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专题二
函数和导数
02
函数的单调性与最大（小）值
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的单调性是函数的一个重要性质，单调性往往与导数相联系；最值问题与函数单调性相联系，以闭区间上的最值为主，并在导数极值最值部分考察比较多.高考函数的单调性出题主要以选择或填空题为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题.
1.理解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义；
2.会利用函数的单调性求参数的范围.
数学抽象：1.能借助函数图象理解函数在某区间上的单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念.
2.能从教材实例中抽象出函数的最大值、最小值的概念.
逻辑推理：1.能运用定义法证明函数的单调性.
2.会求一些简单函数的最大值、最小值.
直观想象：1.能运用函数图象理解和研究函数的单调性.
2.理解函数的最大值、最小值的几何意义.
一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
二、函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
①增函数与减函数形式的等价变形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
②对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
③在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
④函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
考点一
确定函数的单调性（区间）
考法1
求具体函数的单调区间
（1）(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
答案　D
解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln
t为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).
（2）已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－1]
B.[－1，＋∞)
C.[－1，1)
D.(－3，－1]
答案
C
解析：令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3考法2
判断或证明函数的单调性
（1）试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.
解析：　法一　设－1，
，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)法二　f′(x)＝＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
（2）(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0
答案
CD
解析：根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1＞x2，若＞0，必有f(x1)－f(x2)＞0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
【规律方法】
判断函数的单调性和求单调区间的方法
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f
(x)是以图象形式给出的，或者f
(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f
(g(x))分解成f
(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
【跟踪练习】（1）（2021·湖南高考真题）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：函数的对称轴为，开口向上，所以函数的单调递减区间是.故选：C.
下列函数中，在区间上为增函数的是（
）
B.
C.
D.
答案
A
解析：
A项是上的增函数，B项不是单调函数，C项是R上的减函数，D项是上的减函数.
考点二
函数单调性的应用
考法1
利用函数的单调性比较大小
（1）（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：是上的减函数，是上的减函数，
是上的减函数，
，，，
，．
故选：．
（2）(2021·南京模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cB.aC.bD.a答案　C
解析：　函数f(x)＝－是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，
∴f(40.7)考法2
利用函数的单调性解抽象不等式
（1）（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：易得函数在R上单调递增，
则由可得，解得，故不等式的解集为.
故选：A.
（2）（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，
则，因为任意满足，所以在上单调递增，在上单调递减，故等价于，解得.
故选：D
考法3
利用函数的单调性确定参数的值或取值范围
（1）（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
B
解析：①
当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得；
②
当时，，有.
③
当
时，，即.
故实数的取值范围为.
故选
：B
（2）（2021·全国高三专题练习（理））若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为，所以；
又因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，只需要，，因为在单调递增，所以，所以.
故选：D．
【规律方法】
1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
3.已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法：
将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间作比较，求出参数的取值范围.
（2）运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【跟踪练习】（1）（2020·全国高三一模（理））对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
A
解析：对于任意，函数满足，
因为函数关于点对称，当时，是单调增函数，
所以在定义域上是单调增函数.因为，所以，
.故选:A.
（2）（2022·全国）已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（
）．
A．a>
B．C．a<
D．答案
B
解析：∵函数f(x)＝是定义域上的递减函数，
∴即
解得故选：B
（3）若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(0，1]
C.(0，1)
D.(0，1]
答案D
解析：因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a≤1，g(x)＝，g′(x)＝－，要使g(x)在[1，2]上为减函数，需g′(x)<0在[1，2]上恒成立，
故有－a<0，因此a>0，综上可知0考点三
求函数的最值
（1）（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为是上的奇函数，所以由得，又因为在上单调递减，所以，解得，即.因为在单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．0
D．
答案
B
解析：因为时，为单调递减函数，又因为函数为偶函数，
所以当时，为单调递增函数，所以,
则，即，由区间的定义可知，即，
由于最大值为，故显然不恒成立；若，所以，
即，所以，解得
，故b的最大值为.
故选：B
（3）（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
答案
（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
解析：（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
【规律方法】　
求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【跟踪练习】（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数
（1）证明函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.
答案
（1）证明见解析；（2）.
