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专题二
函数和导数
01
函数及其表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的概念是学习函数的基础，在理解了函数的概念之后，我们才能对与函数有关的题目迎刃而解，理解函数的三要素，函数定义域是高考必考的内容，分段函数也是高考的一个重点考点。函数的定义域、值域，一般以选择题、填空题的形式进行考查，分段函数的考察比较灵活，各种题型都可以涉及到.
1.理解函数的概念及其表示，掌握函数的“三要素”.
2.掌握分段函数的定义以及它的应用.
数学抽象：能从教材实例中抽象出函数的概念以及函数的三要素.
逻辑推理：明确函数的三要素，会判断两个函数是否是同一个函数.
直观想象：能够正确使用区间符号表示某些集合.
数学运算：会求函数值、函数值域及简单函数、抽象函数的定义域.
函数的有关概念
（1）函数的概念、定义域、值域
函数的概念
设A，B是非空数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
函数的三要素：定义域、对应关系和值域.
相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系一致，则这两个函数为相等函数.
函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数值域的并集，分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数.
函数的定义域
常见函数的定义域
(1)若f(x)为整式函数时，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式函数时，则要求分式分母不为0；
(3)若f(x)为对数型函数时，则要求真数大于0、底数为正且不为1；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义；
(6)若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}；
(7)正切函数y=tanx的定义域为．
抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m
≤g(x)≤n，从而解得x的范围，即为f[g(x)]的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
考点一
函数的判断
考法1
函数关系的判断
（2020秋?洛龙区校级模拟）以下从M到N的对应关系表示函数的是（　　）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N
}，N＝{y|y≥0，y∈N
}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y
答案
B
解析：A中，M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，
B中，M＝{x|x≥2，x∈N
}，N＝{y|y≥0，y∈N
}，f：x→y＝x2﹣2x+2
M中任一元素，在B中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，
C中，M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义，
D中，M＝R，N＝R，f：x→y，
M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义，故选：B．
【跟踪练习】（2021?蜀山区校级模拟）存在函数f（x），对于任意x∈R都成立的下列等式的序号是
　　．
①f（sin3x）＝sinx；②f（sin3x）＝x3+x2+x；③f（x2+2）＝|x+2|；④f（x2+4x）＝|x+2|．
答案
④
解析：①令x＝0时，f（0）＝0；当x时，f（0），与函数定义矛盾，不符合；
②令x＝0时，f（0）＝0；当x时，f（0）＝（）3+（）2，与函数定义矛盾，不符合；
③当x＝﹣2时，f（6）＝0，当x＝2时，f（6）＝4，与函数定义矛盾，不符合；
④令x+2＝t，则f（t2﹣4）＝|t|，令t2﹣4＝m∈[﹣4，+∞），∴t＝±，∴f（m）（m≥﹣4），
∴f（x）（x≥﹣4），符合．故答案为：④．
考法2
函数相等的判断
（2021?山东模拟）下列函数为同一函数的是（　　）
A．f（x）与g（x）
B．与
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x）＝1与g（x）＝x0（x≠0）
答案
C
解析：对于A，f（x），定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（x），定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f（x），定义域是[0，+∞），g（x），定义域为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）＝x2﹣2x﹣1，定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，f（x）＝1，定义域是R，g（x）＝x0＝1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数．故选：C．
【跟踪练习】（2021·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（
）
①
②
③
A．①
B．②
C．③
D．以上都不是
答案
D
解析：对于（1），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数；
对于（2），函数，与函数或的定义域不同，不是同一函数；
对于（3），函数，与函数的定义域不同，不是同一函数.故选：D.
【规律方法】
（1）函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
考点二
函数的定义域
考法1
求具体函数的定义域
（1）（2020全国高中数学课时练）函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0，2)
B．(0，2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
答案
C
解析：若函数f(x)有意义，则log2x－1＞0，∴log2x＞1，∴x＞2.故选C.
（2）函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案
[0,2)∪(2，＋∞)
解析：由题意得解得x≥0且x≠2.
【跟踪练习】（2020·富源县第六中学高一期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：由题意得，解得，所以定义域为.故选：D
考法2
求抽象函数的定义域
（2020福建省福州第一中学高三其他（理））已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且
.所以
,解得
.故答案为C．
【跟踪练习】（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：由题意，函数的定义域为，即，
则函数满足，即，解得，
所以函数的定义域为.故选：A．
考点三
函数的值域
（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域
分离常数法（1）求函数的值域；
答案
解析：由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为.
