不等式恒成立，
由奇函数得到所以，，
由在上是减函数，∴对恒成立，，
∴.
17.（2021·全国高二课时练习）设为实常数，是定义在上的奇函数，当时，．
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若时，都有，求的取值范围．
答案
（1）；（2）
解析：（1）是定义在上的奇函数，当时，．
当时，，则，整理得，
所以时，；
（2）由（1）知，当时，．
所以在
上恒成立，
化简为在上恒成立
设，所以其对称轴为：
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为
，解得；
当时，即时，上述不等式恒成立问题转化为
，
解得或
所以的取值范围为：.
18．（2021·吉林延边二中高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值．
答案（1）；（2）．
解析：（1）因为是定义在上的奇函数，则满足，
当时，，则.
综上所述，；
（2）当时，由，可得；
当时，，此时方程无解.
综上所述，.
19.（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
答案（1）；（2）；（3）2．
解析：（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．
所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，
．
所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
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