解析：（1）函数在区间上单调递增；
设任意的，且，
则
，
因为，，所以，，
所以，即，
所以函数在区间上的单调递增；
（2）函数对称轴为，开口向上，
所以函数在区间上单调递减，在上单调递增；
所以，，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
1.(2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
答案
A
解析：因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．a答案　B
解析：　由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，∴2a＋log2a<22b＋log22b，即f(a)(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0
B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0
D.ln|x－y|<0
答案　A
解析：　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.即f(x)0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.
(2021·常州四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cos
x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aB.cC.bD.b答案　D
解析：　对f(x)＝3x－2cos
x求导得f′(x)＝3＋2sin
x，则有f′(x)＝3＋2sin
x>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.又2＝log24（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
7.（2020·丽水外国语实验学校高一月考）函数的单调增区间是_______．
答案
解析：因为，所以函数的定义域为，
令，则函数在单调递减，在区间单调递增，
而函数在上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.
故答案为：.
8.（2021·北京101中学高二期中）已知函数其中.如果对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是___________.
答案
解析：对于任意，，且，都有
成立，即函数在上单调递增，先考察函数，
的单调性，配方可得，
函数
在上单调递增，在
上单调递减，且（1），
，以下考察函数，
的图象，则，令，解得．随着
变化时，
和
的变化情况如下：
0
单调递减
极小值
单调递增
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且．
对于任意，，且，都有
成立，，
，即，的取值范围为．
故答案为：．
9.（2021·云南昭通市·高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
答案
解析：
由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以
在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：．
10.（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：由作出图象，如图，由图象可得要取得最小值2，则；
∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，
∴a的取值范围为
故选：D
11.（2021·乌海市第一中学高三月考（文））设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
答案
D
解析：因为若，都有，所以在上单调递增；因为是定义域为的偶函数，所以，
因为，所以，而在上单调递增，所以，
故，即
故选：D.
12.（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
答案
C
解析：∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得，
故选：C．
13.（2020·安徽六安·高一月考）已知二次函数，函数，若函数与函数的值域相同，则的取值范围为_________．
答案
解析：，
设，所以．
因为与的值域相同，
所以其图象的对称轴，即．
故答案为：
14.（2021·湖南）已知奇函数为上的增函数，且在区间上的最大值为9，最小值为-6，则的值为（
）
A．3
B．1
C．-1
D．-3
答案
D
解析：因为奇函数为上的增函数，且在区间上的最大值为9，最小值为-6，
所以，，所以．
故选：D.
已知函数
（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；
（2）证明在区间存在两个不同的零点，且
解析：（1）证明：任取且
则
，又
即
所以函数在(0，2)上单调递减.
（2）证明：由（1）利用定义法可证函数在上单调递增；
又，分别在内有零点，即有两个零点，记为，且.
已知函数，且．
（1）求的值；
（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在的最大值和最小值．
解析：（1）因为，且，
所以，解得，
（2）函数在上为减函数，证明如下：
任取，且，则
因为，且，所以，，
所以，即，
所以函数在上为减函数，
（3）由（2）可知在上为减函数，
所以当时，函数取得最大值，即，
当时，函数取得最小值，即.
17.（2021·河南南阳市·南阳中学高三月考（理））已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域；
（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.
答案（1）；（2）；（3）.
解析：（1）由，得，由，得，
故，解得，
所以.
（2）由（1）得：，
则的图象的对称轴方程为，.
又，，
所以在区间上取值域为；
（3）由于函数在区间上单调，
因为二次函数的二次项系数不等于.且图象的对称轴方程为，
所以或，解得：或，
因此的取值范围为：.
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专题二
函数和导数
02
函数的单调性与最大（小）值
考纲对本模块内容的具体要求如下：
函数的单调性是函数的一个重要性质，单调性往往与导数相联系；最值问题与函数单调性相联系，以闭区间上的最值为主，并在导数极值最值部分考察比较多.高考函数的单调性出题主要以选择或填空题为主，主要是单调性的应用，应用单调性解不等式，判断大小，求解闭区间上的最值等问题.
1.理解函数单调性、最大值、最小值及其几何意义；
2.会利用函数的单调性求参数的范围.
数学抽象：1.能借助函数图象理解函数在某区间上的单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念.
2.能从教材实例中抽象出函数的最大值、最小值的概念.