（2）求函数的值域.
答案
且
解析：由函数，
因为，可得且，所以且
所以函数的值域为且.
换元法
（1）求函数的值域.
答案
(-∞,1]
解析：函数，定义域为，
令，则，
所以，
对称轴方程为，
所以时，函数，
故值域为.
求函数的值域.
答案
解析：设，则，且，所以，由，再结合函数的图象（图略），可得函数的值域为.
配方法、平方法（1）求函数的值域.
答案
解析：由，再结合函数的图象（图略），可得函数的值域为.
（2）求函数的值域.
答案
.
解析：由题意得，解得，
则，
由可得，
，
由y的非负性知，，故函数的值域为.
直接观察法
求函数的值域.
答案
{2,3,4,5,6}
解析：因为，可得值域为.
判别式法
（1）求函数的值域.
答案
[-,2)
解析：由题意得
①时，13=0，显然不合题意；
②关于的一元二次方程，在上有解，，得，.
求函数的值域.
答案
(2,]
解析：由题意得，
①时，-1=0，显然不合题意；
②关于的一元二次方程，在上有解，，得.
反表示法
求函数的值域.
答案
解析：易得，则，故函数的值域为
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域：
（1）；
（2）
答案（1）；（2）.
解析：（1）由题，得，
整理，得，
当时，；
当时，
方程有实根，，
即，解得，或，
综上，所以值域为：.
（2）易知，且.
又
，
当时，有最大值，
当或时，有最小值0，
所以当时，易得，故的值域为.
（2）（2021·全国高一课时练习）求下列函数值域.
（1）f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)；
（2）；
（3）.
答案（1）[－16，5)；（2）y∈R|y≠}；（3）[，2]．
解析：（1）∵x∈[－5，2)，∴－15≤3x<6，
∴－16≤3x－1<5，∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)的值域是[－16，5)．
（2）,
∴y≠，
∴函数的值域为{y∈R|y≠}．
（3）由题意可得，x∈[2，4]，因为,
，
所以f2(x)∈[2，4]，故函数f(x)的值域为[，2]．
【规律方法】
求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、反表示法.
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域.
配方法：求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围.
分离常数法：形如的函数常用分离常数法求值域.
换元法：形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域.
判别式法：一般，形如（a,d中至少有一个不为零）的函数的值域，常把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，求出的取值范围.
反表示法：根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于的不等式（组）求解.
考点四
求函数的解析式
待定系数法（2021秋?广陵区校级月考）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（2x+1）+f（2x﹣1）＝16x2﹣4x+6，则f（x）＝
　．
【分析】可设f（x）＝ax2+bx+c，从而可求出f（2x+1）＝4ax2+（4a+2b）x+a+b+c，f（2x﹣1）＝4ax2+（2b﹣4a）x+a﹣b+c，然后根据f（2x+1）+f（2x﹣1）＝16x2﹣4x+6即可得出8ax2+4bx+2（a+c）＝16x2﹣4x+6，从而得出，解出a，b，c即可．
解析：设f（x）＝ax2+bx+c，则：f（2x+1）＝a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝4ax2+（4a+2b）x+a+b+c，f（2x﹣1）＝4ax2+（2b﹣4a）x+a﹣b+c；
∴f（2x+1）+f（2x﹣1）＝8ax2+4bx+2（a+c）；
又f（2x+1）+f（2x﹣1）＝16x2﹣4x+6；
∴8ax2+4bx+2（a+c）＝16x2﹣4x+6；
∴；解得；∴f（x）＝2x2﹣x+1．
故答案为：2x2﹣x+1．
换元法
(1)（2021春?让胡路区校级月考）已知，则f（x）的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．x+1
答案
C
解析：令t，则x，
∴f（t），
∴f（x）．
故选：C．
(2)已知f（x）＝x2+（），则f（x）＝　
　．
解析：∵f（x）＝x2+（）2，
令xt∴f（t）＝t2+2，再令t＝x，∴f（x）＝（x）2+2＝x24．
故答案为：x24．
配凑法（2020秋?黄埔区校级期中）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝（x﹣1）2，x≥0
B．f（x）＝（x﹣1）2，x≥1
C．f（x）＝（x+1）2，x≥0
D．f（x）＝（x+1）2，x≥1
答案
B
解析：函数f（x2+1）＝x4＝（x2+1）2﹣2（x2+1）+1，
因为x2+1≥1，所以f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，x≥1，
故选：B．
消去法（2020秋?西湖区校级月考）已知函数f（x）满足3f（x﹣1）+2f（1﹣x）＝2x，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝2x
B．f（x）＝x+1
C．f（x）＝x
D．f（x）＝2x
答案
D
解析：令t＝x﹣1得3f（t）+2f（﹣t）＝2（t+1），
在将t用﹣t代替可得3f（﹣t）+2f（t）＝2（﹣t+1），
联立求解可得f（t），
∴．
故选：D．
【跟踪练习】（1）（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由题意，设函数，
因为，可得，解得，
所以.
