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专题23
运用正余弦定理研究三角形或多边形
关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决
一、题型选讲
题型一
、运用正余弦定理研究三角形中的问题
例1、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【解析】（1）在中，因为，
由余弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，
得，
所以
（2）在中，因为,所以为钝角，
而,所以为锐角.
故则.
因为，所以，.
从而
变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知
，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
【解析】若选择条件①，则答案为:
(1)在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
(2)解法1:设，易知
在中由余弦定理得:，解得.
所以
在中，
所以，所以，
所以
解法2:因为，所以，
因为所以，
所以
因为为锐角，所以
又
所以
所以
若选择条件②，则答案为:
(1)因为，所以，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
则，所以.
(2)同选择①
变式2、(2019徐州、连云港、宿迁三检）如图，在中，已知点在边上，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【解析】：（1）在中，，，
所以．
同理可得，．
所以
．
（2）在中，由正弦定理得，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
．
变式3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在中，，为的平分线，，则___________．
【答案】
【解析】原题图形如图所示：
则：
设，则，又
解得：
本题正确结果：
变式4、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.
题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题
例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
变式1、(2018徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.
(1)
求CD的长；
(2)
求△BCD的面积．
【解析】：
(1)因为tan∠ADC＝－2，且∠ADC∈(0，π)，所以sin∠ADC＝，cos∠ADC＝－.
所以sin∠ACD＝sin
＝sin
＝sin∠ADC·cos＋cos∠ADC·sin
＝，(6分)
在△ADC中，由正弦定理得CD＝＝
因为AD∥BC,
所以cos∠BCD＝－cos∠ADC＝，sin∠BCD＝sin∠ADC＝
在△BDC中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，
得BC2－2BC－35＝0，解得BC＝7,
(12分)
所以S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×7××＝7.
变式2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.
(1)
求cos∠BAC的值；
(2)
求sin∠CAD的值；
(3)
求△BAD的面积．
【解析】：
(1)
因为·＝cos∠BAC，
所以cos∠BAC＝＝＝.
(2)
在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝.
由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.
因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝.
(3)
由(1)知，cos∠BAC＝.
因为∠BAC∈(0，π)，
所以sin∠BAC＝＝＝.
从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)
＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD
＝×＋×＝.
所以S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5×
＝28.
题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题
例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100
m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（
）
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
【答案】A
【解析】如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，
．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或
(舍去),
故选：B.
变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.
【答案】
【解析】在中，，，，
，则，
在中，，，，则，
由正弦定理得，可得，
在中，，，，
由余弦定理得，因此，（千米）.
故答案为：.
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.
（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，，
则，；
（2），，
则，
由（1）知：，代入上式得：
，
配方得：，
当时，取到最大值.
变式3、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10
m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
【答案】
30　
解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．
二、达标训练
1、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.
【答案】
10
【解析】因为，，，
由正弦定理可得：，
所以，
则；，
，
由余弦定理可得：，
解可得（舍或，
所以，
．
故答案为：，10．
2、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
【答案】　
【解析】、
从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．
解法1
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是
tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.
解法2
由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.
3、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在中，，的平分线交边于.若.，则___________.
【答案】
【解析】中，由正弦定理可得，，所以，
为的平分线即，
.
故答案为：.
4、(2019南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
【答案】　
【解析】、
从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．
解法1
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是
tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.
解法2
由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.
5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
【解析】
选择①：
所以；
由余弦定理可得
所以
选择②
设，则，，
在中，即
所以
在中，，即
所以.
所以，解得，
又，所以，
所以.
6、（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB?乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.
(1)求乙到达C地这一时刻的甲?乙两交警之间的距离;
(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲?乙方可通过对讲机取得联系.
【解析】
(1)由.
设当乙到达C地时,甲处在D点,则
所以在中,由余弦定理得:
即此时甲?乙两交警之间的距离为
(2)设乙到达C地后,经过t小时,甲?乙两交警之间的距离为
,
在中，
乙从C地到达B地,用时小时,甲从D处到达B地,用时小时,
所以当乙从C地到达B地,此时,甲从D处行进到E点处,且
所以当时，
令或（舍去）
又当
时,甲?乙两交警间的距离
因为甲?乙间的距离不大于3km时方可通过对讲机取得联系
所以,从乙到达C地这一时刻算起,经过小时,甲?乙可通过对讲机取得联系.专题23
运用正余弦定理研究三角形或多边形
关于三角形或者多边形中的边角以及面积等问题是三角函数模块中重点考查的问题，对于此类问题涉及的知识点为正余弦定理，题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决
一、题型选讲
题型一
、运用正余弦定理研究三角形中的问题
例1、【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
变式1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.
在中，角的对边分别为，已知
，.
(1)求;
(2)如图，为边上一点，，求的面积
变式2、(2019徐州、连云港、宿迁三检）如图，在中，已知点在边上，，，，．
（1）求的值；
（2）求的长．
变式3、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）在中，，为的平分线，，则___________．
变式4、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
题型二、运用正余弦定理研究多边形中的问题
例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
变式1、(2018徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.
(1)
求CD的长；
(2)
求△BCD的面积．
变式2、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.
(1)
求cos∠BAC的值；
(2)
求sin∠CAD的值；
(3)
求△BAD的面积．
题型三、运用正余弦定理研究情境中的三角形或多边形问题
例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100
m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（
）
A．50
m
B．100
m
C．120
m
D．150
m
．
变式1、（2020·山东新泰市第一中学高三月考）某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、、，从点测得，从点测得，，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为___________千米.
变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.
（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
变式3、(2017南京、盐城二模）如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10
m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.
二、达标训练
1、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______，点为边上一点，且，则的面积为______.
2、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
3、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）在中，，的平分线交边于.若.，则___________.
4、(2019南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．
5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.
如图，在平面四边形中，，，______，，求.
6、（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A,B,C有直道互通.现甲交警沿路线AB?乙交警沿路线ACB同时从A地出发,匀速前往B地进行巡逻,并在B地会合后再去执行其他任务.已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡逻速度为5km/h,乙的巡逻速度为10km/h.
(1)求乙到达C地这一时刻的甲?乙两交警之间的距离;
(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km,从乙到达C地这一时刻算起,求经过多长时间,甲?乙方可通过对讲机取得联系.

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