逻辑推理：1.能运用定义法证明函数的单调性.
2.会求一些简单函数的最大值、最小值.
直观想象：1.能运用函数图象理解和研究函数的单调性.
2.理解函数的最大值、最小值的几何意义.
一、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1图象描述
自左向右看图象是_____
自左向右看图象是_____
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是_____或_____，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_____．
二、函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有_____；
(2)存在x0∈I，使得_____
(1)对于任意的x∈I，都有_____；
(2)存在x0∈I，使得_____
结论
M为最大值
M为最小值
常用结论
①增函数与减函数形式的等价变形：?x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?<0?f(x)在[a，b]上是减函数．
②对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为(－，0)和(0，)．
③在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．
④函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”
考点一
确定函数的单调性（区间）
考法1
求具体函数的单调区间
（1）(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－2)
B.(－∞，1)
C.(1，＋∞)
D.(4，＋∞)
（2）已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A.(－∞，－1]
B.[－1，＋∞)
C.[－1，1)
D.(－3，－1]
考法2
判断或证明函数的单调性
（1）试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性.
（2）(多选)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)＞f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2＜0，都有f(x1)－f(x2)＜0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有＞0
【规律方法】
判断函数的单调性和求单调区间的方法
定义法
一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论
图象法
若f
(x)是以图象形式给出的，或者f
(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降判断函数的单调性
导数法
先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间
性质法
对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断
复合法
对于复合函数，先将函数f
(g(x))分解成f
(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断
【跟踪练习】（1）（2021·湖南高考真题）函数的单调递减区间是（
）
A．
B．
C．
D．
下列函数中，在区间上为增函数的是（
）
B.
C.
D.
考点二
函数单调性的应用
考法1
利用函数的单调性比较大小
（1）（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
（2）(2021·南京模拟)已知函数f(x)＝－，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.cB.aC.bD.a考法2
利用函数的单调性解抽象不等式
（1）（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
考法3
利用函数的单调性确定参数的值或取值范围
（1）（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2021·全国高三专题练习（理））若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【规律方法】
1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
3.已知函数的单调性，求函数中参数的取值范围的一般方法：
将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间作比较，求出参数的取值范围.
（2）运用函数的单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围，即将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【跟踪练习】（1）（2020·全国高三一模（理））对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2022·全国）已知函数f(x)＝是定义域上的递减函数，则实数a的取值范围是（
）．
A．a>
B．C．a<
D．（3）若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－1，0)∪(0，1]
C.(0，1)
D.(0，1]
考点三
求函数的最值
（1）（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（
）
A．
B．
C．0
D．
（3）（2021·江苏高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.
【规律方法】　
求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【跟踪练习】（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）已知函数
（1）证明函数在区间上的单调性；
（2）若函数在区间上的最大值为，最小值为，求的值.
1.(2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（
）
A．
B．
C．
D．
2.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数,则（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．a(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)
A.ln(y－x＋1)>0
B.ln(y－x＋1)<0
C.ln|x－y|>0
D.ln|x－y|<0
(2021·常州四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cos
x，若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A.aB.cC.bD.b（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.（2020·丽水外国语实验学校高一月考）函数的单调增区间是_______．
8.（2021·北京101中学高二期中）已知函数其中.如果对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是___________.
9.（2021·云南昭通市·高一期末）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
10.（2021·沧源佤族自治县民族中学高一期末）已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11.（2021·乌海市第一中学高三月考（文））设是定义域为的偶函数，若，都有，则大小关系正确的为（
）
A．
B．
C．
D．
12.（2020·沧源佤族自治县民族中学高一月考）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
13.（2020·安徽六安·高一月考）已知二次函数，函数，若函数与函数的值域相同，则的取值范围为_________．
14.（2021·湖南）已知奇函数为上的增函数，且在区间上的最大值为9，最小值为-6，则的值为（
）
A．3
B．1
C．-1
D．-3
已知函数
（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；
（2）证明在区间存在两个不同的零点，且
已知函数，且．
（1）求的值；
（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；
（3）求函数在的最大值和最小值．
17.（2021·河南南阳市·南阳中学高三月考（理））已知二次函数，满足，.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域；
（3）若函数在区间上单调，求实数的取值范围.
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