故选：B.
（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：令，则，
所以，
所以.
故选：B
（3）（2019·广东高一期末）已知，则函数（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：因为已知，令，则，
则，所以，‘
故选：A
（4）（2021·全国高一专题练习）设函数，则的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：令，则可得
所以，所以
故选：B
【规律方法】
待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
换元法：主要用于解决已知复合函数f?(g(x))的解析式，求解函数f?(x)的解析式的问题，先令g(x)=t解出x及用含t的代数式表示x，然后带入f?(x)中即可求得f?(t)，从而求得f?(x)，要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f?(g(x))＝f??(x)，可将f??(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f?(x)的解析式．
消去法：已知f?(x)与f?(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?(x)．
考点五
分段函数
考法1
求分段函数的函数值
（1）（2020云南高三一模）设，则f[f(11)]的值是（
）
A．1
B．e
C．
D．
答案
B
解析：由分段函数解析式可得：，
则.故选B.
（2）（2021·灵丘县豪洋中学高三开学考试（理））已知函数，则（
）
A．2
B．
C．
D．3
答案
D
解析：当时，，所以时，周期为，
所以，因为时，，
所以，故选：D.
【跟踪练习】（2021·广东高三开学考试）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为，则.故选：D．
【规律方法】
①求函数值：当出现f?(f?(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
考法2
已知分段函数的函数值求参数
（1）（2021·黔西南州同源中学高一期中）函数，若，则（
）
A．1
B．1或
C．或
D．
答案
D
解析：当时，，，舍去；
当时，，，∴；
当时，，，舍去.
故选：D.
（2）（2021·广东茂名市·高一期末）设函数若，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：函数，
（1），所以
又当时，
，，解得．
故选：．
【跟踪练习】（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知，___________；若，则实数a的值为___________.
答案
解析：，；
当时，，得，
当时，不成立，所以实数的值是.
故答案为：；
考法3
解与分段函数有关的方程或不等式
（1）（2021·全国高一课时练习）已知函数，则不等式≥2x的解集是（
）
A．
B．（－∞，0]
C．
D．（－∞，2）
答案
A
解析：当x>0时，＝－x＋2≥2x，解得3x≤2，所以0当x≤0时，＝x＋2≥2x，解得x≤2，又x≤0，所以x≤0；
综上，原不等式的解集为，
故选：A.
（2）（2021·全国高一专题练习）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为______.
答案
.
解析：由题意，函数，可得，
所以由不等式，可得，
则或，解得或，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【跟踪练习】（2020·重庆市合川实验中学高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：由题意，或，解得或.
∴不等式的解集为.
故选：B
1.（2021·云南昭通市·高一期末）下列各组函数中为同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案
B
解析：选项A,
的定义域是,
的定义域是,
两个函数对应关系不相同,
所以不是同一个函数,
选项A错误;
选项B,
的定义域是,
的定义域是,
两个函数对应关系也相同,
所以是同一个函数,
选项B正确;
选项C,
的定义域是,
的定义域是,
定义域不同,
不是同一个函数,
选项C错误;
选项D,
的定义域是,
的定义域是,
定义域不同,
不是同一个函数,
选项D错误.
故选：B.
2.（2021·全国高一课前预习）已知函数与函数是相等的函数，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：因为函数与函数是相等的函数，
所以两个函数的定义域相同，由可得：且，
所以函数的定义域是，所以函数的定义域是，
故选：B.
