资源简介 专题36运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和.常见的裂项技巧①=-.②=.③=.④=-.⑤=.一、题型选讲例1、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列是等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】(1)设数列的公比为,∵,∴,∴,∵,∴,∴,即:,解得:.∴,∴.(2),∴.例2、(华南师大附中2021届高三综合测试)在①;②;③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.已知Sn为等差数列的前n项和,若.(1)求an;(2)令,求数列的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】:(1)若选择条件(1),在等差数列中,,解得若选择条件(2),在等差数列中,解得;若选择条件(3),在等差数列中al=Sl=3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-l)2+2(n-1)]=2n+l,a1也符合,∴an=2n+1;(2)由(1)得,例3、(江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题)已知数列的前n项和满足,且.(1)求数列的前n项和及通项公式;(2)记,为的前n项和,求.【解析】(I)由已知有,∴数列为等差数列,且,∴,即,当时,,又也满足上式,∴;(II)由(1)知,,∴,例4、(2020届山东省德州市高三上期末)已知数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【解析】(1)当时,,整理得,,解得;当时,①,可得②,①-②得,即,化简得,因为,,所以,从而是以为首项,公差为的等差数列,所以;(2)由(1)知,因为,.例5、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知数列的前n项和满足,且.(1)求数列的前n项和,及通项公式;(2)记,为的前n项和,求.【解析】(I)由已知有,∴数列为等差数列,且,∴,即,当时,,又也满足上式,∴;(II)由(1)知,,∴,例6、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且是等比数列的前项.(1)求;(2)设,求的前项和.【解析】(1)设数列的公差为,由题意知:①又因为成等比数列,所以,,,又因为,所以.②由①②得,所以,,,,.(2)因为,所以所以数列的前项和.例7、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知等差数列的前n项和为.(1)求的通项公式;(2)数列满足为数列的前n项和,是否存在正整数m,,使得?若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由得,解得,;(2),,,若,则,整理得,又,,整理得,解得,又,,,∴存在满足题意.例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中,有.(1)证明:数列为等差数列,并求其通项公式;(2)记,求数列的前n项和.【解析】(1)因为,所以当时,,上述两式相减并整理,得.又因为时,,适合上式,所以.从而得到,所以,所以数列为等差数列,且其通项公式为.(2)由(1)可知,.所以.二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【解析】(1)当时,,整理得,,解得;当时,①,可得②,①-②得,即,化简得,因为,,所以,从而是以为首项,公差为的等差数列,所以;(2)由(1)知,因为,.2、(2020届山东省临沂市高三上期末)设,向量,,.(1)试问数列是否为等差数列?为什么?(2)求数列的前项和.【解析】(1),.,为常数,是等差数列.(2),.3、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,由可知,前7项和.,解得..(2)前项和.4、(2020届浙江省温州市高三4月二模)已知等差数列和等比数列满足:(I)求数列和的通项公式;(II)求数列的前项和.【解析】(I),故,解得,故,.(II),故.5、(南通市2021届高三年级期中学情检测)等比数列的前n项和为成等差数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【解析】(1)设等比数列的公比为,由成等差数列知,,所以,即.又,所以,所以,所以等差数列的通项公式.(2)由(1)知所以所以数列的前项和:所以数列的前项和6、(金陵中学2021届高三年级学情调研测试(一))已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-).(1)求Sn的表达式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】:(1)因为Sn2=an(Sn-),当n≥2时,Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-),即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn.①…………2分由题意得Sn-1·Sn≠0,所以-=2,即数列{}是首项为==1,公差为2的等差数列.…………5分所以=1+2(n-1)=2n-1,得Sn=.…………………………………………7分(2)易得bn==……………………………8分=(-),……………………………10分所以Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=专题36运用裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前n项和.常见的裂项技巧①=-.②=.③=.④=-.⑤=.一、题型选讲例1、(2020届山东省九校高三上学期联考)已知数列是等比数列,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.例2、(华南师大附中2021届高三综合测试)在①;②;③,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目.已知Sn为等差数列的前n项和,若.(1)求an;(2)令,求数列的前n项和Tn.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.例3、(江苏盐城中学2021届高三年级第三阶段检测数学试题)已知数列的前n项和满足,且.(1)求数列的前n项和及通项公式;(2)记,为的前n项和,求.例4、(2020届山东省德州市高三上期末)已知数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.例5、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知数列的前n项和满足,且.(1)求数列的前n项和,及通项公式;(2)记,为的前n项和,求.例6、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知各项均不相等的等差数列的前项和为,且是等比数列的前项.(1)求;(2)设,求的前项和.例7、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知等差数列的前n项和为.(1)求的通项公式;(2)数列满足为数列的前n项和,是否存在正整数m,,使得?若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.例8、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】在数列中,有.(1)证明:数列为等差数列,并求其通项公式;(2)记,求数列的前n项和.二、达标训练1、【2020届中原金科大联考高三4月质量检测】已知数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.2、(2020届山东省临沂市高三上期末)设,向量,,.(1)试问数列是否为等差数列?为什么?(2)求数列的前项和.3、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知等差数列满足,前7项和.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.4、(2020届浙江省温州市高三4月二模)已知等差数列和等比数列满足:(I)求数列和的通项公式;(II)求数列的前项和.5、(南通市2021届高三年级期中学情检测)等比数列的前n项和为成等差数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.6、(金陵中学2021届高三年级学情调研测试(一))已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn2=an(Sn-).(1)求Sn的表达式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 专题36运用裂项相消法求和(学生版).docx 专题36运用裂项相消法求和(教师版).docx