3.（2021·上海高一专题练习）函数y＝的定义域为________，值域为________.
答案（－∞，0）∪（0，＋∞）
{－2}∪（0，＋∞）
解析：定义域为各段的并集，即（－∞，0）∪（0，＋∞）.
因为x>0，所以x2>0，由于值域为各段的并集，
所以函数的值域为{－2}∪（0，＋∞）.
故答案为：（－∞，0）∪（0，＋∞）；{－2}∪（0，＋∞）
4.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
答案
解析：∵函数的定义域为，
∴，∴，∴的定义域为.
故答案为：
5.（2020·天津南开中学高三其他模拟）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
答案
解析：因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.
故答案为：
6.（2021·上海高一专题练习），则________.
答案
（且）
解析：设且，则，
即，（且）
故答案为：（且）
7．（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数满足，则__________.
答案
解析：∵，∴，
联立方程组，可得.
故答案为：
8.（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）设函数则_________．
答案
9
解析：∵∴，，
∴，
故答案为：9
9．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）设，，则_______
答案
解析：，，
所以
故答案为：
10．（2020·南京市第五高级中学高三月考）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．
答案
解析：根据题意，函数，分三种情况讨论：
①若，，其值域为，不符合题意；
②若，当时，，有最大值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，不符合题意；
③若，当时，，有最小值；
当时，，
若函数的值域为R，则必有，即，故有，即的范围为
故答案为：
11．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））设函数，则不等式的解集是______；
答案
解析：当时，，解得：或，即；
当时，，解得：，即；∴综上，解集为.
故答案为：
12．（2021·全国高一课前预习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案
D
解析：当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
13．（2022·全国高三专题练习）下列求函数值域正确的是（
）
A．函数，，的值域是
B．函数的值域是或
C．函数的值域是或
D．函数的值域是
答案
BCD
解析：对于，函数，
因为，所以，故，所以，
则函数的值域为，故选项错误；
对于，当时，；
当时，则有，所以△，解得或；
综上所述，函数的值域为或，故选项正确；
对于，因为在，上恒成立，
故函数在和，上单调递减，且是函数的渐近线，
故函数的值域为是或，故选项正确；
对于，函数，设，，，所以，
因为，，所以，故，
所以函数的值域为，故选项正确．
故选：BCD．
14．（2021·全国高一课时练习）函数的值域为______
答案
解析：，
令，因为在单调递减，在单调递增，
所以，当时，，当时，
所以，即值域为：.
故答案为：
15．（2021·全国高一专题练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
答案
解析：因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
16．（2021·陕西榆林市·榆林十二中高二月考（文））已知函数的定义域为，且，则________．
答案
解析：在中，将x换成，则换成x，
∴，
将该方程代入已知方程消去，得．
故答案为：．
17．（2021·浦城县第三中学高二期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
答案
解析：当时，，因此有，即，
当时，，
若时，即时，，显然，不符合题意；
若时，即时，
因此有，
要想函数的值域为R，只需，
因此有，所以；
若时，即时，
因此有，
要想函数的值域为R，只需，
显然不可能成立，综上所述有：，
故答案为：
18．（2021·全国高一专题练习）函数的自变量的取值范围为一切实数，则实数m的取值范围是________．
答案
解析：当时，，其自变量的取值范围为一切实数，
当时，要使的自变量的取值范围为一切实数，则，即，得，
综上，，
故答案为：
19．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知为二次函数，满足，
（1）求函数的解析式
（2）函数，求函数的值域
答案（1）；（2）
解析：（1）设，
因为，
由可得：，
整理可得：，
所以，可得，所以；
（2）由，可得，
因为是由和复合而成，
因为，即，
在上单调递减，所以，
又因为，所以，
所以函数的值域为.
20．（2021·全国高一课时练习）（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
答案（1）；（2）；（3），；（4），.
解析：（1）因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，所以；
∴；∴；∴，；
∴.
（2）∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
（3）因为，所以，
所以，
（4）因为，①
所以，②
消去解得，
21．（2021·广东潮州市·高一期末）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
答案（1）；（2）．
解析：（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
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专题二
函数和导数
01
函数及其表示
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的概念是学习函数的基础，在理解了函数的概念之后，我们才能对与函数有关的题目迎刃而解，理解函数的三要素，函数定义域是高考必考的内容，分段函数也是高考的一个重点考点。函数的定义域、值域，一般以选择题、填空题的形式进行考查，分段函数的考察比较灵活，各种题型都可以涉及到.
1.理解函数的概念及其表示，掌握函数的“三要素”.
2.掌握分段函数的定义以及它的应用.
数学抽象：能从教材实例中抽象出函数的概念以及函数的三要素.
逻辑推理：明确函数的三要素，会判断两个函数是否是同一个函数.
直观想象：能够正确使用区间符号表示某些集合.
数学运算：会求函数值、函数值域及简单函数、抽象函数的定义域.
函数的有关概念
（1）函数的概念、定义域、值域
函数的概念
设A，B是_____，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中_____，在集合B中都有_____和它对应，那么就称_____为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
_____
定义域
x叫做自变量，x的_____叫做函数的定义域
值域
函数值的集合_____叫做函数的值域
函数的三要素：_____、_____和_____.
相等函数：如果两个函数的_____相同，并且_____一致，则这两个函数为相等函数.
函数的表示法：表示函数的常用方法有_____、_____和_____.
分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，_____不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____，其值域等于各段函数值域的_____，分段函数虽由几部分组成，但它表示的是一个函数.
函数的定义域
常见函数的定义域
(1)若f(x)为整式函数时，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式函数时，则要求分式分母不为0；
(3)若f(x)为对数型函数时，则要求真数大于0、底数为正且不为1；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义；
(6)若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}；
(7)正切函数y=tanx的定义域为．
抽象函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f[g(x)]中，m
≤g(x)≤n，从而解得x的范围，即为f[g(x)]的定义域.
(2)若f[g(x)]的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定g(x)的范围，即为f(x)的定义域.
考点一
函数的判断
考法1
函数关系的判断
（2020秋?洛龙区校级模拟）以下从M到N的对应关系表示函数的是（　　）
A．M＝R，N＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|
B．M＝{x|x≥2，x∈N
}，N＝{y|y≥0，y∈N
}，f：x→y＝x2﹣2x+2
C．M＝{x|x＞0}，N＝R，f：x→y＝±
D．M＝R，N＝R，f：x→y
【跟踪练习】（2021?蜀山区校级模拟）存在函数f（x），对于任意x∈R都成立的下列等式的序号是
　　．
①f（sin3x）＝sinx；②f（sin3x）＝x3+x2+x；③f（x2+2）＝|x+2|；④f（x2+4x）＝|x+2|．
考法2
函数相等的判断
（2021?山东模拟）下列函数为同一函数的是（　　）
A．f（x）与g（x）
B．与
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x）＝1与g（x）＝x0（x≠0）
【跟踪练习】（2021·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（
）
①
②
③
A．①
B．②
C．③
D．以上都不是
【规律方法】
（1）函数的定义要求第一个数集A中的任何一个元素在第二个数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
考点二
函数的定义域
考法1
求具体函数的定义域
（1）（2020全国高中数学课时练）函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0，2)
B．(0，2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
（2）函数f(x)＝＋的定义域为________．
【跟踪练习】（2020·富源县第六中学高一期末）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
考法2
求抽象函数的定义域
（2020福建省福州第一中学高三其他（理））已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为，则函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
考点三
函数的值域
（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域
分离常数法（1）求函数的值域；
（2）求函数的值域.
换元法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.
配方法、平方法（1）求函数的值域.
（2）求函数的值域.
直接观察法
求函数的值域.
判别式法
（1）求函数的值域.
求函数的值域.
反表示法
求函数的值域.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）求下列函数的值域：
（1）；
（2）
（2）（2021·全国高一课时练习）求下列函数值域.
（1）f(x)＝3x－1，x∈[－5，2)；
（2）；
（3）.
【规律方法】
求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、反表示法.
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域.
配方法：求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围.
分离常数法：形如的函数常用分离常数法求值域.
换元法：形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域.
判别式法：一般，形如（a,d中至少有一个不为零）的函数的值域，常把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式，求出的取值范围.
反表示法：根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于的不等式（组）求解.
考点四
求函数的解析式
待定系数法（2021秋?广陵区校级月考）已知函数f（x）是二次函数，且满足f（2x+1）+f（2x﹣1）＝16x2﹣4x+6，则f（x）＝
　．
换元法
(1)（2021春?让胡路区校级月考）已知，则f（x）的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．x+1
(2)已知f（x）＝x2+（），则f（x）＝　
　．
配凑法（2020秋?黄埔区校级期中）已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）＝（x﹣1）2，x≥0
B．f（x）＝（x﹣1）2，x≥1
C．f（x）＝（x+1）2，x≥0
D．f（x）＝（x+1）2，x≥1
消去法（2020秋?西湖区校级月考）已知函数f（x）满足3f（x﹣1）+2f（1﹣x）＝2x，则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝2x
B．f（x）＝x+1
C．f（x）＝x
D．f（x）＝2x
【跟踪练习】（1）（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知是一次函数，，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
（3）（2019·广东高一期末）已知，则函数（
）
A．
B．
C．
D．
（4）（2021·全国高一专题练习）设函数，则的表达式为（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．
换元法：主要用于解决已知复合函数f?(g(x))的解析式，求解函数f?(x)的解析式的问题，先令g(x)=t解出x及用含t的代数式表示x，然后带入f?(x)中即可求得f?(t)，从而求得f?(x)，要注意新元的取值范围.
配凑法：由已知条件f?(g(x))＝f??(x)，可将f??(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f?(x)的解析式．
消去法：已知f?(x)与f?(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f?(x)．
考点五
分段函数
考法1
求分段函数的函数值
（1）（2020云南高三一模）设，则f[f(11)]的值是（
）
A．1
B．e
C．
D．
（2）（2021·灵丘县豪洋中学高三开学考试（理））已知函数，则（
）
A．2
B．
C．
D．3
【跟踪练习】（2021·广东高三开学考试）已知函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
①求函数值：当出现f?(f?(a))的形式时，应从内到外依次求值．
②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
考法2
已知分段函数的函数值求参数
（1）（2021·黔西南州同源中学高一期中）函数，若，则（
）
A．1
B．1或
C．或
D．
（2）（2021·广东茂名市·高一期末）设函数若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【跟踪练习】（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知，___________；若，则实数a的值为___________.
考法3
解与分段函数有关的方程或不等式
（1）（2021·全国高一课时练习）已知函数，则不等式≥2x的解集是（
）
A．
B．（－∞，0]
C．
D．（－∞，2）
（2）（2021·全国高一专题练习）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为______.
【跟踪练习】（2020·重庆市合川实验中学高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
1.（2021·云南昭通市·高一期末）下列各组函数中为同一函数的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
2.（2021·全国高一课前预习）已知函数与函数是相等的函数，则函数的定义域是（
）
A．
B．
C．
D．
3.（2021·上海高一专题练习）函数y＝的定义域为________，值域为________.
4.（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数的定义域为，则的定义域为__________.
5.（2020·天津南开中学高三其他模拟）若函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
6.（2021·上海高一专题练习），则________.
7．（2021·黔西南州同源中学高一期中）已知函数满足，则__________.
8.（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）设函数则_________．
9．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）设，，则_______
10．（2020·南京市第五高级中学高三月考）已知函数，若函数的值域为R，则实数a的取值范围是_______________．
11．（2021·陕西宝鸡市·高三月考（文））设函数，则不等式的解集是______；
12．（2021·全国高一课前预习）已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
故选：D．
13．（2022·全国高三专题练习）下列求函数值域正确的是（
）
A．函数，，的值域是
B．函数的值域是或
C．函数的值域是或
D．函数的值域是
14．（2021·全国高一课时练习）函数的值域为______
15．（2021·全国高一专题练习）若函数的值域是，则函数的值域是________.
16．（2021·陕西榆林市·榆林十二中高二月考（文））已知函数的定义域为，且，则________．
17．（2021·浦城县第三中学高二期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________.
18．（2021·全国高一专题练习）函数的自变量的取值范围为一切实数，则实数m的取值范围是________．
19．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三开学考试）已知为二次函数，满足，
（1）求函数的解析式
（2）函数，求函数的值域
20．（2021·全国高一课时练习）（1）若二次函数满足，，求.
（2）若对任意实数，均有，求.
（3）已知，求的解析式；
（4）已知，求的解析式.
21．（2021·广东潮州市·高一期末）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
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